ГДЗ по Алгебре 10 Класс Номер 34.37 Профильный Уровень Мордкович — Подробные Ответы

Каждое комплексное число, действительная часть которого равна -4, умножили на z. Изобразите на комплексной плоскости полученное множество чисел, если:

а) $z = i$;

б) $z = -3i$;

в) $z = 1 — \sqrt{3}i$;

г) $z = 3 — i$

Каждое комплексное число, действительная часть которого равна –4, умножили на $z$:

$z_1 = -4 + bi, \; b \in \mathbb{R}$;

а) $z = i$;

$$z_1 z = (-4 + bi)i = -4i + bi^2 = -b — 4i;$$

$x = -b \in \mathbb{R}$ и $y = -4$;

Все такие числа на комплексной плоскости:

б) $z = -3i$;

$$z_1 z = (-4 + bi)(-3i) = 12i — 3bi^2 = 3b + 12i;$$

$x = 3b \in \mathbb{R}$ и $y = 12$;

Все такие числа на комплексной плоскости:

в) $z = 1 — \sqrt{3}i$;

$$z_1 z = (-4 + bi)(1 — i\sqrt{3}) = -4 + 4i\sqrt{3} + bi — bi^2\sqrt{3};$$ $$z_1 z = -4 + 4i\sqrt{3} + bi + b\sqrt{3} = (b\sqrt{3} — 4) + (b + 4\sqrt{3})i;$$

$x = b\sqrt{3} — 4 \quad \Rightarrow \quad b = \frac{x + 4}{\sqrt{3}};$

$y = b + 4\sqrt{3} \quad \Rightarrow \quad b = y — 4\sqrt{3};$

$$x = b\sqrt{3} — 4 = (y — 4\sqrt{3})\sqrt{3} — 4 = y\sqrt{3} — 12 — 4 = y\sqrt{3} — 16;$$ $$y = \frac{x + 16}{\sqrt{3}};$$

Все такие числа на комплексной плоскости:

г) $z = 3 — i$;

$$z_1 z = (-4 + bi)(3 — i) = -12 + 4i + 3bi — bi^2;$$ $$z_1 z = -12 + 4i + 3bi + b = (b — 12) + (3b + 4)i;$$

$x = b — 12 \quad \Rightarrow \quad b = x + 12;$

$y = 3(x + 12) + 4 = 3x + 36 + 4 = 3x + 40;$

Все такие числа на комплексной плоскости:

а) $z = i$

Нам нужно умножить $z_1 = -4 + bi$ на $z = i$:

$$z_1 \cdot z = (-4 + bi) \cdot i.$$

Для выполнения умножения распределим $i$ на каждую составляющую числа $z_1$:

$$(-4 + bi) \cdot i = -4 \cdot i + b \cdot i^2.$$

Поскольку $i^2 = -1$, это упрощается до:

$$-4i + b \cdot (-1) = -4i — b.$$

Результат умножения:

$$z_1 \cdot i = -b — 4i.$$

Теперь выделим действительную и мнимую части результата:

• Действительная часть: $x = -b$.
• Мнимая часть: $y = -4$.

Итак, получаем, что на комплексной плоскости все такие числа лежат на прямой, для которой $y = -4$, а $x$ принимает все возможные значения, зависящие от $b$.

б) $z = -3i$

Теперь умножим $z_1 = -4 + bi$ на $z = -3i$:

$$z_1 \cdot z = (-4 + bi) \cdot (-3i).$$

Распишем это выражение:

$$(-4 + bi) \cdot (-3i) = (-4) \cdot (-3i) + b \cdot (-3i^2).$$

Преобразуем каждый член:

$$-4 \cdot (-3i) = 12i,$$ $$b \cdot (-3i^2) = b \cdot 3 = 3b \quad \text{(так как \(i^2 = -1\))}.$$

Итак, результат умножения:

$$z_1 \cdot (-3i) = 3b + 12i.$$

Выделяем действительную и мнимую части:

• Действительная часть: $x = 3b$.
• Мнимая часть: $y = 12$.

Теперь $y = 12$ — это горизонтальная прямая, на которой действительная часть $x$ зависит от значения $b$. Таким образом, все такие числа на комплексной плоскости лежат на прямой $y = 12$, и $x$ может быть любым значением, зависящим от $b$.

в) $z = 1 — \sqrt{3}i$

Теперь умножим $z_1 = -4 + bi$ на $z = 1 — \sqrt{3}i$:

$$z_1 \cdot z = (-4 + bi)(1 — i\sqrt{3}).$$

Используем распределительное свойство умножения:

$$z_1 \cdot z = (-4) \cdot (1 — i\sqrt{3}) + (bi) \cdot (1 — i\sqrt{3}).$$

Рассмотрим каждое произведение:

$$(-4) \cdot (1 — i\sqrt{3}) = -4 + 4i\sqrt{3},$$ $$(bi) \cdot (1 — i\sqrt{3}) = bi — b \cdot i^2 \sqrt{3} = bi + b\sqrt{3}.$$

Теперь собираем все части вместе:

$$z_1 \cdot z = (-4 + 4i\sqrt{3}) + (bi + b\sqrt{3}) = (b\sqrt{3} — 4) + (b + 4\sqrt{3})i.$$

Теперь выражаем действительную и мнимую части:

• Действительная часть: $x = b\sqrt{3} — 4$.
• Мнимая часть: $y = b + 4\sqrt{3}$.

Далее выразим $b$ через $x$ и $y$:

Из выражения для $x$:

$$x = b\sqrt{3} — 4 \quad \Rightarrow \quad b\sqrt{3} = x + 4 \quad \Rightarrow \quad b = \frac{x + 4}{\sqrt{3}}.$$

Из выражения для $y$:

$$y = b + 4\sqrt{3} \quad \Rightarrow \quad b = y — 4\sqrt{3}.$$

Теперь приравняем оба выражения для $b$:

$$\frac{x + 4}{\sqrt{3}} = y — 4\sqrt{3}.$$

Перемножим обе части уравнения на $\sqrt{3}$, чтобы избавиться от знаменателя:

$$x + 4 = \sqrt{3}(y — 4\sqrt{3}),$$ $$x + 4 = \sqrt{3}y — 12.$$

Переносим все на одну сторону:

$$x + 16 = \sqrt{3}y.$$

Теперь выразим $y$ через $x$:

$$y = \frac{x + 16}{\sqrt{3}}.$$

Это уравнение описывает все такие числа на комплексной плоскости.

г) $z = 3 — i$

Наконец, умножим $z_1 = -4 + bi$ на $z = 3 — i$:

$$z_1 \cdot z = (-4 + bi)(3 — i).$$

Распишем это произведение:

$$z_1 \cdot z = (-4) \cdot 3 + (-4) \cdot (-i) + (bi) \cdot 3 + (bi) \cdot (-i).$$

Выполним умножение:

$$(-4) \cdot 3 = -12, \quad (-4) \cdot (-i) = 4i, \quad (bi) \cdot 3 = 3bi, \quad (bi) \cdot (-i) = -bi^2 = b.$$

Итак, результат:

$$z_1 \cdot z = -12 + 4i + 3bi + b = (b — 12) + (3b + 4)i.$$

Теперь выражаем действительную и мнимую части:

• Действительная часть: $x = b — 12$.
• Мнимая часть: $y = 3b + 4$.

Из первого уравнения $x = b — 12$ находим:

$$b = x + 12.$$

Теперь подставим это значение в выражение для $y$:

$$y = 3(x + 12) + 4 = 3x + 36 + 4 = 3x + 40.$$

Итак, все такие числа на комплексной плоскости удовлетворяют уравнению:

$$y = 3x + 40.$$