ГДЗ по Алгебре 10 Класс Номер 34.41 Профильный Уровень Мордкович — Подробные Ответы

а) Среди корней $z$ уравнения $\sqrt{3}(z + \overline{z})(z — \overline{z}) = 4i^9$ найдите число, аргумент которого равен $\frac{\pi}{6}$.

б) Среди корней $z$ уравнения $\operatorname{Re} z \cdot \operatorname{Im} \overline{z} = \frac{\sqrt{3}}{i^6}$ найдите число, аргумент которого равен $\frac{\pi}{3}$.

a) $\sqrt{3}(z + \overline{z})(z — \overline{z}) = 4i^9$;

$$\sqrt{3}\big((x + yi) + (x — yi)\big)\big((x + yi) — (x — yi)\big) = 4i \cdot i^8;$$ $$\sqrt{3} \cdot 2x \cdot 2yi = 4i \cdot (i^2)^4;$$ $$\sqrt{3} \cdot 4xyi = 4i \cdot (-1)^4;$$ $$\sqrt{3}xy = 1;$$ $$y = \frac{1}{x\sqrt{3}};$$

Число, аргумент которого равен $\frac{\pi}{6}$:

$$y = \sin\frac{\pi}{6} \cdot |z| > 0;$$ $$y = \frac{1}{2}\sqrt{x^2 + y^2};$$ $$2y = \sqrt{x^2 + y^2};$$ $$4y^2 = x^2 + y^2;$$ $$3y^2 = x^2;$$ $$y = \sqrt{\frac{x^2}{3}} = \frac{x}{\sqrt{3}};$$

Подставим значение $y$, учитывая, что:

$$x = \cos\frac{\pi}{6} \cdot |z| = \frac{\sqrt{3}}{2}|z| > 0;$$ $$\frac{1}{\sqrt{3}x} = \frac{x}{\sqrt{3}};$$ $$\frac{1}{x} = x;$$ $$x = 1;$$ $$y = \frac{1}{\sqrt{3}};$$

Ответ: $z = 1 + \frac{1}{\sqrt{3}}i$.

б) $\operatorname{Re} z \cdot \operatorname{Im} \overline{z} = \frac{\sqrt{3}}{i^6}$;

$$x \cdot (-y) = \frac{\sqrt{3}}{(i^2)^3};$$ $$-xy = \frac{\sqrt{3}}{(-1)^3};$$ $$xy = \sqrt{3};$$ $$y = \frac{\sqrt{3}}{x};$$

Число, аргумент которого равен $\frac{\pi}{3}$:

$$y = \sin\frac{\pi}{3} \cdot |z| > 0;$$ $$y = \frac{\sqrt{3}}{2}\sqrt{x^2 + y^2};$$ $$2y = \sqrt{3} \cdot \sqrt{x^2 + y^2};$$ $$4y^2 = 3(x^2 + y^2);$$ $$y^2 = 3x^2;$$ $$y = \sqrt{3x^2} = x\sqrt{3};$$

Подставим значение $y$, учитывая, что:

$$x = \cos\frac{\pi}{3} \cdot |z| = \frac{1}{2}|z| > 0;$$ $$\frac{\sqrt{3}}{x} = x\sqrt{3};$$ $$\frac{1}{x} = x;$$ $$x = 1;$$ $$y = \sqrt{3};$$

Ответ: $z = 1 + i\sqrt{3}$.

а)

Уравнение:

$$\sqrt{3}(z + \overline{z})(z — \overline{z}) = 4i^9$$

Шаг 1: Раскроем скобки

Обозначим $z = x + yi$, где $x$ и $y$ — вещественные числа, соответственно, действительная и мнимая часть числа $z$. Тогда сопряжённое число $\overline{z} = x — yi$.

Подставим эти выражения в исходное уравнение:

$$z + \overline{z} = (x + yi) + (x — yi) = 2x$$ $$z — \overline{z} = (x + yi) — (x — yi) = 2yi$$

Таким образом, выражение $(z + \overline{z})(z — \overline{z})$ принимает вид:

$$(z + \overline{z})(z — \overline{z}) = (2x)(2yi) = 4xyi$$

Шаг 2: Упростим правую часть

Теперь у нас есть уравнение:

$$\sqrt{3} \cdot 4xyi = 4i^9$$

Рассмотрим правую часть уравнения $4i^9$. Мы знаем, что степень мнимого числа $i$ повторяется каждые 4 значения:

$$i^1 = i, \quad i^2 = -1, \quad i^3 = -i, \quad i^4 = 1$$

Таким образом:

$$i^9 = i^{4 \cdot 2 + 1} = i^1 = i$$

Следовательно:

$$4i^9 = 4i$$

Теперь уравнение выглядит так:

$$\sqrt{3} \cdot 4xyi = 4i$$

Шаг 3: Сравнение коэффициентов

Чтобы уравнение выполнялось, нужно приравнять коэффициенты при $i$ с обеих сторон:

$$\sqrt{3} \cdot 4xy = 4$$

Разделим обе стороны на 4:

$$\sqrt{3} \cdot xy = 1$$

Теперь выразим $y$:

$$y = \frac{1}{x \sqrt{3}}$$

Шаг 4: Найдём $y$ через $x$ из дополнительного условия

Число, аргумент которого равен $\frac{\pi}{6}$, это комплексное число, у которого:

$$y = \sin \frac{\pi}{6} \cdot |z| > 0$$

Мы знаем, что $\sin \frac{\pi}{6} = \frac{1}{2}$, следовательно:

$$y = \frac{1}{2} \cdot \sqrt{x^2 + y^2}$$

Шаг 5: Решим уравнение для $y$

Теперь выразим $y$ через $x$:

$$2y = \sqrt{x^2 + y^2}$$

Возведём обе стороны в квадрат:

$$4y^2 = x^2 + y^2$$

Переносим $y^2$ на одну сторону:

$$4y^2 — y^2 = x^2$$ $$3y^2 = x^2$$

Таким образом:

$$y^2 = \frac{x^2}{3}$$ $$y = \frac{x}{\sqrt{3}}$$

Шаг 6: Подставим значение $y$ в уравнение для $y$

Мы знаем, что:

$$y = \frac{1}{x \sqrt{3}}$$

Подставим выражение для $y$ в это уравнение:

$$\frac{x}{\sqrt{3}} = \frac{1}{x \sqrt{3}}$$

Теперь умножим обе части уравнения на $x$:

$$x^2 = 1$$

Следовательно, $x = 1$ или $x = -1$.

Шаг 7: Определим $y$

Подставим $x = 1$ в выражение для $y$:

$$y = \frac{1}{\sqrt{3}}$$

Таким образом, $z = x + yi = 1 + \frac{1}{\sqrt{3}} i$.

Ответ для части а:

$$z = 1 + \frac{1}{\sqrt{3}} i$$

б)

Уравнение:

$$\operatorname{Re} z \cdot \operatorname{Im} \overline{z} = \frac{\sqrt{3}}{i^6}$$

Шаг 1: Рассмотрим правую часть уравнения

Сначала вычислим $i^6$. Мы знаем, что:

$$i^6 = (i^2)^3 = (-1)^3 = -1$$

Таким образом, правая часть уравнения будет:

$$\frac{\sqrt{3}}{i^6} = \frac{\sqrt{3}}{-1} = -\sqrt{3}$$

Теперь у нас есть уравнение:

$$x \cdot (-y) = -\sqrt{3}$$

или

$$-xy = -\sqrt{3}$$

Отсюда:

$$xy = \sqrt{3}$$

Шаг 2: Найдём выражение для $y$

Из предыдущего уравнения получаем:

$$y = \frac{\sqrt{3}}{x}$$

Шаг 3: Число, аргумент которого равен $\frac{\pi}{3}$

Теперь рассмотрим число, аргумент которого равен $\frac{\pi}{3}$. В этом случае:

$$y = \sin \frac{\pi}{3} \cdot |z| > 0$$

Известно, что $\sin \frac{\pi}{3} = \frac{\sqrt{3}}{2}$, следовательно:

$$y = \frac{\sqrt{3}}{2} \cdot \sqrt{x^2 + y^2}$$

Шаг 4: Решим уравнение для $y$

Умножим обе части на 2:

$$2y = \sqrt{3} \cdot \sqrt{x^2 + y^2}$$

Возведём обе стороны в квадрат:

$$4y^2 = 3(x^2 + y^2)$$

Раскроем скобки:

$$4y^2 = 3x^2 + 3y^2$$

Переносим все элементы, содержащие $y^2$, на одну сторону:

$$4y^2 — 3y^2 = 3x^2$$ $$y^2 = 3x^2$$

Таким образом:

$$y = x \sqrt{3}$$

Шаг 5: Подставим значение $y$

Теперь подставим $y = x \sqrt{3}$ в уравнение $xy = \sqrt{3}$:

$$x \cdot (x \sqrt{3}) = \sqrt{3}$$ $$x^2 \sqrt{3} = \sqrt{3}$$

Разделим обе части на $\sqrt{3}$:

$$x^2 = 1$$

Отсюда:

$$x = 1 \quad \text{или} \quad x = -1$$

Шаг 6: Определим $y$

Подставим $x = 1$ в выражение для $y$:

$$y = \sqrt{3}$$

Таким образом, $z = 1 + i \sqrt{3}$.

Ответ для части б:

$$z = 1 + i \sqrt{3}$$