ГДЗ по Алгебре 10 Класс Номер 34.28 Профильный Уровень Мордкович — Подробные Ответы

Представьте в алгебраической форме комплексное число:

а) $z=5(\cos \frac{5\pi }{6}+i\sin \frac{5\pi }{6})$

б) $z=\frac{1}{\cos (-\frac{\pi }{3})+i\sin (-\frac{\pi }{3})}$

в) $z=5(\cos \frac{2\pi }{3}+i\sin \frac{2\pi }{3})$

г) $z=\frac{1}{\cos (-\frac{3\pi }{4})+i\sin (-\frac{3\pi }{4})}$

Записать комплексное число в алгебраической форме:

а) $z = 5 \left( \cos \frac{5\pi}{6} + i \sin \frac{5\pi}{6} \right) = 5 \left( -\frac{\sqrt{3}}{2} + \frac{1}{2}i \right) = 2,5(-\sqrt{3} + i)$;

Ответ: $2,5(-\sqrt{3} + i)$.

б) $z = \frac{1}{\cos \left( -\frac{\pi}{3} \right) + i \sin \left( -\frac{\pi}{3} \right)} = \frac{1}{\cos \frac{\pi}{3} — i \sin \frac{\pi}{3}} = \frac{1}{\frac{1}{2} — \frac{\sqrt{3}}{2}i} = \frac{2}{1 — i\sqrt{3}}$;

$z = \frac{2(1 + i\sqrt{3})}{(1 — i\sqrt{3})(1 + i\sqrt{3})} = \frac{2 + 2i\sqrt{3}}{1 — 3i^2} = \frac{2 + 2i\sqrt{3}}{4} = \frac{1 + i\sqrt{3}}{2} = 0,5(1 + i\sqrt{3})$;

Ответ: $0,5(1 + i\sqrt{3})$.

в) $z = 5 \left( \cos \frac{2\pi}{3} + i \sin \frac{2\pi}{3} \right) = 5 \left( -\frac{1}{2} + \frac{\sqrt{3}}{2}i \right) = 2,5(-1 + i\sqrt{3})$;

Ответ: $2,5(-1 + i\sqrt{3})$.

г) $z = \frac{1}{\cos \left( -\frac{3\pi}{4} \right) + i \sin \left( -\frac{3\pi}{4} \right)} = \frac{1}{\cos \frac{3\pi}{4} — i \sin \frac{3\pi}{4}} = \frac{1}{-\frac{\sqrt{2}}{2} — \frac{\sqrt{2}}{2}i}$;

$z = \frac{-2}{\sqrt{2} + i\sqrt{2}} = \frac{-2(\sqrt{2} — i\sqrt{2})}{(\sqrt{2} + i\sqrt{2})(\sqrt{2} — i\sqrt{2})} = \frac{-2\sqrt{2} + 2i\sqrt{2}}{2 — 2i^2} = \frac{-2\sqrt{2} + 2i\sqrt{2}}{4}$;

$z = \frac{-\sqrt{2} + i\sqrt{2}}{2} = \frac{\sqrt{2}}{2}(-1 + i)$;

Ответ: $\frac{\sqrt{2}}{2}(-1 + i)$.

Записать комплексные числа в алгебраической форме. В каждой задаче будет использоваться преобразование тригонометрической формы комплексного числа в алгебраическую, где $z = r \left( \cos \varphi + i \sin \varphi \right)$.

а) $z = 5 \left( \cos \frac{5\pi}{6} + i \sin \frac{5\pi}{6} \right)$

Дано комплексное число:

$$z = 5 \left( \cos \frac{5\pi}{6} + i \sin \frac{5\pi}{6} \right).$$

Используем известные значения косинуса и синуса:
Для угла $\frac{5\pi}{6}$ (или $150^\circ$), мы знаем следующие значения:

$$\cos \frac{5\pi}{6} = -\frac{\sqrt{3}}{2}, \quad \sin \frac{5\pi}{6} = \frac{1}{2}.$$

Подставим значения в выражение для $z$:

$$z = 5 \left( -\frac{\sqrt{3}}{2} + i \cdot \frac{1}{2} \right).$$

Умножим на 5:

$$z = 5 \cdot \left( -\frac{\sqrt{3}}{2} \right) + 5 \cdot \left( \frac{1}{2} \right) i = -\frac{5\sqrt{3}}{2} + \frac{5}{2} i.$$

Запишем в окончательной алгебраической форме:

$$z = 2.5(-\sqrt{3} + i).$$

Ответ для пункта (а):

$$z = 2.5(-\sqrt{3} + i).$$

б) $z = \frac{1}{\cos \left( -\frac{\pi}{3} \right) + i \sin \left( -\frac{\pi}{3} \right)}$

Дано комплексное число:

$$z = \frac{1}{\cos \left( -\frac{\pi}{3} \right) + i \sin \left( -\frac{\pi}{3} \right)}.$$

Мы знаем, что:

$$\cos(-\theta) = \cos(\theta), \quad \sin(-\theta) = -\sin(\theta).$$

Таким образом, для угла $\frac{\pi}{3}$ (или $60^\circ$):

$$\cos \frac{\pi}{3} = \frac{1}{2}, \quad \sin \frac{\pi}{3} = \frac{\sqrt{3}}{2}.$$

Преобразуем выражение для $z$:

$$z = \frac{1}{\cos \frac{\pi}{3} — i \sin \frac{\pi}{3}} = \frac{1}{\frac{1}{2} — \frac{\sqrt{3}}{2} i}.$$

Умножим числитель и знаменатель на сопряжённую величину:
Для удобства умножим числитель и знаменатель на сопряжённое выражение $\frac{1}{2} + \frac{\sqrt{3}}{2} i$:

$$z = \frac{1}{\frac{1}{2} — \frac{\sqrt{3}}{2} i} \cdot \frac{\frac{1}{2} + \frac{\sqrt{3}}{2} i}{\frac{1}{2} + \frac{\sqrt{3}}{2} i} = \frac{\frac{1}{2} + \frac{\sqrt{3}}{2} i}{\left( \frac{1}{2} \right)^2 + \left( \frac{\sqrt{3}}{2} \right)^2}.$$

Упростим знаменатель:

$$\left( \frac{1}{2} \right)^2 + \left( \frac{\sqrt{3}}{2} \right)^2 = \frac{1}{4} + \frac{3}{4} = 1.$$

Таким образом:

$$z = \frac{1}{2} + \frac{\sqrt{3}}{2} i.$$

Запишем в окончательной алгебраической форме:

$$z = 0.5(1 + i\sqrt{3}).$$

Ответ для пункта (б):

$$z = 0.5(1 + i\sqrt{3}).$$

в) $z = 5 \left( \cos \frac{2\pi}{3} + i \sin \frac{2\pi}{3} \right)$

Дано комплексное число:

$$z = 5 \left( \cos \frac{2\pi}{3} + i \sin \frac{2\pi}{3} \right).$$

Для угла $\frac{2\pi}{3}$ (или $120^\circ$):

$$\cos \frac{2\pi}{3} = -\frac{1}{2}, \quad \sin \frac{2\pi}{3} = \frac{\sqrt{3}}{2}.$$

Подставим значения косинуса и синуса:

$$z = 5 \left( -\frac{1}{2} + i \cdot \frac{\sqrt{3}}{2} \right).$$

Умножим на 5:

$$z = 5 \cdot \left( -\frac{1}{2} \right) + 5 \cdot \left( \frac{\sqrt{3}}{2} \right) i = -\frac{5}{2} + \frac{5\sqrt{3}}{2} i.$$

Запишем в окончательной алгебраической форме:

$$z = 2.5(-1 + i\sqrt{3}).$$

Ответ для пункта (в):

$$z = 2.5(-1 + i\sqrt{3}).$$

г) $z = \frac{1}{\cos \left( -\frac{3\pi}{4} \right) + i \sin \left( -\frac{3\pi}{4} \right)}$

Дано комплексное число:

$$z = \frac{1}{\cos \left( -\frac{3\pi}{4} \right) + i \sin \left( -\frac{3\pi}{4} \right)}.$$

Мы знаем, что:

$$\cos\left( -\frac{3\pi}{4} \right) = -\frac{\sqrt{2}}{2}, \quad \sin\left( -\frac{3\pi}{4} \right) = -\frac{\sqrt{2}}{2}.$$

Подставим значения:

$$z = \frac{1}{-\frac{\sqrt{2}}{2} — \frac{\sqrt{2}}{2} i}.$$

Умножим числитель и знаменатель на сопряжённое выражение:
Для удобства умножим числитель и знаменатель на сопряжённое выражение $\frac{\sqrt{2}}{2} + \frac{\sqrt{2}}{2} i$:

$$z = \frac{-2}{\sqrt{2} + i \sqrt{2}} = \frac{-2(\sqrt{2} — i\sqrt{2})}{(\sqrt{2} + i \sqrt{2})(\sqrt{2} — i \sqrt{2})}.$$

После умножения знаменателя:

$$(\sqrt{2})^2 — (i\sqrt{2})^2 = 2 — (-2) = 4.$$

Упростим дробь:

$$z = \frac{-2\sqrt{2} + 2i\sqrt{2}}{4} = \frac{-\sqrt{2} + i\sqrt{2}}{2}.$$

Запишем в окончательной алгебраической форме:

$$z = \frac{\sqrt{2}}{2}(-1 + i).$$

Ответ для пункта (г):

$$z = \frac{\sqrt{2}}{2}(-1 + i).$$

Итоговые ответы:

а) $z = 2.5(-\sqrt{3} + i)$

б) $z = 0.5(1 + i\sqrt{3})$

в) $z = 2.5(-1 + i\sqrt{3})$

г) $z = \frac{\sqrt{2}}{2}(-1 + i)$