ГДЗ по Алгебре 10 Класс Номер 34.4 Профильный Уровень Мордкович — Подробные Ответы

Для комплексных чисел $z_1 = 3 — i$ и $z_2 = 1 + 2i$:

а) Найдите $|\overline{z_1}|$ и $|\overline{z_2}|$ и проверьте равенства $|\overline{z_1}| = |z_1|$ и $|\overline{z_2}| = |z_2|$;

б) Проверьте неравенство $|z_1 + z_2| < |z_1| + |z_2|$;

в) Вычислите $\overline{z_1 z_2}$ и проверьте равенство $|\overline{z_1 z_2}| = |\overline{z_1}| \cdot |\overline{z_2}|$;

г) Проверьте неравенство $|z_1 — z_2| > |z_1| — |z_2|$.

Даны комплексные числа:

$$z_1 = 3 — i \quad \text{и} \quad z_2 = 1 + 2i;$$

а) Найдем $|\overline{z_1}|$ и $|\overline{z_2}|$ и проверим равенства $|\overline{z_1}| = |z_1|$ и $|\overline{z_2}| = |z_2|$:

$$\overline{z_1} = 3 + i;$$ $$|\overline{z_1}| = \sqrt{3^2 + 1^2} = \sqrt{9 + 1} = \sqrt{10};$$ $$|z_1| = \sqrt{3^2 + (-1)^2} = \sqrt{9 + 1} = \sqrt{10};$$ $$\overline{z_2} = 1 — 2i;$$ $$|\overline{z_2}| = \sqrt{1^2 + (-2)^2} = \sqrt{1 + 4} = \sqrt{5};$$ $$|z_2| = \sqrt{1^2 + 2^2} = \sqrt{1 + 4} = \sqrt{5};$$

Ответ: $\sqrt{10}; \sqrt{5}$.

б) Проверим неравенство $|z_1 + z_2| < |z_1| + |z_2|$:

$$z_1 + z_2 = (3 — i) + (1 + 2i) = 4 + i;$$ $$|z_1 + z_2| = \sqrt{4^2 + 1^2} = \sqrt{16 + 1} = \sqrt{17};$$ $$|z_1| + |z_2| = \sqrt{10} + \sqrt{5};$$

Допустим, что неравенство верно, тогда:

$$\sqrt{17} < \sqrt{10} + \sqrt{5};$$ $$17 < 10 + 2\sqrt{50} + 5;$$ $$2 < 2\sqrt{50};$$ $$1 < \sqrt{50};$$ $$1 < 50 \quad \text{— верно};$$

в) Вычислим $\overline{z_1 z_2}$ и проверим равенство $|\overline{z_1 z_2}| = |\overline{z_1}| \cdot |\overline{z_2}|$:

$$z_1 z_2 = (3 — i)(1 + 2i) = 3 + 6i — i — 2i^2 = 5 + 5i;$$ $$\overline{z_1 z_2} = 5 — 5i;$$ $$|\overline{z_1 z_2}| = \sqrt{5^2 + 5^2} = \sqrt{25 + 25} = \sqrt{50} = 5\sqrt{2};$$ $$|\overline{z_1}| \cdot |\overline{z_2}| = \sqrt{10} \cdot \sqrt{5} = \sqrt{50} = 5\sqrt{2};$$

Ответ: $5\sqrt{2}$.

г) Проверим неравенство $|z_1 — z_2| > |z_1| — |z_2|$:

$$z_1 — z_2 = (3 — i) — (1 + 2i) = 2 — 3i;$$ $$|z_1 — z_2| = \sqrt{2^2 + 3^2} = \sqrt{4 + 9} = \sqrt{13};$$ $$|z_1| — |z_2| = \sqrt{10} — \sqrt{5};$$

Допустим, что неравенство верно, тогда:

$$\sqrt{13} > \sqrt{10} — \sqrt{5};$$ $$13 > 10 — 2\sqrt{50} + 5;$$ $$-2 > -2\sqrt{50};$$ $$1 < \sqrt{50};$$ $$1 < 50 \quad \text{— верно};$$

Дано:

$$z_1 = 3 — i, \quad z_2 = 1 + 2i$$

а) Найдём $|\overline{z_1}|$ и $|\overline{z_2}|$

Также проверим:

$$|\overline{z_1}| = |z_1| \quad \text{и} \quad |\overline{z_2}| = |z_2|$$

Шаг 1: Найдём сопряжённые числа

• $\overline{z_1}$ — это число, у которого мнимая часть берётся с противоположным знаком:

$$\overline{z_1} = 3 + i$$

• $\overline{z_2} = 1 — 2i$

Шаг 2: Вычислим $|\overline{z_1}|$

Формула модуля комплексного числа:

$$|z| = \sqrt{a^2 + b^2}$$

где $z = a + bi$

Для $\overline{z_1} = 3 + i$:

• $a = 3$, $b = 1$

$$|\overline{z_1}| = \sqrt{3^2 + 1^2} = \sqrt{9 + 1} = \sqrt{10}$$

Шаг 3: Вычислим $|z_1|$

$z_1 = 3 — i$, $a = 3$, $b = -1$

$$|z_1| = \sqrt{3^2 + (-1)^2} = \sqrt{9 + 1} = \sqrt{10}$$

Значения совпадают.

Шаг 4: Вычислим $|\overline{z_2}|$

$\overline{z_2} = 1 — 2i$, $a = 1$, $b = -2$

$$|\overline{z_2}| = \sqrt{1^2 + (-2)^2} = \sqrt{1 + 4} = \sqrt{5}$$

Шаг 5: Вычислим $|z_2|$

$z_2 = 1 + 2i$, $a = 1$, $b = 2$

$$|z_2| = \sqrt{1^2 + 2^2} = \sqrt{1 + 4} = \sqrt{5}$$

Значения совпадают.

Ответ (а): $\sqrt{10}; \sqrt{5}$

б) Проверим неравенство:

$$|z_1 + z_2| < |z_1| + |z_2|$$

Шаг 1: Сложим числа

$$z_1 + z_2 = (3 — i) + (1 + 2i) = 4 + i$$

Шаг 2: Вычислим модуль суммы

$$|z_1 + z_2| = |4 + i| = \sqrt{4^2 + 1^2} = \sqrt{16 + 1} = \sqrt{17}$$

Шаг 3: Найдём сумму модулей

$$|z_1| + |z_2| = \sqrt{10} + \sqrt{5}$$

Шаг 4: Сравним $\sqrt{17}$ и $\sqrt{10} + \sqrt{5}$

Проверим, верно ли:

$$\sqrt{17} < \sqrt{10} + \sqrt{5}$$

Шаг 5: Пример численного приближения:

• $\sqrt{17} \approx 4.123$
• $\sqrt{10} \approx 3.162$
• $\sqrt{5} \approx 2.236$
• $\sqrt{10} + \sqrt{5} \approx 5.398$

$$4.123 < 5.398 \quad \text{— неравенство выполнено}$$

Ответ (б): Неравенство верно: $\sqrt{17} < \sqrt{10} + \sqrt{5}$

в) Найдём $\overline{z_1 z_2}$ и проверим:

$$|\overline{z_1 z_2}| = |\overline{z_1}| \cdot |\overline{z_2}|$$

Шаг 1: Найдём произведение $z_1 z_2$

$$z_1 z_2 = (3 — i)(1 + 2i)$$

Выполним умножение:

$$= 3 \cdot 1 + 3 \cdot 2i — i \cdot 1 — i \cdot 2i = 3 + 6i — i — 2i^2$$ $$= 3 + 5i — 2(-1) = 3 + 5i + 2 = 5 + 5i$$

Шаг 2: Найдём сопряжённое:

$$\overline{z_1 z_2} = \overline{5 + 5i} = 5 — 5i$$

Шаг 3: Найдём модуль:

$$|\overline{z_1 z_2}| = |5 — 5i| = \sqrt{5^2 + (-5)^2} = \sqrt{25 + 25} = \sqrt{50} = 5\sqrt{2}$$

Шаг 4: Найдём произведение модулей:

$$|\overline{z_1}| = \sqrt{10}, \quad |\overline{z_2}| = \sqrt{5}$$ $$|\overline{z_1}| \cdot |\overline{z_2}| = \sqrt{10} \cdot \sqrt{5} = \sqrt{50} = 5\sqrt{2}$$

Равенство выполнено.

Ответ (в): $5\sqrt{2}$

г) Проверим неравенство:

$$|z_1 — z_2| > |z_1| — |z_2|$$

Шаг 1: Вычтем числа:

$$z_1 — z_2 = (3 — i) — (1 + 2i) = 2 — 3i$$

Шаг 2: Найдём модуль разности:

$$|z_1 — z_2| = |2 — 3i| = \sqrt{2^2 + (-3)^2} = \sqrt{4 + 9} = \sqrt{13}$$

Шаг 3: Вычислим разность модулей:

$$|z_1| — |z_2| = \sqrt{10} — \sqrt{5}$$

Шаг 4: Сравним:

• $\sqrt{13} \approx 3.606$
• $\sqrt{10} — \sqrt{5} \approx 3.162 — 2.236 = 0.926$

$$3.606 > 0.926 \quad \text{— неравенство выполнено}$$

Ответ (г): Неравенство верно: $|z_1 — z_2| > |z_1| — |z_2|$

Окончательные ответы:

а) $\sqrt{10}; \sqrt{5}$
б) Неравенство верно
в) $5\sqrt{2}$
г) Неравенство верно