ГДЗ по Алгебре 10 Класс Номер 34.8 Профильный Уровень Мордкович — Подробные Ответы

Про комплексное число $z$ известно, что $\operatorname{Re} z = 3$ или $\operatorname{Re} z = 6$. Сколько имеется таких чисел, если, кроме того, известно, что:

а) $|z| = 3$;

б) $|z| = 4$;

в) $|z| = 6$;

г) $|z| = 10$?

Про комплексное число $z$ известно, что $\operatorname{Re} z = 3$ или $\operatorname{Re} z = 6$, сколько существует таких чисел, если:

а) $|z| = 3$;

$$|x + yi| = 3;$$ $$\sqrt{x^2 + y^2} = 3;$$ $$x^2 + y^2 = 9;$$ $$y = \pm \sqrt{9 — x^2};$$

Если $\operatorname{Re} z = 3$, тогда:

$$y = \pm \sqrt{9 — 3^2} = \pm \sqrt{9 — 9} = \pm \sqrt{0} = 0;$$

Если $\operatorname{Re} z = 6$, тогда:

$$y = \pm \sqrt{9 — 6^2} = \pm \sqrt{9 — 36} = \pm \sqrt{-27} \quad \text{(нет)};$$

Ответ: 1 число.

б) $|z| = 4$;

$$|x + yi| = 4;$$ $$\sqrt{x^2 + y^2} = 4;$$ $$x^2 + y^2 = 16;$$ $$y = \pm \sqrt{16 — x^2};$$

Если $\operatorname{Re} z = 3$, тогда:

$$y = \pm \sqrt{16 — 3^2} = \pm \sqrt{16 — 9} = \pm \sqrt{7};$$

Если $\operatorname{Re} z = 6$, тогда:

$$y = \pm \sqrt{16 — 6^2} = \pm \sqrt{16 — 36} = \pm \sqrt{-20} \quad \text{(нет)};$$

Ответ: 2 числа.

в) $|z| = 6$;

$$|x + yi| = 6;$$ $$\sqrt{x^2 + y^2} = 6;$$ $$x^2 + y^2 = 36;$$ $$y = \pm \sqrt{36 — x^2};$$

Если $\operatorname{Re} z = 3$, тогда:

$$y = \pm \sqrt{36 — 3^2} = \pm \sqrt{36 — 9} = \pm \sqrt{27} = \pm 3\sqrt{3};$$

Если $\operatorname{Re} z = 6$, тогда:

$$y = \pm \sqrt{36 — 6^2} = \pm \sqrt{36 — 36} = \pm \sqrt{0} = 0;$$

Ответ: 3 числа.

г) $|z| = 10$;

$$|x + yi| = 10;$$ $$\sqrt{x^2 + y^2} = 10;$$ $$x^2 + y^2 = 100;$$ $$y = \pm \sqrt{100 — x^2};$$

Если $\operatorname{Re} z = 3$, тогда:

$$y = \pm \sqrt{100 — 3^2} = \pm \sqrt{100 — 9} = \pm \sqrt{81} = \pm 9;$$

Если $\operatorname{Re} z = 6$, тогда:

$$y = \pm \sqrt{100 — 6^2} = \pm \sqrt{100 — 36} = \pm \sqrt{64} = \pm 8;$$

Ответ: 4 числа.

Модуль комплексного числа $z = x + yi$ равен:

$$|z| = \sqrt{x^2 + y^2}$$

Из этого можно выразить уравнение:

$$x^2 + y^2 = |z|^2$$

Так как нам даны два возможных значения $\operatorname{Re} z$, т.е. два возможных значения $x$: $x = 3$ и $x = 6$, мы подставим оба значения и посмотрим, при каких из них $y$ существует (даёт вественное число).

а) $|z| = 3$

Модуль:

$$|z| = \sqrt{x^2 + y^2} = 3 \Rightarrow x^2 + y^2 = 9$$

Случай 1: $x = 3$

$$3^2 + y^2 = 9 \Rightarrow 9 + y^2 = 9 \Rightarrow y^2 = 0 \Rightarrow y = 0$$

⇒ $z = 3 + 0i$

Один корень

Случай 2: $x = 6$

$$6^2 + y^2 = 9 \Rightarrow 36 + y^2 = 9 \Rightarrow y^2 = -27$$

Корня нет, т.к. $y^2 < 0$ – комплексные $y$ не подходят (нам нужны комплексные числа с вественной и мнимой частью).

Нет корней

Ответ (а):

1 число

б) $|z| = 4$

Модуль:

$$x^2 + y^2 = 16$$

Случай 1: $x = 3$

$$3^2 + y^2 = 16 \Rightarrow 9 + y^2 = 16 \Rightarrow y^2 = 7 \Rightarrow y = \pm \sqrt{7}$$

⇒ два числа:
$z = 3 + \sqrt{7}i$,
$z = 3 — \sqrt{7}i$

2 корня

Случай 2: $x = 6$

$$6^2 + y^2 = 16 \Rightarrow 36 + y^2 = 16 \Rightarrow y^2 = -20$$

Нет решений

Ответ (б):

2 числа

в) $|z| = 6$

Модуль:

$$x^2 + y^2 = 36$$

Случай 1: $x = 3$

$$3^2 + y^2 = 36 \Rightarrow 9 + y^2 = 36 \Rightarrow y^2 = 27 \Rightarrow y = \pm \sqrt{27} = \pm 3\sqrt{3}$$

⇒ два числа:
$z = 3 + 3\sqrt{3}i$,
$z = 3 — 3\sqrt{3}i$

2 корня

Случай 2: $x = 6$

$$6^2 + y^2 = 36 \Rightarrow 36 + y^2 = 36 \Rightarrow y^2 = 0 \Rightarrow y = 0$$

⇒ одно число:
$z = 6 + 0i$

1 корень

Ответ (в):

3 числа

г) $|z| = 10$

Модуль:

$$x^2 + y^2 = 100$$

Случай 1: $x = 3$

$$3^2 + y^2 = 100 \Rightarrow 9 + y^2 = 100 \Rightarrow y^2 = 91 \Rightarrow y = \pm \sqrt{91}$$

⇒ два числа:
$z = 3 + \sqrt{91}i$,
$z = 3 — \sqrt{91}i$

2 корня

Случай 2: $x = 6$

$$6^2 + y^2 = 100 \Rightarrow 36 + y^2 = 100 \Rightarrow y^2 = 64 \Rightarrow y = \pm 8$$

⇒ два числа:
$z = 6 + 8i$,
$z = 6 — 8i$

2 корня

Ответ (г):

4 числа

Финальные ответы:

а) 1 число

б) 2 числа

в) 3 числа

г) 4 числа