ГДЗ по Алгебре 10 Класс Номер 34.42 Профильный Уровень Мордкович — Подробные Ответы

а) Изобразите на комплексной плоскости множество чисел $z$, удовлетворяющих условию $|zi — 3i + 4| \leqslant \left| \frac{1}{2} — \frac{\sqrt{3}}{2} i \right|$. Чему равно наибольшее значение $|z|$?

б) Изобразите на комплексной плоскости множество чисел $z$, удовлетворяющих условию $|zi — 3 — 4i| \leqslant \left| \frac{1}{2} + \frac{\sqrt{3}}{2} i \right|$. Чему равно наименьшее значение $|z|$?

а) $|zi — 3i + 4| \leq \left| \frac{1}{2} — \frac{\sqrt{3}}{2}i \right|$;

$|(x + yi)i — 3i + 4| \leq \sqrt{\left(\frac{1}{2}\right)^2 + \left(\frac{\sqrt{3}}{2}\right)^2}$;

$|xi + yi^2 — 3i + 4| \leq \sqrt{\frac{1}{4} + \frac{3}{4}}$;

$|(4 — y) + (x — 3)i| \leq \sqrt{1}$;

$\sqrt{(4 — y)^2 + (x — 3)^2} \leq 1$;

$(x — 3)^2 + (y — 4)^2 \leq 1^2$;

На комплексной плоскости:

Расстояние от точки $O$ до наиболее удаленной точки:

$|z| = \sqrt{x_0^2 + y_0^2} + R;$

$|z| = \sqrt{3^2 + 4^2} + 1 = \sqrt{9 + 16} + 1 = \sqrt{25} + 1 = 6;$

Ответ: $|z| = 6$.

б) $|zi — 3 — 4i| \leq \left| \frac{1}{2} + \frac{\sqrt{3}}{2}i \right|$;

$|(x + yi)i — 3 — 4i| \leq \sqrt{\left(\frac{1}{2}\right)^2 + \left(\frac{\sqrt{3}}{2}\right)^2}$;

$|xi + yi^2 — 3 — 4i| \leq \sqrt{\frac{1}{4} + \frac{3}{4}}$;

$|(-y — 3) + (x — 4)i| \leq \sqrt{1}$;

$\sqrt{(-y — 3)^2 + (x — 4)^2} \leq 1$;

$(x — 4)^2 + (y + 3)^2 \leq 1^2$;

На комплексной плоскости:

Расстояние от точки $O$ до наименее удаленной точки:

$|z| = \sqrt{x_0^2 + y_0^2} — R;$

$|z| = \sqrt{4^2 + 3^2} — 1 = \sqrt{16 + 9} — 1 = \sqrt{25} — 1 = 4;$

Ответ: $|z| = 4$.

а) Разбор выражения:

Задание:
$|zi — 3i + 4| \leq \left| \frac{1}{2} — \frac{\sqrt{3}}{2}i \right|$.

Преобразуем выражение для комплексного числа:

Пусть $z = x + yi$, где $x$ и $y$ — действительная и мнимая части комплексного числа $z$, соответственно.

Тогда:

$$zi = (x + yi)i = xi + y i^2 = xi — y.$$

Теперь подставим это в неравенство:

$$|(x + yi)i — 3i + 4| = |xi — y — 3i + 4|.$$

Это можно записать как:

$$|(4 — y) + (x — 3)i|.$$

Мы ищем модуль этого выражения, который по определению равен:

$$\sqrt{(4 — y)^2 + (x — 3)^2}.$$

Из условия задачи:

$$\left| \frac{1}{2} — \frac{\sqrt{3}}{2}i \right|.$$

Это модуль комплексного числа $\frac{1}{2} — \frac{\sqrt{3}}{2}i$. Вычислим его:

$$\left| \frac{1}{2} — \frac{\sqrt{3}}{2}i \right| = \sqrt{\left(\frac{1}{2}\right)^2 + \left(\frac{\sqrt{3}}{2}\right)^2}.$$

Это равно:

$$\sqrt{\frac{1}{4} + \frac{3}{4}} = \sqrt{\frac{4}{4}} = \sqrt{1} = 1.$$

Таким образом, неравенство примет вид:

$$\sqrt{(4 — y)^2 + (x — 3)^2} \leq 1.$$

Это неравенство описывает круг на комплексной плоскости с центром в точке $(3, 4)$ и радиусом 1, так как оно имеет вид:

$$(x — 3)^2 + (y — 4)^2 \leq 1^2.$$

Таким образом, множество всех таких точек на комплексной плоскости — это круг с центром в точке $(3, 4)$ и радиусом 1.

1) График на комплексной плоскости:

На графике будет изображен круг с центром в точке $(3, 4)$ и радиусом 1. Этот круг ограничивает область, внутри которой расположены все точки, удовлетворяющие неравенству.

2) Расстояние от точки $O$ до наиболее удаленной точки:

Пусть точка $O$ — это начало координат, то есть $(0, 0)$. Мы ищем расстояние от точки $O$ до наиболее удаленной точки на круге.

Для этого вычислим расстояние от точки $O = (0, 0)$ до центра круга $(3, 4)$:

$$d = \sqrt{3^2 + 4^2} = \sqrt{9 + 16} = \sqrt{25} = 5.$$

Теперь, так как радиус круга равен 1, наиболее удаленная точка будет находиться на расстоянии:

$$5 + 1 = 6.$$

Ответ: $|z| = 6$.

б) Разбор выражения:

Задание:
$|zi — 3 — 4i| \leq \left| \frac{1}{2} + \frac{\sqrt{3}}{2}i \right|$.

Преобразуем выражение для комплексного числа:

Пусть $z = x + yi$, где $x$ и $y$ — действительная и мнимая части комплексного числа $z$, соответственно.

Тогда:

$$zi = (x + yi)i = xi + y i^2 = xi — y.$$

Теперь подставим это в неравенство:

$$|(x + yi)i — 3 — 4i| = |xi — y — 3 — 4i|.$$

Это можно записать как:

$$|(-y — 3) + (x — 4)i|.$$

Мы ищем модуль этого выражения, который по определению равен:

$$\sqrt{(-y — 3)^2 + (x — 4)^2}.$$

Из условия задачи:

$$\left| \frac{1}{2} + \frac{\sqrt{3}}{2}i \right|.$$

Это модуль комплексного числа $\frac{1}{2} + \frac{\sqrt{3}}{2}i$. Вычислим его:

$$\left| \frac{1}{2} + \frac{\sqrt{3}}{2}i \right| = \sqrt{\left(\frac{1}{2}\right)^2 + \left(\frac{\sqrt{3}}{2}\right)^2}.$$

Это равно:

$$\sqrt{\frac{1}{4} + \frac{3}{4}} = \sqrt{\frac{4}{4}} = \sqrt{1} = 1.$$

Таким образом, неравенство примет вид:

$$\sqrt{(-y — 3)^2 + (x — 4)^2} \leq 1.$$

Это неравенство описывает круг на комплексной плоскости с центром в точке $(4, -3)$ и радиусом 1, так как оно имеет вид:

$$(x — 4)^2 + (y + 3)^2 \leq 1^2.$$

Таким образом, множество всех таких точек на комплексной плоскости — это круг с центром в точке $(4, -3)$ и радиусом 1.

1) График на комплексной плоскости:

На графике будет изображен круг с центром в точке $(4, -3)$ и радиусом 1. Этот круг ограничивает область, внутри которой расположены все точки, удовлетворяющие неравенству.

2) Расстояние от точки $O$ до наименее удаленной точки:

Пусть точка $O$ — это начало координат, то есть $(0, 0)$. Мы ищем расстояние от точки $O$ до наименее удаленной точки на круге.

Для этого вычислим расстояние от точки $O = (0, 0)$ до центра круга $(4, -3)$:

$$d = \sqrt{4^2 + (-3)^2} = \sqrt{16 + 9} = \sqrt{25} = 5.$$

Теперь, так как радиус круга равен 1, наименее удаленная точка будет находиться на расстоянии:

$$5 — 1 = 4.$$

Ответ: $|z| = 4$.