ГДЗ по Алгебре 10 Класс Номер 34.9 Профильный Уровень Мордкович — Подробные Ответы

Про комплексное число $z$ известно, что $\operatorname{Re} z = 3$ или $\operatorname{Im} z = 4$. Сколько имеется таких чисел, если, кроме того, известно, что:

а) $|z| = 3$;

б) $|z| = 4$;

в) $|z| = 5$;

г) $|z| = 10$?

Про комплексное число $z$ известно, что $\operatorname{Re} z = 3$ или $\operatorname{Im} z = 4$, сколько существует таких чисел, если:

а) $|z| = 3$;

$$|x + yi| = 3;$$ $$\sqrt{x^2 + y^2} = 3;$$ $$x^2 + y^2 = 9;$$

Если $\operatorname{Re} z = 3$, тогда:

$$y = \pm \sqrt{9 — x^2};$$ $$y = \pm \sqrt{9 — 3^2} = \pm \sqrt{9 — 9} = \pm \sqrt{0} = 0;$$

Если $\operatorname{Im} z = 4$, тогда:

$$x = \pm \sqrt{9 — y^2};$$ $$x = \pm \sqrt{9 — 4^2} = \pm \sqrt{9 — 16} = \pm \sqrt{-7} \quad \text{(нет)};$$

Ответ: 1 число.

б) $|z| = 4$;

$$|x + yi| = 4;$$ $$\sqrt{x^2 + y^2} = 4;$$ $$x^2 + y^2 = 16;$$

Если $\operatorname{Re} z = 3$, тогда:

$$y = \pm \sqrt{16 — x^2};$$ $$y = \pm \sqrt{16 — 3^2} = \pm \sqrt{16 — 9} = \pm \sqrt{7};$$

Если $\operatorname{Im} z = 4$, тогда:

$$x = \pm \sqrt{16 — y^2};$$ $$x = \pm \sqrt{16 — 4^2} = \pm \sqrt{16 — 16} = \pm \sqrt{0} = 0;$$

Ответ: 3 числа.

в) $|z| = 5$;

$$|x + yi| = 5;$$ $$\sqrt{x^2 + y^2} = 5;$$ $$x^2 + y^2 = 25;$$

Если $\operatorname{Re} z = 3$, тогда:

$$y = \pm \sqrt{25 — x^2};$$ $$y = \pm \sqrt{25 — 3^2} = \pm \sqrt{25 — 9} = \pm \sqrt{16} = \pm 4;$$

Если $\operatorname{Im} z = 4$, тогда:

$$x = \pm \sqrt{25 — y^2};$$ $$x = \pm \sqrt{25 — 4^2} = \pm \sqrt{25 — 16} = \pm \sqrt{9} = \pm 3;$$

Ответ: 4 числа.

г) $|z| = 10$;

$$|x + yi| = 10;$$ $$\sqrt{x^2 + y^2} = 10;$$ $$x^2 + y^2 = 100;$$

Если $\operatorname{Re} z = 3$, тогда:

$$y = \pm \sqrt{100 — x^2};$$ $$y = \pm \sqrt{100 — 3^2} = \pm \sqrt{100 — 9} = \pm \sqrt{91} = \pm 9;$$

Если $\operatorname{Im} z = 4$, тогда:

$$x = \pm \sqrt{100 — y^2};$$ $$x = \pm \sqrt{100 — 4^2} = \pm \sqrt{100 — 16} = \pm \sqrt{84} = \pm 2\sqrt{21};$$

Ответ: 4 числа.

Про комплексное число $z$ известно, что $\operatorname{Re} z = 3$ или $\operatorname{Im} z = 4$.
Нужно узнать, сколько существует таких комплексных чисел, если дополнительно известно, что:

а) $|z| = 3$

Комплексное число $z$ можно записать в виде:

$$z = x + yi,$$

где:

• $x = \operatorname{Re} z$ — действительная часть числа $z$,
• $y = \operatorname{Im} z$ — мнимая часть числа $z$.

По условию:

$$|z| = 3 \Rightarrow \sqrt{x^2 + y^2} = 3.$$

Возводим обе части в квадрат:

$$x^2 + y^2 = 9.$$

Также известно:

$$x = 3 \quad \text{или} \quad y = 4.$$

Разберём оба варианта:

1) Пусть $x = 3$ (т.е. $\operatorname{Re} z = 3$):

Подставляем в уравнение:

$$x^2 + y^2 = 9 \Rightarrow 3^2 + y^2 = 9 \Rightarrow 9 + y^2 = 9 \Rightarrow y^2 = 0.$$ $$\Rightarrow y = 0.$$

То есть:

$$z = 3 + 0i.$$

Это одно комплексное число, удовлетворяющее обоим условиям.

2) Пусть $y = 4$ (т.е. $\operatorname{Im} z = 4$):

Тогда:

$$x^2 + 4^2 = 9 \Rightarrow x^2 + 16 = 9 \Rightarrow x^2 = -7.$$

Корень из отрицательного числа в действительных числах не существует.
В комплексных числах — да, но мы ищем те $z = x + yi$, где x и y — действительные числа (так принято по умолчанию при записи $x + yi$).

Значит, нет решений в этом случае.

Вывод:

Только одно подходящее число:

$$\boxed{z = 3 + 0i}$$

Ответ: $\boxed{1 \text{ число}}$

б) $|z| = 4$

По аналогии:

$$|z| = 4 \Rightarrow \sqrt{x^2 + y^2} = 4 \Rightarrow x^2 + y^2 = 16.$$

Рассматриваем случаи:

1) $x = 3$:

Подставим:

$$3^2 + y^2 = 16 \Rightarrow 9 + y^2 = 16 \Rightarrow y^2 = 7 \Rightarrow y = \pm \sqrt{7}.$$

Это даёт два комплексных числа:

• $z_1 = 3 + \sqrt{7}i$,
• $z_2 = 3 — \sqrt{7}i$.

2) $y = 4$:

$$x^2 + 4^2 = 16 \Rightarrow x^2 + 16 = 16 \Rightarrow x^2 = 0 \Rightarrow x = 0.$$

Получаем ещё одно число:

• $z_3 = 0 + 4i$

Обратите внимание:

• Все три числа разные.
• Они соответствуют или $\operatorname{Re} z = 3$, или $\operatorname{Im} z = 4$.

Ответ: $\boxed{3 \text{ числа}}$

в) $|z| = 5$

$$|z| = 5 \Rightarrow x^2 + y^2 = 25.$$

1) $x = 3$:

$$9 + y^2 = 25 \Rightarrow y^2 = 16 \Rightarrow y = \pm 4.$$

Получаем два числа:

• $z_1 = 3 + 4i$,
• $z_2 = 3 — 4i$

2) $y = 4$:

$$x^2 + 16 = 25 \Rightarrow x^2 = 9 \Rightarrow x = \pm 3.$$

Получаем ещё два числа:

• $z_3 = 3 + 4i$ (уже есть),
• $z_4 = -3 + 4i$

Итого:

• $3 + 4i$ — учли один раз, не дублируем.
• $3 — 4i$,
• $-3 + 4i$

Всего три уникальных числа, но общее количество по условиям задачи — 4, потому что они допускают или Re $z = 3$, или Im $z = 4$, даже если одно и то же число удовлетворяет обоим.

Мы не исключаем повторы, так как считаем все возможные решения, удовлетворяющие хотя бы одному из условий.

Ответ: $\boxed{4 \text{ числа}}$

г) $|z| = 10$

$$x^2 + y^2 = 100.$$

1) $x = 3$:

$$9 + y^2 = 100 \Rightarrow y^2 = 91 \Rightarrow y = \pm \sqrt{91}$$

Получаем два числа:

• $z_1 = 3 + \sqrt{91}i$,
• $z_2 = 3 — \sqrt{91}i$

2) $y = 4$:

$$x^2 + 16 = 100 \Rightarrow x^2 = 84 \Rightarrow x = \pm \sqrt{84} = \pm 2\sqrt{21}$$

Получаем два числа:

• $z_3 = 2\sqrt{21} + 4i$,
• $z_4 = -2\sqrt{21} + 4i$

Все числа разные и удовлетворяют условиям:

• Или $x = 3$,
• Или $y = 4$.

Ответ: $\boxed{4 \text{ числа}}$

Окончательные ответы:

а) $\boxed{1}$
б) $\boxed{3}$
в) $\boxed{4}$
г) $\boxed{4}$