ГДЗ по Алгебре 10 Класс Номер 34.25 Профильный Уровень Мордкович — Подробные Ответы

Запишите комплексное число в стандартной тригонометрической форме:

a) 3 — 4i;

б) -5 + 12i;

в) 6 + 8i;

г) -15 — 8i.

а) $z = 3 — 4i$

Найдем модуль $|z|$:

$$|z| = \sqrt{3^2 + (-4)^2} = \sqrt{9 + 16} = \sqrt{25} = 5$$

Найдем аргумент $\arg z$:

$$\arg z = -\arccos \frac{3}{5} = -\arccos 0.6$$

Ответ:

$$z = 5 \left( \cos(-\arccos 0.6) + i \sin(-\arccos 0.6) \right)$$

б) $z = -5 + 12i$

Найдем модуль $|z|$:

$$|z| = \sqrt{(-5)^2 + 12^2} = \sqrt{25 + 144} = \sqrt{169} = 13$$

Найдем аргумент $\arg z$:

$$\arg z = \arccos \left( -\frac{5}{13} \right)$$

Ответ:

$$z = 13 \left( \cos \left( \arccos \left( -\frac{5}{13} \right) \right) + i \sin \left( \arccos \left( -\frac{5}{13} \right) \right) \right)$$

в) $z = 6 + 8i$

Найдем модуль $|z|$:

$$|z| = \sqrt{6^2 + 8^2} = \sqrt{36 + 64} = \sqrt{100} = 10$$

Найдем аргумент $\arg z$:

$$\arg z = \arccos 0.6$$

Ответ:

$$z = 10 \left( \cos(\arccos 0.6) + i \sin(\arccos 0.6) \right)$$

г) $z = -15 — 8i$

Найдем модуль $|z|$:

$$|z| = \sqrt{(-15)^2 + (-8)^2} = \sqrt{225 + 64} = \sqrt{289} = 17$$

Найдем аргумент $\arg z$:

$$\arg z = -\pi + \arccos \frac{15}{17}$$

Ответ:

$$z = 17 \left( \cos \left( \arccos \frac{15}{17} — \pi \right) + i \sin \left( \arccos \frac{15}{17} — \pi \right) \right)$$

Комплексное число в стандартной тригонометрической форме записывается как:

$$z = r \left( \cos \varphi + i \sin \varphi \right),$$

где:

$r = |z|$ — модуль комплексного числа, который вычисляется по формуле:

$$r = \sqrt{a^2 + b^2},$$

где $a$ — действительная часть, а $b$ — мнимая часть комплексного числа.

$\varphi = \arg(z)$ — аргумент комплексного числа, который является углом, образующим комплексное число с положительным направлением оси $x$. Этот угол можно найти, используя функции арктангенса, арксинуса или арккосинуса, в зависимости от положения числа в комплексной плоскости.

Теперь давайте детально разберем каждое комплексное число.

а) $z = 3 — 4i$

Запишем комплексное число в стандартной форме:

$$z = 3 — 4i.$$

Здесь:

• $a = 3$ — действительная часть,
• $b = -4$ — мнимая часть.

Найдем модуль $|z|$:

Модуль $r = |z|$ вычисляется по формуле:

$$|z| = \sqrt{a^2 + b^2}.$$

Подставляем $a = 3$ и $b = -4$:

$$|z| = \sqrt{3^2 + (-4)^2} = \sqrt{9 + 16} = \sqrt{25} = 5.$$

Таким образом, модуль комплексного числа $z$ равен $5$.

Найдем аргумент $\varphi$ (угол):

Для нахождения аргумента $\varphi$ используем функцию арккосинуса, так как для данного комплексного числа удобно выразить его через косинус:

$$\cos \varphi = \frac{a}{r}.$$

Подставляем $a = 3$ и $r = 5$:

$$\cos \varphi = \frac{3}{5} = 0.6.$$

Теперь нам нужно найти угол $\varphi$, для которого $\cos \varphi = 0.6$. Используем арккосинус:

$$\varphi = \arccos(0.6).$$

Однако, комплексное число находится в четвертом квадранте, потому знак угла будет отрицательным:

$$\varphi = -\arccos(0.6).$$

Запишем комплексное число в тригонометрической форме:

Теперь, когда мы нашли модуль $r = 5$ и аргумент $\varphi = -\arccos(0.6)$, можем записать комплексное число в тригонометрической форме:

$$z = 5 \left( \cos(-\arccos(0.6)) + i \sin(-\arccos(0.6)) \right).$$

Ответ для пункта (а):

$$z = 5 \left( \cos(-\arccos(0.6)) + i \sin(-\arccos(0.6)) \right).$$

б) $z = -5 + 12i$

Запишем комплексное число в стандартной форме:

$$z = -5 + 12i.$$

Здесь:

• $a = -5$ — действительная часть,
• $b = 12$ — мнимая часть.

Найдем модуль $|z|$:

Модуль $r = |z|$ вычисляется по формуле:

$$|z| = \sqrt{a^2 + b^2}.$$

Подставляем $a = -5$ и $b = 12$:

$$|z| = \sqrt{(-5)^2 + 12^2} = \sqrt{25 + 144} = \sqrt{169} = 13.$$

Таким образом, модуль комплексного числа $z$ равен $13$.

Найдем аргумент $\varphi$ (угол):

Для нахождения аргумента $\varphi$ используем формулу для косинуса:

$$\cos \varphi = \frac{a}{r}.$$

Подставляем $a = -5$ и $r = 13$:

$$\cos \varphi = \frac{-5}{13}.$$

Теперь, для нахождения угла, используем арккосинус:

$$\varphi = \arccos\left( -\frac{5}{13} \right).$$

Комплексное число находится в втором квадранте, где аргумент больше $\frac{\pi}{2}$, так что аргумент не нужно дополнительно корректировать.

Запишем комплексное число в тригонометрической форме:

Теперь, когда мы нашли модуль $r = 13$ и аргумент $\varphi = \arccos\left( -\frac{5}{13} \right)$, можем записать комплексное число в тригонометрической форме:

$$z = 13 \left( \cos \left( \arccos \left( -\frac{5}{13} \right) \right) + i \sin \left( \arccos \left( -\frac{5}{13} \right) \right) \right).$$

Ответ для пункта (б):

$$z = 13 \left( \cos \left( \arccos \left( -\frac{5}{13} \right) \right) + i \sin \left( \arccos \left( -\frac{5}{13} \right) \right) \right).$$

в) $z = 6 + 8i$

Запишем комплексное число в стандартной форме:

$$z = 6 + 8i.$$

Здесь:

• $a = 6$ — действительная часть,
• $b = 8$ — мнимая часть.

Найдем модуль $|z|$:

Модуль $r = |z|$ вычисляется по формуле:

$$|z| = \sqrt{a^2 + b^2}.$$

Подставляем $a = 6$ и $b = 8$:

$$|z| = \sqrt{6^2 + 8^2} = \sqrt{36 + 64} = \sqrt{100} = 10.$$

Таким образом, модуль комплексного числа $z$ равен $10$.

Найдем аргумент $\varphi$ (угол):

Для нахождения аргумента $\varphi$ используем формулу для косинуса:

$$\cos \varphi = \frac{a}{r}.$$

Подставляем $a = 6$ и $r = 10$:

$$\cos \varphi = \frac{6}{10} = 0.6.$$

Теперь, для нахождения угла, используем арккосинус:

$$\varphi = \arccos(0.6).$$

Запишем комплексное число в тригонометрической форме:

Теперь, когда мы нашли модуль $r = 10$ и аргумент $\varphi = \arccos(0.6)$, можем записать комплексное число в тригонометрической форме:

$$z = 10 \left( \cos(\arccos(0.6)) + i \sin(\arccos(0.6)) \right).$$

Ответ для пункта (в):

$$z = 10 \left( \cos(\arccos(0.6)) + i \sin(\arccos(0.6)) \right).$$

г) $z = -15 — 8i$

Запишем комплексное число в стандартной форме:

$$z = -15 — 8i.$$

Здесь:

• $a = -15$ — действительная часть,
• $b = -8$ — мнимая часть.

Найдем модуль $|z|$:

Модуль $r = |z|$ вычисляется по формуле:

$$|z| = \sqrt{a^2 + b^2}.$$

Подставляем $a = -15$ и $b = -8$:

$$|z| = \sqrt{(-15)^2 + (-8)^2} = \sqrt{225 + 64} = \sqrt{289} = 17.$$

Таким образом, модуль комплексного числа $z$ равен $17$.

Найдем аргумент $\varphi$ (угол):

Для нахождения аргумента $\varphi$ используем синус:

$$\sin \varphi = \frac{b}{r}.$$

Подставляем $b = -8$ и $r = 17$:

$$\sin \varphi = \frac{-8}{17}.$$

Используем арккосинус:

$$\varphi = -\pi + \arccos \left( \frac{15}{17} \right).$$

Запишем комплексное число в тригонометрической форме:

Теперь, когда мы нашли модуль $r = 17$ и аргумент $\varphi = -\pi + \arccos \left( \frac{15}{17} \right)$, можем записать число в тригонометрической форме:

$$z = 17 \left( \cos \left( \arccos \frac{15}{17} — \pi \right) + i \sin \left( \arccos \frac{15}{17} — \pi \right) \right).$$

Ответ для пункта (г):

$$z = 17 \left( \cos \left( \arccos \frac{15}{17} — \pi \right) + i \sin \left( \arccos \frac{15}{17} — \pi \right) \right).$$