ГДЗ по Алгебре 10 Класс Номер 34.31 Профильный Уровень Мордкович — Подробные Ответы

а) Зная, что $z = i$, изобразите на комплексной плоскости числа $z$, $z^2$, $z^3$, $z^9$, $z^{99}$ и найдите их аргументы.

б) Зная, что $z = -i$, изобразите на комплексной плоскости числа $z$, $z^5$, $z^{15}$, $z^{-25}$, $z^{-1001}$ и найдите их аргументы.

а) Известно, что $z = i$, тогда:

$$z^2 = i^2 = -1;$$ $$z^3 = i^3 = i^2 \cdot i = -i;$$ $$z^9 = i^9 = i^8 \cdot i = (i^2)^4 \cdot i = i;$$ $$z^{99} = i^{99} = i^{98} \cdot i = (i^2)^{49} \cdot i = -i;$$

Данные числа на комплексной плоскости:

Аргументы данных чисел:

$$\arg(z, z^9) = 90^\circ = \frac{\pi}{2};$$ $$\arg(z^2) = 180^\circ = \pi;$$ $$\arg(z^3, z^{99}) = -90^\circ = -\frac{\pi}{2};$$

б) Известно, что $z = -i$, тогда:

$$z^5 = (-i)^5 = -i \cdot i^4 = -i \cdot (i^2)^2 = -i;$$ $$z^{15} = (-i)^{15} = -i \cdot i^{14} = -i \cdot (i^2)^7 = i;$$ $$z^{-2} = (-i)^{-25} = -i \cdot i^{-2} = -i \cdot (i^2)^{-13} = i;$$ $$z^{-100} = (-i)^{-100} = -i \cdot i^{-1002} = -i \cdot (i^2)^{-501} = i;$$

Данные числа на комплексной плоскости:

Аргументы данных чисел:

$$\arg(z, z^5) = -90^\circ = -\frac{\pi}{2};$$ $$\arg(z^{15}, z^{-25}, z^{-1001}) = 90^\circ = \frac{\pi}{2};$$

а) $z = i$

Комплексное число $z = i$ — это мнимая единица. Оно имеет следующие основные свойства:

• $i^2 = -1$
• $i^3 = -i$
• $i^4 = 1$
• $i^5 = i$ и так далее, т.е. степени числа $i$ повторяются через каждые 4 ступени: $i, -1, -i, 1$.

Теперь перейдем к вычислениям степеней числа $z = i$:

1. $z^2$

$$z^2 = i^2 = -1$$

Здесь использован основной факт, что $i^2 = -1$.

2. $z^3$

$$z^3 = i^3 = i^2 \cdot i = (-1) \cdot i = -i$$

Мы используем свойство, что $i^2 = -1$, и домножаем на $i$, чтобы получить $-i$.

3. $z^9$

$$z^9 = i^9 = i^8 \cdot i = (i^2)^4 \cdot i = (-1)^4 \cdot i = i$$

Здесь мы разложили $i^9$ как $i^8 \cdot i$. Поскольку $i^8 = (i^2)^4 = (-1)^4 = 1$, то $z^9 = 1 \cdot i = i$.

4. $z^{99}$

$$z^{99} = i^{99} = i^{98} \cdot i = (i^2)^{49} \cdot i = (-1)^{49} \cdot i = -i$$

Здесь мы разложили степень $i^{99}$ как $i^{98} \cdot i$. Так как $(i^2)^{49} = (-1)^{49} = -1$, получаем $-i$.

Теперь найдем аргументы (углы) этих комплексных чисел на комплексной плоскости.

1. Аргумент $\arg(z, z^9)$

Комплексное число $z = i$ расположено на оси воображаемых чисел (оси $y$) на комплексной плоскости, и его аргумент равен $90^\circ$ или $\frac{\pi}{2}$. Степень $z^9 = i$ также лежит на той же оси, и её аргумент тоже $90^\circ$.

$$\arg(z, z^9) = 90^\circ = \frac{\pi}{2}$$

2. Аргумент $\arg(z^2)$

Комплексное число $z^2 = -1$ лежит на оси действительных чисел, и его аргумент равен $180^\circ$ или $\pi$.

$$\arg(z^2) = 180^\circ = \pi$$

3. Аргумент $\arg(z^3, z^{99})$

Комплексное число $z^3 = -i$ расположено на оси воображаемых чисел, но с отрицательным значением. Это означает, что его аргумент равен $-90^\circ$ или $-\frac{\pi}{2}$. Степень $z^{99} = -i$ также расположена на той же оси и имеет тот же аргумент.

$$\arg(z^3, z^{99}) = -90^\circ = -\frac{\pi}{2}$$

б) $z = -i$

Теперь рассмотрим случай, когда $z = -i$. Это комплексное число также расположено на оси воображаемых чисел, но с отрицательным значением. Его свойства таковы:

• $(-i)^2 = -1$
• $(-i)^3 = i$
• $(-i)^4 = 1$
• $(-i)^5 = -i$ и так далее.

Рассмотрим вычисления степеней для $z = -i$.

1. $z^5$

$$z^5 = (-i)^5 = -i \cdot i^4 = -i \cdot 1 = -i$$

Здесь мы использовали свойство, что $i^4 = 1$, и результат остался $-i$.

2. $z^{15}$

$$z^{15} = (-i)^{15} = -i \cdot i^{14} = -i \cdot (i^2)^7 = -i \cdot (-1)^7 = i$$

В данном случае $(-i)^{15} = -i \cdot (i^2)^7$, и так как $(-1)^7 = -1$, получаем $i$.

3. $z^{-2}$

$$z^{-2} = (-i)^{-25} = -i \cdot i^{-2} = -i \cdot (i^2)^{-13} = -i \cdot (-1)^{-13} = i$$

Мы используем свойство $i^{-2} = (i^2)^{-1} = -1$, и получаем $i$.

4. $z^{-100}$

$$z^{-100} = (-i)^{-100} = -i \cdot i^{-1002} = -i \cdot (i^2)^{-501} = i$$

Здесь мы видим, что степень $(-i)^{-100} = -i \cdot (i^2)^{-501}$, и так как $(-1)^{-501} = -1$, получаем $i$.

Теперь вычислим аргументы для этих чисел.

1. Аргумент $\arg(z, z^5)$

Комплексное число $z = -i$ расположено на оси воображаемых чисел, но с отрицательным значением. Это означает, что его аргумент равен $-90^\circ$ или $-\frac{\pi}{2}$. Степень $z^5 = -i$ имеет тот же аргумент.

$$\arg(z, z^5) = -90^\circ = -\frac{\pi}{2}$$

2. Аргумент $\arg(z^{15}, z^{-25}, z^{-1001})$

Комплексное число $z^{15} = i$, $z^{-25} = i$ и $z^{-1001} = i$ расположены на оси воображаемых чисел с положительным значением. Это означает, что их аргумент равен $90^\circ$ или $\frac{\pi}{2}$.

$$\arg(z^{15}, z^{-25}, z^{-1001}) = 90^\circ = \frac{\pi}{2}$$