ГДЗ по Алгебре 10 Класс Номер 34.40 Профильный Уровень Мордкович — Подробные Ответы

Для числа $z = \cos(0.11\pi) + i \sin(0.11\pi)$ укажите наименьшее натуральное число $n$, при котором:

а) $\arg(z^n) > \frac{\pi}{4}$;

б) $\arg(z^n) > \frac{\pi}{2}$;

в) $\arg(z^n) > \frac{5\pi}{6}$;

г) $\arg(z^n) < 0$.

Для данного числа указать наименьшее натуральное число $n$, при котором:

$z = \cos(0.11\pi) + i \sin(0.11\pi);$
$z^n = 1^n \cdot (\cos(0.11\pi n) + i \sin(0.11\pi n));$
$\arg(z^n) = 0.11\pi n;$

а) $\arg(z^n) > \frac{\pi}{4}$;
$0.11\pi n > 0.25\pi;$
$0.11n > 0.25;$
$n > \frac{0.25}{0.11} = \frac{25}{11} = 2 \frac{3}{11};$
Ответ: $n = 3$.

б) $\arg(z^n) > \frac{\pi}{2}$;
$0.11\pi n > 0.5\pi;$
$0.11n > 0.5;$
$n > \frac{0.5}{0.11} = \frac{50}{11} = 4 \frac{6}{11};$
Ответ: $n = 5$.

в) $\arg(z^n) > \frac{5\pi}{6}$;
$0.11\pi n > \frac{5\pi}{6};$
$0.11n > \frac{5}{6};$
$n > \frac{5}{6} \cdot \frac{100}{11} = \frac{500}{66} = 7 \frac{38}{66};$
Ответ: $n = 8$.

г) $\arg(z^n) < 0$;
$0.11\pi n > \pi;$
$0.11n > 1;$
$n > \frac{1}{0.11} = \frac{100}{11} = 9 \frac{1}{11};$
Ответ: $n = 10$.

Задано комплексное число $z$:

$$z = \cos(0.11\pi) + i \sin(0.11\pi),$$

где $i$ — это мнимая единица. Это представление числа $z$ в полярной форме. Напоминаем, что полярная форма комплексного числа $z = \cos(\theta) + i \sin(\theta)$ также может быть записана как $z = e^{i\theta}$, где $\theta$ — аргумент этого числа.

В данном случае, $\theta = 0.11\pi$. Значит, $z = e^{i 0.11\pi}$.

Далее рассматриваем возведение этого числа в степень $n$:

$$z^n = \left( e^{i 0.11\pi} \right)^n = e^{i 0.11\pi n},$$

что в тригонометрической форме записывается как:

$$z^n = \cos(0.11\pi n) + i \sin(0.11\pi n).$$

Здесь $\arg(z^n) = 0.11\pi n$ — это аргумент числа $z^n$.

Необходимо найти наименьшее натуральное число $n$, при котором выполняются следующие условия для аргумента $\arg(z^n)$.

а) $\arg(z^n) > \frac{\pi}{4}$

Аргумент $\arg(z^n)$ равен $0.11\pi n$. Условие, которое нам нужно выполнить:

$$\arg(z^n) = 0.11\pi n > \frac{\pi}{4}.$$

Давайте преобразуем это неравенство:

$$0.11\pi n > \frac{\pi}{4}.$$

Разделим обе части неравенства на $\pi$:

$$0.11n > \frac{1}{4}.$$

Теперь разделим обе части неравенства на 0.11:

$$n > \frac{1}{4 \times 0.11} = \frac{1}{0.44} \approx 2.27.$$

Таким образом, наименьшее натуральное число $n$, которое удовлетворяет этому неравенству, равно $3$.

Ответ: $n = 3$.

б) $\arg(z^n) > \frac{\pi}{2}$

Теперь рассматриваем следующее условие:

$$\arg(z^n) = 0.11\pi n > \frac{\pi}{2}.$$

Преобразуем это неравенство:

$$0.11\pi n > \frac{\pi}{2}.$$

Разделим обе части на $\pi$:

$$0.11n > \frac{1}{2}.$$

Теперь разделим обе части на 0.11:

$$n > \frac{1}{2 \times 0.11} = \frac{1}{0.22} \approx 4.545.$$

Таким образом, наименьшее натуральное число $n$, которое удовлетворяет этому неравенству, равно $5$.

Ответ: $n = 5$.

в) $\arg(z^n) > \frac{5\pi}{6}$

Рассмотрим следующее условие:

$$\arg(z^n) = 0.11\pi n > \frac{5\pi}{6}.$$

Преобразуем это неравенство:

$$0.11\pi n > \frac{5\pi}{6}.$$

Разделим обе части на $\pi$:

$$0.11n > \frac{5}{6}.$$

Теперь разделим обе части на 0.11:

$$n > \frac{5}{6 \times 0.11} = \frac{5}{0.66} \approx 7.575.$$

Таким образом, наименьшее натуральное число $n$, которое удовлетворяет этому неравенству, равно $8$.

Ответ: $n = 8$.

г) $\arg(z^n) < 0$

Теперь рассмотрим условие:

$$\arg(z^n) = 0.11\pi n < 0.$$

Это неравенство на самом деле означает, что аргумент должен быть отрицательным. Однако поскольку $0.11\pi n$ увеличивается с ростом $n$ (и всегда положительно для $n \geq 1$), это неравенство не будет выполнено для положительных $n$. Но в условии задачи, видимо, предполагается, что нам нужно найти $n$, при котором аргумент $z^n$ станет больше $\pi$, что также соответствует отрицательному аргументу, так как аргумент в круге измеряется по модулю $2\pi$.

Таким образом, перепишем неравенство как:

$$0.11\pi n > \pi.$$

Разделим обе части на $\pi$:

$$0.11n > 1.$$

Теперь разделим обе части на 0.11:

$$n > \frac{1}{0.11} = \frac{100}{11} \approx 9.09.$$

Таким образом, наименьшее натуральное число $n$, которое удовлетворяет этому неравенству, равно $10$.

Ответ: $n = 10$.

Итоговые ответы:

а) $n = 3$

б) $n = 5$

в) $n = 8$

г) $n = 10$