ГДЗ по Алгебре 10 Класс Номер 34.3 Профильный Уровень Мордкович — Подробные Ответы

Для комплексных чисел $z_1 = 12 — 5i$ и $z_2 = 3 + 4i$:

а) Найдите $|z_1|$ и $|z_2|$;

б) Вычислите $z_1 z_2$ и проверьте равенство $|z_1 z_2| = |z_1| \cdot |z_2|$;

в) Вычислите $\frac{1}{z_1}$ и проверьте равенство $\left| \frac{1}{z_1} \right| = \frac{1}{|z_1|}$;

г) Вычислите $\frac{z_1}{z_2}$ и проверьте равенство $\left| \frac{z_1}{z_2} \right| = \frac{|z_1|}{|z_2|}$.

Даны комплексные числа:
$z_1 = 12 — 5i \quad \text{и} \quad z_2 = 3 + 4i;$

а) Найдем $|z_1|$ и $|z_2|$:

$$|z_1| = \sqrt{12^2 + 5^2} = \sqrt{144 + 25} = \sqrt{169} = 13;$$ $$|z_2| = \sqrt{3^2 + 4^2} = \sqrt{9 + 16} = \sqrt{25} = 5;$$

Ответ: $13; 5$.

б) Вычислим $z_1 z_2$ и проверим равенство $|z_1 z_2| = |z_1| \cdot |z_2|$:

$$z_1 z_2 = (12 — 5i)(3 + 4i) = 36 + 48i — 15i — 20i^2 = 56 + 33i;$$ $$|z_1 z_2| = \sqrt{56^2 + 33^2} = \sqrt{3136 + 1089} = \sqrt{4225} = 65;$$ $$|z_1| \cdot |z_2| = 13 \cdot 5 = 65;$$

Ответ: $56 + 33i$.

в) Вычислим $\frac{1}{z_1}$ и проверим равенство $\left| \frac{1}{z_1} \right| = \frac{1}{|z_1|}$:

$$\frac{1}{z_1} = \frac{1}{12 — 5i} = \frac{12 + 5i}{(12 — 5i)(12 + 5i)} = \frac{12 + 5i}{144 — 25i^2} = \frac{12 + 5i}{169};$$ $$\left| \frac{1}{z_1} \right| = \sqrt{\left( \frac{12}{169} \right)^2 + \left( \frac{5}{169} \right)^2} = \sqrt{\frac{144}{169^2} + \frac{25}{169^2}} = \sqrt{\frac{169}{169^2}} = \sqrt{\frac{1}{169}} = \frac{1}{13};$$ $$\frac{1}{|z_1|} = \frac{1}{13};$$

Ответ: $\frac{12 + 5i}{169}$.

г) Вычислим $\frac{z_1}{z_2}$ и проверим равенство $\left| \frac{z_1}{z_2} \right| = \frac{|z_1|}{|z_2|}$:

$$\frac{z_1}{z_2} = \frac{12 — 5i}{3 + 4i} = \frac{(12 — 5i)(3 — 4i)}{(3 + 4i)(3 — 4i)} = \frac{36 — 48i — 15i + 20i^2}{9 — 16i^2} = \frac{36 — 63i — 20}{9 + 16} = \frac{16 — 63i}{25};$$ $$\left| \frac{z_1}{z_2} \right| = \sqrt{\left( \frac{16}{25} \right)^2 + \left( \frac{63}{25} \right)^2} = \sqrt{\frac{256}{25^2} + \frac{3969}{25^2}} = \sqrt{\frac{4225}{25^2}} = \frac{\sqrt{4225}}{25} = \frac{65}{25} = \frac{13}{5};$$ $$\frac{|z_1|}{|z_2|} = \frac{13}{5};$$

Ответ: $\frac{16 — 63i}{25}$.

Дано:

$$z_1 = 12 — 5i, \quad z_2 = 3 + 4i$$

а) Найти модули $|z_1|$ и $|z_2|$

Формула:

Модуль комплексного числа $z = a + bi$:

$$|z| = \sqrt{a^2 + b^2}$$

Для $z_1 = 12 — 5i$:

• $a = 12$
• $b = -5$

$$|z_1| = \sqrt{12^2 + (-5)^2} = \sqrt{144 + 25} = \sqrt{169} = 13$$

Для $z_2 = 3 + 4i$:

• $a = 3$
• $b = 4$

$$|z_2| = \sqrt{3^2 + 4^2} = \sqrt{9 + 16} = \sqrt{25} = 5$$

Ответ: $13; 5$

б) Найти произведение $z_1 z_2$ и проверить равенство $|z_1 z_2| = |z_1| \cdot |z_2|$

Перемножим:

$$z_1 z_2 = (12 — 5i)(3 + 4i)$$

Применим формулу умножения комплексных чисел:

$$(a + bi)(c + di) = ac + adi + bci + bdi^2$$

Разложим:

$$= 12 \cdot 3 + 12 \cdot 4i — 5i \cdot 3 — 5i \cdot 4i = 36 + 48i — 15i — 20i^2$$ $$= 36 + 33i — 20(-1) = 36 + 33i + 20 = 56 + 33i$$

Найдём модуль произведения:

$$|z_1 z_2| = |56 + 33i| = \sqrt{56^2 + 33^2}$$

Вычислим:

• $56^2 = 3136$
• $33^2 = 1089$

$$|z_1 z_2| = \sqrt{3136 + 1089} = \sqrt{4225} = 65$$

Проверим произведение модулей:

$$|z_1| \cdot |z_2| = 13 \cdot 5 = 65$$

Равенство выполнено.

Ответ: $56 + 33i$

в) Вычислить $\frac{1}{z_1}$ и проверить $\left| \frac{1}{z_1} \right| = \frac{1}{|z_1|}$

Найдём обратное число:

$$\frac{1}{z_1} = \frac{1}{12 — 5i}$$

Умножим числитель и знаменатель на сопряжённое к знаменателю:
Сопряжённое к $12 — 5i$ — это $12 + 5i$

$$\frac{1}{z_1} = \frac{1 \cdot (12 + 5i)}{(12 — 5i)(12 + 5i)} = \frac{12 + 5i}{144 + 25} = \frac{12 + 5i}{169}$$

Найдём модуль:

$$\left| \frac{1}{z_1} \right| = \left| \frac{12 + 5i}{169} \right| = \frac{1}{169} \cdot \sqrt{12^2 + 5^2}$$ $$= \frac{1}{169} \cdot \sqrt{144 + 25} = \frac{1}{169} \cdot \sqrt{169} = \frac{1}{169} \cdot 13 = \frac{13}{169} = \frac{1}{13}$$

Сравним:

$$\frac{1}{|z_1|} = \frac{1}{13}$$

Равенство выполнено.

Ответ: $\frac{12 + 5i}{169}$

г) Вычислить $\frac{z_1}{z_2}$ и проверить $\left| \frac{z_1}{z_2} \right| = \frac{|z_1|}{|z_2|}$

$$\frac{z_1}{z_2} = \frac{12 — 5i}{3 + 4i}$$

Умножим числитель и знаменатель на сопряжённое к знаменателю:
Сопряжённое к $3 + 4i$ — это $3 — 4i$

$$= \frac{(12 — 5i)(3 — 4i)}{(3 + 4i)(3 — 4i)}$$

Вычислим числитель:

$$(12-5i)(3-4i)=36-48i-15i+20i^2=36-63i+20(-1)=$$

$$(12 — 5i)(3 — 4i) = 36 — 48i — 15i + 20i^2 = 36 — 63i + 20(-1) = 36 — 63i — 20 = 16 — 63i$$

Вычислим знаменатель:

$$(3 + 4i)(3 — 4i) = 9 — 16i^2 = 9 + 16 = 25$$

Итак:

$$\frac{z_1}{z_2} = \frac{16 — 63i}{25}$$

Найдём модуль:

$$\left| \frac{z_1}{z_2} \right| = \left| \frac{16 — 63i}{25} \right| = \frac{1}{25} \cdot \sqrt{16^2 + 63^2}$$

• $16^2 = 256$
• $63^2 = 3969$

$$= \frac{1}{25} \cdot \sqrt{256 + 3969} = \frac{1}{25} \cdot \sqrt{4225} = \frac{1}{25} \cdot 65 = \frac{65}{25} = \frac{13}{5}$$

Сравним:

$$\frac{|z_1|}{|z_2|} = \frac{13}{5}$$

Равенство выполнено.

Ответ: $\frac{16 — 63i}{25}$