ГДЗ по Алгебре 10 Класс Номер 34.5 Профильный Уровень Мордкович — Подробные Ответы

При каком положительном значении параметра $a$ модуль данного числа равен 10:

а) $z = a + 8i$;

б) $z = 2a + ai$;

в) $z = (a + 1) + (a — 1)i$;

г) $z = a + \frac{50i}{a}$

При каком положительном значении параметра $a$ модуль данного числа равен 10:

а) $z = a + 8i$;

$$|z| = \sqrt{a^2 + 8^2} = 10;$$ $$\sqrt{a^2 + 64} = 10;$$ $$a^2 + 64 = 100;$$ $$a^2 = 36;$$ $$a = \sqrt{36} = 6;$$

Ответ: 6.

б) $z = 2a + ai$;

$$|z| = \sqrt{(2a)^2 + a^2} = 10;$$ $$\sqrt{4a^2 + a^2} = 10;$$ $$4a^2 + a^2 = 100;$$ $$5a^2 = 100;$$ $$a^2 = 20;$$ $$a = \sqrt{20} = 2\sqrt{5};$$

Ответ: $2\sqrt{5}$.

в) $z = (a + 1) + (a — 1)i$;

$$|z| = \sqrt{(a + 1)^2 + (a — 1)^2} = 10;$$ $$\sqrt{(a^2 + 2a + 1) + (a^2 — 2a + 1)} = 10;$$ $$\sqrt{2a^2 + 2} = 10;$$ $$2a^2 + 2 = 100;$$ $$2a^2 = 98;$$ $$a^2 = 49;$$ $$a = \sqrt{49} = 7;$$

Ответ: 7.

г) $z = a + \frac{50i}{a}$;

$$|z| = \sqrt{a^2 + \left( \frac{50}{a} \right)^2} = 10;$$ $$a^2 + \left( \frac{50}{a} \right)^2 = 100;$$ $$a^4 + 2500 = 100a^2;$$ $$a^4 — 100a^2 + 2500 = 0;$$ $$(a^2 — 50)^2 = 0;$$ $$a^2 = 50;$$ $$a = \sqrt{50} = 5\sqrt{2};$$

Ответ: $5\sqrt{2}$.

а) $z = a + 8i$

Шаг 1: Вспомним формулу модуля

Если $z = x + yi$, то

$$|z| = \sqrt{x^2 + y^2}$$

Шаг 2: Применим формулу к $z = a + 8i$

$$|z| = \sqrt{a^2 + 8^2} = \sqrt{a^2 + 64}$$

Шаг 3: Приравняем к 10

$$\sqrt{a^2 + 64} = 10$$

Шаг 4: Возведём обе части в квадрат

$$a^2 + 64 = 100$$

Шаг 5: Найдём $a^2$

$$a^2 = 100 — 64 = 36$$

Шаг 6: Извлекаем корень (только положительный $a$)

$$a = \sqrt{36} = 6$$

Ответ: $\boxed{6}$

б) $z = 2a + ai$

Шаг 1: Представим как $z = x + yi$

$$x = 2a, \quad y = a$$ $$|z| = \sqrt{(2a)^2 + a^2} = \sqrt{4a^2 + a^2} = \sqrt{5a^2}$$

Шаг 2: Приравняем к 10

$$\sqrt{5a^2} = 10$$

Шаг 3: Возводим обе части в квадрат

$$5a^2 = 100$$

Шаг 4: Делим обе части на 5

$$a^2 = 20$$

Шаг 5: Извлекаем корень

$$a = \sqrt{20} = \sqrt{4 \cdot 5} = 2\sqrt{5}$$

Ответ: $\boxed{2\sqrt{5}}$

в) $z = (a + 1) + (a — 1)i$

Шаг 1: Выделим действительную и мнимую части:

$$x = a + 1, \quad y = a — 1$$

Шаг 2: Найдём модуль:

$$|z| = \sqrt{(a + 1)^2 + (a — 1)^2}$$

Раскроем скобки:

• $(a + 1)^2 = a^2 + 2a + 1$
• $(a — 1)^2 = a^2 — 2a + 1$

Сложим:

$$|z| = \sqrt{a^2 + 2a + 1 + a^2 — 2a + 1} = \sqrt{2a^2 + 2}$$

Шаг 3: Приравняем к 10

$$\sqrt{2a^2 + 2} = 10$$

Шаг 4: Возводим обе части в квадрат

$$2a^2 + 2 = 100$$

Шаг 5: Выразим $a^2$

$$2a^2 = 98 \quad \Rightarrow \quad a^2 = 49$$

Шаг 6: Извлекаем корень

$$a = \sqrt{49} = 7$$

Ответ: $\boxed{7}$

г) $z = a + \dfrac{50i}{a}$

Шаг 1: Найдём модуль

$$|z| = \sqrt{a^2 + \left( \frac{50}{a} \right)^2}$$

Шаг 2: Приравняем к 10

$$\sqrt{a^2 + \left( \frac{50}{a} \right)^2} = 10$$

Шаг 3: Возводим обе части в квадрат

$$a^2 + \left( \frac{50}{a} \right)^2 = 100$$

Шаг 4: Приведём всё к общему виду

$$a^2 + \frac{2500}{a^2} = 100$$

Шаг 5: Умножим обе части уравнения на $a^2$

$$a^4 + 2500 = 100a^2$$

Шаг 6: Переносим всё в одну сторону

$$a^4 — 100a^2 + 2500 = 0$$

Шаг 7: Обозначим $x = a^2$

$$x^2 — 100x + 2500 = 0$$

Шаг 8: Найдём дискриминант:

$$D = 100^2 — 4 \cdot 1 \cdot 2500 = 10000 — 10000 = 0$$

Один корень:

$$x = \frac{100}{2} = 50$$ $$a^2 = 50 \Rightarrow a = \sqrt{50} = \sqrt{25 \cdot 2} = 5\sqrt{2}$$

Ответ: $\boxed{5\sqrt{2}}$