ГДЗ по Алгебре 10 Класс Номер 34.29 Профильный Уровень Мордкович — Подробные Ответы

Выполните действия, используя правила умножения и деления комплексных чисел в тригонометрической форме:

а)

$$6 \left( \cos \frac{2\pi}{3} + i \sin \frac{2\pi}{3} \right) \cdot \frac{1}{3} \left( \cos \left( -\frac{\pi}{6} \right) + i \sin \left( -\frac{\pi}{6} \right) \right) =$$ $$$$б)

$$(-5 — 5i) \cdot \left( \cos \frac{\pi}{4} + i \sin \frac{\pi}{4} \right) =$$ $$$$в)

$$0,3 \cdot \left( \cos \left( -\frac{\pi}{12} \right) + i \sin \left( -\frac{\pi}{12} \right) \right) \cdot 20 \left( \cos \frac{\pi}{4} + i \sin \frac{\pi}{4} \right) =$$ $$$$г)

$$\sqrt{3}(\cos \frac{\pi }{6}+i\sin \frac{\pi }{6})\cdot (2+2\sqrt{3}i)$$

а)

$$6 \left( \cos \frac{2\pi}{3} + i \sin \frac{2\pi}{3} \right) \cdot \frac{1}{3} \left( \cos \left( -\frac{\pi}{6} \right) + i \sin \left( -\frac{\pi}{6} \right) \right) =$$ $$= 6 \cdot \frac{1}{3} \cdot \left( \cos \left( \frac{2\pi}{3} — \frac{\pi}{6} \right) + i \sin \left( \frac{2\pi}{3} — \frac{\pi}{6} \right) \right) = 2 \left( \cos \frac{\pi}{2} + i \sin \frac{\pi}{2} \right) = 2i;$$

Ответ: $2i$.

б)

$$(-5 — 5i) \cdot \left( \cos \frac{\pi}{4} + i \sin \frac{\pi}{4} \right) =$$ $$= 5\sqrt{2} \left( \cos \left( -\frac{3\pi}{4} \right) + i \sin \left( -\frac{3\pi}{4} \right) \right) \cdot \left( \cos \frac{\pi}{4} + i \sin \frac{\pi}{4} \right) =$$ $$= 5\sqrt{2} \cdot 1 \cdot \left( \cos \left( -\frac{3\pi}{4} + \frac{\pi}{4} \right) + i \sin \left( -\frac{3\pi}{4} + \frac{\pi}{4} \right) \right) =$$ $$= 5\sqrt{2} \left( \cos \left( -\frac{\pi}{2} \right) + i \sin \left( -\frac{\pi}{2} \right) \right) = 5\sqrt{2} \left( \cos \frac{\pi}{2} — i \sin \frac{\pi}{2} \right) = -5i\sqrt{2};$$

Найдем первый множитель:

$$z = -5 — 5i = 5\sqrt{2} \left( -\frac{1}{\sqrt{2}} — \frac{1}{\sqrt{2}} i \right);$$ $$|z| = \sqrt{(-5)^2 + (-5)^2} = \sqrt{2 \cdot 5^2} = 5\sqrt{2};$$ $$\arg z = -\pi + \arcsin \frac{\sqrt{2}}{2} = -\pi + \frac{\pi}{4} = -\frac{3\pi}{4};$$

Ответ: $-5i\sqrt{2}$.

в)

$$0,3 \cdot \left( \cos \left( -\frac{\pi}{12} \right) + i \sin \left( -\frac{\pi}{12} \right) \right) \cdot 20 \left( \cos \frac{\pi}{4} + i \sin \frac{\pi}{4} \right) =$$ $$= 0,3 \cdot 20 \cdot \left( \cos \left( -\frac{\pi}{12} + \frac{\pi}{4} \right) + i \sin \left( -\frac{\pi}{12} + \frac{\pi}{4} \right) \right) = 6 \left( \cos \frac{\pi}{6} + i \sin \frac{\pi}{6} \right) =$$ $$= 6 \left( \frac{\sqrt{3}}{2} + \frac{1}{2} i \right) = 3(\sqrt{3} + i);$$

Ответ: $3(\sqrt{3} + i)$.

г)

$$\sqrt{3} \left( \cos \frac{\pi}{6} + i \sin \frac{\pi}{6} \right) \cdot (2 + 2\sqrt{3}i) =$$ $$= \sqrt{3} \left( \cos \frac{\pi}{6} + i \sin \frac{\pi}{6} \right) \cdot 4 \left( \cos \frac{\pi}{3} + i \sin \frac{\pi}{3} \right) =$$ $$= \sqrt{3} \cdot 4 \cdot \left( \cos \left( \frac{\pi}{6} + \frac{\pi}{3} \right) + i \sin \left( \frac{\pi}{6} + \frac{\pi}{3} \right) \right) = 4\sqrt{3} \left( \cos \frac{\pi}{2} + i \sin \frac{\pi}{2} \right) = 4i\sqrt{3};$$

Найдем второй множитель:

$$z = 2 + 2\sqrt{3}i = 4 \left( \frac{1}{2} + \frac{\sqrt{3}}{2} i \right);$$ $$|z| = \sqrt{2^2 + (2\sqrt{3})^2} = \sqrt{4 + 12} = \sqrt{16} = 4;$$ $$\arg z = \arccos \frac{1}{2} = \frac{\pi}{3};$$

Ответ: $4i\sqrt{3}$.

а)

$$z = 6 \left( \cos \frac{2\pi}{3} + i \sin \frac{2\pi}{3} \right) \cdot \frac{1}{3} \left( \cos \left( -\frac{\pi}{6} \right) + i \sin \left( -\frac{\pi}{6} \right) \right)$$

Шаг 1: Умножение комплексных чисел в тригонометрической форме

Мы используем правило для умножения комплексных чисел в тригонометрической форме:

$$z = r_1 \left( \cos \varphi_1 + i \sin \varphi_1 \right) \cdot r_2 \left( \cos \varphi_2 + i \sin \varphi_2 \right) = r_1 r_2 \left( \cos \left( \varphi_1 + \varphi_2 \right) + i \sin \left( \varphi_1 + \varphi_2 \right) \right).$$

В нашем случае:

$r_1 = 6$, $\varphi_1 = \frac{2\pi}{3}$

$r_2 = \frac{1}{3}$, $\varphi_2 = -\frac{\pi}{6}$

Используем формулу:

$$z = 6 \cdot \frac{1}{3} \left( \cos \left( \frac{2\pi}{3} — \frac{\pi}{6} \right) + i \sin \left( \frac{2\pi}{3} — \frac{\pi}{6} \right) \right).$$

Умножив $6$ на $\frac{1}{3}$, получаем:

$$z = 2 \left( \cos \left( \frac{2\pi}{3} — \frac{\pi}{6} \right) + i \sin \left( \frac{2\pi}{3} — \frac{\pi}{6} \right) \right).$$

Шаг 2: Упрощение углов

Теперь вычислим $\frac{2\pi}{3} — \frac{\pi}{6}$. Приведем дроби к общему знаменателю:

$$\frac{2\pi}{3} = \frac{4\pi}{6}, \quad \frac{4\pi}{6} — \frac{\pi}{6} = \frac{3\pi}{6} = \frac{\pi}{2}.$$

Таким образом, $\cos \left( \frac{\pi}{2} \right) + i \sin \left( \frac{\pi}{2} \right)$ соответствует числу $i$, так как:

$$\cos \frac{\pi}{2} = 0, \quad \sin \frac{\pi}{2} = 1.$$

Шаг 3: Ответ

Теперь подставим:

$$z = 2 \cdot i = 2i.$$

Ответ: $2i$.

б)

$$z = (-5 — 5i) \cdot \left( \cos \frac{\pi}{4} + i \sin \frac{\pi}{4} \right)$$

Шаг 1: Представление числа $-5 — 5i$ в тригонометрической форме

Прежде чем выполнять умножение, представим $-5 — 5i$ в тригонометрической форме. Модуль этого числа:

$$|z| = \sqrt{(-5)^2 + (-5)^2} = \sqrt{25 + 25} = \sqrt{50} = 5\sqrt{2}.$$

Теперь вычислим аргумент $\arg z$. Угол можно найти, используя:

$$\arg z = \arctan \frac{b}{a} = \arctan \frac{-5}{-5} = \arctan(1) = \frac{\pi}{4}.$$

Так как число находится в третьем квадранте (где как действительная, так и мнимая часть отрицательные), нужно добавить $\pi$ к углу:

$$\arg z = -\pi + \frac{\pi}{4} = -\frac{3\pi}{4}.$$

Таким образом, представление числа $-5 — 5i$ в тригонометрической форме:

$$z = 5\sqrt{2} \left( \cos \left( -\frac{3\pi}{4} \right) + i \sin \left( -\frac{3\pi}{4} \right) \right).$$

Шаг 2: Умножение в тригонометрической форме

Теперь можно использовать формулу для умножения комплексных чисел в тригонометрической форме:

$$z = 5\sqrt{2} \left( \cos \left( -\frac{3\pi}{4} \right) + i \sin \left( -\frac{3\pi}{4} \right) \right) \cdot \left( \cos \frac{\pi}{4} + i \sin \frac{\pi}{4} \right).$$

Мы используем правило для умножения:

$$z = r_1 r_2 \left( \cos \left( \varphi_1 + \varphi_2 \right) + i \sin \left( \varphi_1 + \varphi_2 \right) \right),$$

где $r_1 = 5\sqrt{2}$, $\varphi_1 = -\frac{3\pi}{4}$, $r_2 = 1$, $\varphi_2 = \frac{\pi}{4}$.

Подставляем:

$$z = 5\sqrt{2} \left( \cos \left( -\frac{3\pi}{4} + \frac{\pi}{4} \right) + i \sin \left( -\frac{3\pi}{4} + \frac{\pi}{4} \right) \right) = 5\sqrt{2} \left( \cos \left( -\frac{\pi}{2} \right) + i \sin \left( -\frac{\pi}{2} \right) \right).$$

Так как $\cos \left( -\frac{\pi}{2} \right) = 0$ и $\sin \left( -\frac{\pi}{2} \right) = -1$, то:

$$z = 5\sqrt{2} \cdot \left( 0 — i \right) = -5i\sqrt{2}.$$

Ответ: $-5i\sqrt{2}$.

в)

$$z = 0,3 \cdot \left( \cos \left( -\frac{\pi}{12} \right) + i \sin \left( -\frac{\pi}{12} \right) \right) \cdot 20 \left( \cos \frac{\pi}{4} + i \sin \frac{\pi}{4} \right)$$

Шаг 1: Умножение чисел в тригонометрической форме

Используем правило для умножения комплексных чисел в тригонометрической форме:

$$z = r_1 r_2 \left( \cos \left( \varphi_1 + \varphi_2 \right) + i \sin \left( \varphi_1 + \varphi_2 \right) \right),$$

где $r_1 = 0,3$, $\varphi_1 = -\frac{\pi}{12}$, $r_2 = 20$, $\varphi_2 = \frac{\pi}{4}$.

Подставляем:

$$z = 0,3 \cdot 20 \cdot \left( \cos \left( -\frac{\pi}{12} + \frac{\pi}{4} \right) + i \sin \left( -\frac{\pi}{12} + \frac{\pi}{4} \right) \right) = 6 \left( \cos \frac{\pi}{6} + i \sin \frac{\pi}{6} \right).$$

Шаг 2: Запишем в алгебраической форме

Используем значения:

$$\cos \frac{\pi}{6} = \frac{\sqrt{3}}{2}, \quad \sin \frac{\pi}{6} = \frac{1}{2}.$$

Тогда:

$$z = 6 \left( \frac{\sqrt{3}}{2} + \frac{1}{2} i \right) = 3 (\sqrt{3} + i).$$

Ответ: $3(\sqrt{3} + i)$.

г)

$$z = \sqrt{3} \left( \cos \frac{\pi}{6} + i \sin \frac{\pi}{6} \right) \cdot (2 + 2\sqrt{3}i)$$

Шаг 1: Преобразуем $2 + 2\sqrt{3}i$ в тригонометрическую форму

Представим число $2 + 2\sqrt{3}i$ в тригонометрической форме. Для этого вычислим его модуль и аргумент:

$$|z| = \sqrt{2^2 + (2\sqrt{3})^2} = \sqrt{4 + 12} = \sqrt{16} = 4,$$ $$\arg z = \arctan \frac{2\sqrt{3}}{2} = \arctan \sqrt{3} = \frac{\pi}{3}.$$

Таким образом, комплексное число $2 + 2\sqrt{3}i$ можно записать как:

$$z = 4 \left( \cos \frac{\pi}{3} + i \sin \frac{\pi}{3} \right).$$

Шаг 2: Умножение в тригонометрической форме

Теперь используем правило для умножения:

$$z = \sqrt{3} \left( \cos \frac{\pi}{6} + i \sin \frac{\pi}{6} \right) \cdot 4 \left( \cos \frac{\pi}{3} + i \sin \frac{\pi}{3} \right).$$

Мы получаем:

$$z = \sqrt{3} \cdot 4 \cdot \left( \cos \left( \frac{\pi}{6} + \frac{\pi}{3} \right) + i \sin \left( \frac{\pi}{6} + \frac{\pi}{3} \right) \right) = 4\sqrt{3} \left( \cos \frac{\pi}{2} + i \sin \frac{\pi}{2} \right).$$

Так как $\cos \frac{\pi}{2} = 0$ и $\sin \frac{\pi}{2} = 1$, то:

$$z = 4i\sqrt{3}.$$

Ответ: $4i\sqrt{3}$.

Итоговые ответы:

а) $2i$

б) $-5i\sqrt{2}$

в) $3(\sqrt{3} + i)$

г) $4i\sqrt{3}$