ГДЗ по Алгебре 10 Класс Номер 34.30 Профильный Уровень Мордкович — Подробные Ответы

Выполните действия, используя правила умножения и деления комплексных чисел в тригонометрической форме:

а)

$$8 \left( \cos \frac{7\pi}{12} + i \sin \frac{7\pi}{12} \right) : 4 \left( \cos \left( -\frac{\pi}{4} \right) + i \sin \left( -\frac{\pi}{4} \right) \right) =$$ $$$$б)

$$(10 + 10i) : \sqrt{2} \left( \cos \frac{3\pi}{4} + i \sin \frac{3\pi}{4} \right) =$$ $$$$в)

$$12 \left( \cos \frac{5\pi}{6} + i \sin \frac{5\pi}{6} \right) : 0,3 \left( \cos \frac{\pi}{3} + i \sin \frac{\pi}{3} \right) =$$ $$$$г)

$$16(\cos (-\frac{\pi }{6})+i\sin (-\frac{\pi }{6})):(4-4\sqrt{3}i)$$

а)

$$8 \left( \cos \frac{7\pi}{12} + i \sin \frac{7\pi}{12} \right) : 4 \left( \cos \left( -\frac{\pi}{4} \right) + i \sin \left( -\frac{\pi}{4} \right) \right) =$$ $$= \frac{8}{4} \cdot \left( \cos \left( \frac{7\pi}{12} + \frac{\pi}{4} \right) + i \sin \left( \frac{7\pi}{12} + \frac{\pi}{4} \right) \right) = 2 \left( \cos \frac{5\pi}{6} + i \sin \frac{5\pi}{6} \right) =$$ $$= 2 \left( -\frac{\sqrt{3}}{2} + \frac{1}{2} i \right) = -\sqrt{3} + i;$$

Ответ: $-\sqrt{3} + i$.

б)

$$(10 + 10i) : \sqrt{2} \left( \cos \frac{3\pi}{4} + i \sin \frac{3\pi}{4} \right) =$$ $$= 10 \sqrt{2} \left( \cos \frac{\pi}{4} + i \sin \frac{\pi}{4} \right) : \sqrt{2} \left( \cos \frac{3\pi}{4} + i \sin \frac{3\pi}{4} \right) =$$ $$= \frac{10 \sqrt{2}}{\sqrt{2}} \cdot \left( \cos \left( \frac{\pi}{4} — \frac{3\pi}{4} \right) + i \sin \left( \frac{\pi}{4} — \frac{3\pi}{4} \right) \right) =$$ $$= 10 \left( \cos \left( -\frac{\pi}{2} \right) + i \sin \left( -\frac{\pi}{2} \right) \right) = 10 \left( \cos \frac{\pi}{2} — i \sin \frac{\pi}{2} \right) = -10i;$$

Найдем делимое:

$$z = 10 + 10i = 10 \sqrt{2} \left( \frac{1}{\sqrt{2}} + \frac{1}{\sqrt{2}} i \right);$$ $$|z| = \sqrt{10^2 + 10^2} = \sqrt{2 \cdot 10^2} = 10 \sqrt{2};$$ $$\arg z = \arccos \frac{1}{\sqrt{2}} = \frac{\pi}{4};$$

Ответ: $-10i$.

в)

$$12 \left( \cos \frac{5\pi}{6} + i \sin \frac{5\pi}{6} \right) : 0,3 \left( \cos \frac{\pi}{3} + i \sin \frac{\pi}{3} \right) =$$ $$= \frac{12}{0,3} \cdot \left( \cos \left( \frac{5\pi}{6} — \frac{\pi}{3} \right) + i \sin \left( \frac{5\pi}{6} — \frac{\pi}{3} \right) \right) = 40 \left( \cos \frac{\pi}{2} + i \sin \frac{\pi}{2} \right) = 40i;$$

Ответ: $40i$.

г)

$$16 \left( \cos \left( -\frac{\pi}{6} \right) + i \sin \left( -\frac{\pi}{6} \right) \right) : (4 — 4\sqrt{3}i) =$$ $$= 16 \left( \cos \left( -\frac{\pi}{6} \right) + i \sin \left( -\frac{\pi}{6} \right) \right) : 8 \left( \cos \left( -\frac{\pi}{3} \right) + i \sin \left( -\frac{\pi}{3} \right) \right) =$$ $$= \frac{16}{8} \cdot \left( \cos \left( -\frac{\pi}{6} + \frac{\pi}{3} \right) + i \sin \left( -\frac{\pi}{6} + \frac{\pi}{3} \right) \right) = 2 \left( \cos \frac{\pi}{6} + i \sin \frac{\pi}{6} \right) =$$ $$= 2 \left( \frac{\sqrt{3}}{2} + \frac{1}{2} i \right) = \sqrt{3} + i;$$

Найдем делитель:

$$z = 4 — 4\sqrt{3}i = 8 \left( \frac{1}{2} — \frac{\sqrt{3}}{2} i \right);$$ $$|z| = \sqrt{4^2 + (4\sqrt{3})^2} = \sqrt{16 + 48} = \sqrt{64} = 8;$$ $$\arg z = \arcsin \left( -\frac{\sqrt{3}}{2} \right) = -\arcsin \frac{\sqrt{3}}{2} = -\frac{\pi}{3};$$

Ответ: $\sqrt{3} + i$.

а) Решение:

Дано выражение:

$$8 \left( \cos \frac{7\pi}{12} + i \sin \frac{7\pi}{12} \right) : 4 \left( \cos \left( -\frac{\pi}{4} \right) + i \sin \left( -\frac{\pi}{4} \right) \right)$$

Это деление комплексных чисел в полярной форме. Формула для деления комплексных чисел в полярной форме выглядит так:

$$\frac{r_1 \left( \cos \theta_1 + i \sin \theta_1 \right)}{r_2 \left( \cos \theta_2 + i \sin \theta_2 \right)} = \frac{r_1}{r_2} \left( \cos (\theta_1 — \theta_2) + i \sin (\theta_1 — \theta_2) \right)$$

Здесь $r_1$ и $r_2$ — это модули комплексных чисел, а $\theta_1$ и $\theta_2$ — их аргументы. Применим эту формулу к нашему примеру.

Модуль первого числа $r_1 = 8$, аргумент первого числа $\theta_1 = \frac{7\pi}{12}$.

Модуль второго числа $r_2 = 4$, аргумент второго числа $\theta_2 = -\frac{\pi}{4}$.

Подставляем в формулу:

$$\frac{8}{4} \cdot \left( \cos \left( \frac{7\pi}{12} — \left( -\frac{\pi}{4} \right) \right) + i \sin \left( \frac{7\pi}{12} — \left( -\frac{\pi}{4} \right) \right) \right)$$

Приводим аргументы к общему виду:

$$\frac{7\pi}{12} + \frac{\pi}{4} = \frac{7\pi}{12} + \frac{3\pi}{12} = \frac{10\pi}{12} = \frac{5\pi}{6}$$

Теперь выражение принимает вид:

$$2 \cdot \left( \cos \frac{5\pi}{6} + i \sin \frac{5\pi}{6} \right)$$

Зная значения косинуса и синуса для угла $\frac{5\pi}{6}$:

$$\cos \frac{5\pi}{6} = -\frac{\sqrt{3}}{2}, \quad \sin \frac{5\pi}{6} = \frac{1}{2}$$

Подставляем:

$$2 \cdot \left( -\frac{\sqrt{3}}{2} + \frac{1}{2}i \right) = -\sqrt{3} + i$$

Ответ:

$$-\sqrt{3} + i$$

б) Решение:

Дано выражение:

$$(10 + 10i) : \sqrt{2} \left( \cos \frac{3\pi}{4} + i \sin \frac{3\pi}{4} \right)$$

Применяем формулу для деления комплексных чисел в полярной форме:

$$\frac{r_1 \left( \cos \theta_1 + i \sin \theta_1 \right)}{r_2 \left( \cos \theta_2 + i \sin \theta_2 \right)} = \frac{r_1}{r_2} \left( \cos (\theta_1 — \theta_2) + i \sin (\theta_1 — \theta_2) \right)$$

Модуль первого числа $r_1 = |10 + 10i| = \sqrt{10^2 + 10^2} = \sqrt{200} = 10\sqrt{2}$.

Аргумент первого числа $\theta_1 = \arg(10 + 10i) = \arccos \frac{1}{\sqrt{2}} = \frac{\pi}{4}$.

Модуль второго числа $r_2 = \sqrt{2}$, аргумент второго числа $\theta_2 = \frac{3\pi}{4}$.

Теперь подставляем в формулу:

$$\frac{10\sqrt{2}}{\sqrt{2}} \cdot \left( \cos \left( \frac{\pi}{4} — \frac{3\pi}{4} \right) + i \sin \left( \frac{\pi}{4} — \frac{3\pi}{4} \right) \right)$$

Упростим:

$$\frac{10\sqrt{2}}{\sqrt{2}} = 10, \quad \frac{\pi}{4} — \frac{3\pi}{4} = -\frac{\pi}{2}$$

Таким образом:

$$10 \cdot \left( \cos \left( -\frac{\pi}{2} \right) + i \sin \left( -\frac{\pi}{2} \right) \right) = 10 \cdot \left( \cos \frac{\pi}{2} — i \sin \frac{\pi}{2} \right)$$

Значения косинуса и синуса для угла $\frac{\pi}{2}$:

$$\cos \frac{\pi}{2} = 0, \quad \sin \frac{\pi}{2} = 1$$

Подставляем:

$$10 \cdot \left( 0 — i \right) = -10i$$

Ответ:

$$-10i$$

в) Решение:

Дано выражение:

$$12 \left( \cos \frac{5\pi}{6} + i \sin \frac{5\pi}{6} \right) : 0,3 \left( \cos \frac{\pi}{3} + i \sin \frac{\pi}{3} \right)$$

Применяем формулу для деления комплексных чисел в полярной форме:

Модуль первого числа $r_1 = 12$, аргумент первого числа $\theta_1 = \frac{5\pi}{6}$.

Модуль второго числа $r_2 = 0,3$, аргумент второго числа $\theta_2 = \frac{\pi}{3}$.

Теперь подставляем в формулу:

$$\frac{12}{0,3} \cdot \left( \cos \left( \frac{5\pi}{6} — \frac{\pi}{3} \right) + i \sin \left( \frac{5\pi}{6} — \frac{\pi}{3} \right) \right)$$

Вычислим разницу углов:

$$\frac{5\pi}{6} — \frac{\pi}{3} = \frac{5\pi}{6} — \frac{2\pi}{6} = \frac{3\pi}{6} = \frac{\pi}{2}$$

Таким образом:

$$\frac{12}{0,3} = 40$$

Теперь выражение принимает вид:

$$40 \left( \cos \frac{\pi}{2} + i \sin \frac{\pi}{2} \right)$$

Значения косинуса и синуса для угла $\frac{\pi}{2}$:

$$\cos \frac{\pi}{2} = 0, \quad \sin \frac{\pi}{2} = 1$$

Подставляем:

$$40 \cdot \left( 0 + i \right) = 40i$$

Ответ:

$$40i$$

г) Решение:

Дано выражение:

$$16 \left( \cos \left( -\frac{\pi}{6} \right) + i \sin \left( -\frac{\pi}{6} \right) \right) : (4 — 4\sqrt{3}i)$$

Применяем формулу для деления комплексных чисел в полярной форме:

Модуль первого числа $r_1 = 16$, аргумент первого числа $\theta_1 = -\frac{\pi}{6}$.

Преобразуем второй множитель в полярную форму. Число $4 — 4\sqrt{3}i$ имеет модуль:

$$r_2 = \sqrt{4^2 + (4\sqrt{3})^2} = \sqrt{16 + 48} = \sqrt{64} = 8$$

Аргумент второго числа:

$$\arg(4 — 4\sqrt{3}i) = \arcsin \left( -\frac{\sqrt{3}}{2} \right) = -\frac{\pi}{3}$$

Теперь подставляем в формулу:

$$\frac{16}{8} \cdot \left( \cos \left( -\frac{\pi}{6} + \frac{\pi}{3} \right) + i \sin \left( -\frac{\pi}{6} + \frac{\pi}{3} \right) \right)$$

Вычислим разницу углов:

$$-\frac{\pi}{6} + \frac{\pi}{3} = \frac{\pi}{6}$$

Теперь выражение принимает вид:

$$2 \left( \cos \frac{\pi}{6} + i \sin \frac{\pi}{6} \right)$$

Значения косинуса и синуса для угла $\frac{\pi}{6}$:

$$\cos \frac{\pi}{6} = \frac{\sqrt{3}}{2}, \quad \sin \frac{\pi}{6} = \frac{1}{2}$$

Подставляем:

$$2 \cdot \left( \frac{\sqrt{3}}{2} + \frac{1}{2}i \right) = \sqrt{3} + i$$

Ответ:

$$\sqrt{3}+i$$