ГДЗ по Алгебре 10 Класс Номер 34.2 Профильный Уровень Мордкович — Подробные Ответы

Найдите модуль комплексного числа:

а) $z=\frac{2}{i}$

б) $z=-\frac{3}{i}$

в) $z=\frac{i+1}{i}$

г) $z=\frac{i}{i+1}$

Найти модуль комплексного числа:

а) $z = \frac{2}{i} = \frac{2i}{i^2} = -2i = 0 — 2i$;
$|z| = \sqrt{0^2 + 2^2} = \sqrt{0 + 4} = \sqrt{4} = 2;$
Ответ: 2.

б) $z = -\frac{3}{i} = -\frac{3i}{i^2} = 3i = 0 + 3i$;
$|z| = \sqrt{0^2 + 3^2} = \sqrt{0 + 9} = \sqrt{9} = 3;$
Ответ: 3.

в) $z = \frac{i + 1}{i} = \frac{i(i + 1)}{i^2} = -(i^2 + i) = 1 — i$;
$|z| = \sqrt{1^2 + 1^2} = \sqrt{1 + 1} = \sqrt{2};$
Ответ: $\sqrt{2}$.

г) $z = \frac{i}{i + 1} = \frac{i(i — 1)}{(i + 1)(i — 1)} = \frac{i^2 — i}{i^2 — 1} = \frac{-1 — i}{-2} = \frac{1}{2} + \frac{1}{2}i$;
$|z| = \sqrt{\left( \frac{1}{2} \right)^2 + \left( \frac{1}{2} \right)^2} = \sqrt{\frac{1}{4} + \frac{1}{4}} = \sqrt{\frac{1}{2}} = \sqrt{\frac{2}{4}} = \frac{\sqrt{2}}{2};$
Ответ: $\frac{\sqrt{2}}{2}$.

а) $z = \frac{2}{i}$

Шаг 1: Избавляемся от мнимого числа в знаменателе

Умножим числитель и знаменатель на $i$ (это называется «рационализация знаменателя»):

$$z = \frac{2}{i} = \frac{2 \cdot i}{i \cdot i} = \frac{2i}{i^2}$$

Шаг 2: Используем факт, что $i^2 = -1$

$$\frac{2i}{-1} = -2i$$

Теперь $z = -2i$, то есть в алгебраической форме это:

$$z = 0 — 2i$$

Шаг 3: Находим модуль $z$

Модуль комплексного числа $z = a + bi$ вычисляется по формуле:

$$|z| = \sqrt{a^2 + b^2}$$

Подставим $a = 0$, $b = -2$:

$$|z| = \sqrt{0^2 + (-2)^2} = \sqrt{0 + 4} = \sqrt{4} = 2$$

Ответ: 2

б) $z = -\frac{3}{i}$

Шаг 1: Рационализируем знаменатель

$$z = -\frac{3}{i} = -\frac{3i}{i^2}$$

Шаг 2: Подставляем $i^2 = -1$

$$-\frac{3i}{-1} = 3i$$

Итак, $z = 3i = 0 + 3i$

Шаг 3: Находим модуль

$$|z| = \sqrt{0^2 + 3^2} = \sqrt{9} = 3$$

Ответ: 3

в) $z = \frac{i + 1}{i}$

Шаг 1: Рационализируем знаменатель

$$z = \frac{i + 1}{i} = \frac{i(i + 1)}{i^2}$$

Шаг 2: Раскроем скобки в числителе

$$i(i + 1) = i^2 + i$$

Теперь:

$$z = \frac{i^2 + i}{i^2} = \frac{-1 + i}{-1}$$

Шаг 3: Делим каждое слагаемое на $-1$

$$z = \frac{-1}{-1} + \frac{i}{-1} = 1 — i$$

Шаг 4: Найдём модуль

$$|z| = \sqrt{1^2 + (-1)^2} = \sqrt{1 + 1} = \sqrt{2}$$

Ответ: $\sqrt{2}$

г) $z = \frac{i}{i + 1}$

Шаг 1: Умножим числитель и знаменатель на сопряжённое к знаменателю

Сопряжённое к $i + 1$ — это $i — 1$.

$$z = \frac{i}{i + 1} \cdot \frac{i — 1}{i — 1} = \frac{i(i — 1)}{(i + 1)(i — 1)}$$

Шаг 2: Вычислим числитель

$$i(i — 1) = i^2 — i = -1 — i$$

Шаг 3: Вычислим знаменатель

Разность квадратов:

$$(i + 1)(i — 1) = i^2 — 1 = -1 — 1 = -2$$

Шаг 4: Соберём выражение

$$z = \frac{-1 — i}{-2} = \frac{-1}{-2} + \frac{-i}{-2} = \frac{1}{2} + \frac{1}{2}i$$

Шаг 5: Найдём модуль

$$|z| = \sqrt{\left( \frac{1}{2} \right)^2 + \left( \frac{1}{2} \right)^2} = \sqrt{\frac{1}{4} + \frac{1}{4}} = \sqrt{\frac{2}{4}} = \sqrt{\frac{1}{2}} = \frac{\sqrt{2}}{2}$$

Ответ: $\frac{\sqrt{2}}{2}$

Итоги:

а) $\frac{2}{i} = -2i$ → $|z| = 2$
б) $-\frac{3}{i} = 3i$ → $|z| = 3$
в) $\frac{i + 1}{i} = 1 — i$ → $|z| = \sqrt{2}$
г) $\frac{i}{i + 1} = \frac{1}{2} + \frac{1}{2}i$ → $|z| = \frac{\sqrt{2}}{2}$