ГДЗ по Алгебре 10 Класс Номер 35.1 Профильный Уровень Мордкович — Подробные Ответы

Найдите все действительные значения параметра а, при которых уравнение x² — 4х + а = 0:

a) имеет только один корень;

б) имеет два действительных корня;

в) не имеет действительных корней;

г) имеет два действительных корня разных знаков.

Дано уравнение:
$x^2 — 4x + a = 0;$
$D = 4^2 — 4a = 16 — 4a;$

а) Уравнение имеет только один корень:
$16 — 4a = 0;$
$4a = 16;$
$a = 4;$
Ответ: $a = 4$.

б) Уравнение имеет два действительных корня:
$16 — 4a > 0;$
$4a < 16;$
$a < 4;$
Ответ: $a < 4$.

в) Уравнение не имеет действительных корней:
$16 — 4a < 0;$
$4a > 16;$
$a > 4;$
Ответ: $a > 4$.

г) Уравнение имеет два действительных корня разных знаков:
$\sqrt{16 — 4a} > 4;$
$16 — 4a > 16;$
$-4a > 0;$
$a < 0;$
Ответ: $a < 0$.

Дано уравнение:

$x^2 — 4x + a = 0.$

Для того чтобы решить это уравнение, рассмотрим его дискриминант $D$. Уравнение имеет вид $ax^2 + bx + c = 0$, где $a = 1$, $b = -4$, $c = a$. Дискриминант для квадратного уравнения рассчитывается по формуле:

$$D = b^2 — 4ac.$$

Подставим значения $a = 1$, $b = -4$, $c = a$ в эту формулу:

$$D = (-4)^2 — 4 \cdot 1 \cdot a = 16 — 4a.$$

Теперь рассмотрим разные случаи в зависимости от значения дискриминанта.

а) Уравнение имеет только один корень:

Когда у квадратного уравнения дискриминант равен нулю ($D = 0$), то у него есть только один корень (или два одинаковых корня). Это условие можно записать так:

$$D = 0.$$

Подставим выражение для дискриминанта:

$$16 — 4a = 0.$$

Решим это уравнение относительно $a$:

$$16 = 4a,$$ $$a = \frac{16}{4} = 4.$$

Ответ: $a = 4$.

б) Уравнение имеет два действительных корня:

Для того чтобы у квадратного уравнения было два действительных корня, его дискриминант должен быть положительным ($D > 0$). Это условие можно записать так:

$$D > 0.$$

Подставим выражение для дискриминанта:

$$16 — 4a > 0.$$

Теперь решим неравенство:

$$16 > 4a,$$ $$a < \frac{16}{4} = 4.$$

Ответ: $a < 4$.

в) Уравнение не имеет действительных корней:

Когда у квадратного уравнения нет действительных корней, его дискриминант меньше нуля ($D < 0$). Это условие можно записать так:

$$D < 0.$$

Подставим выражение для дискриминанта:

$$16 — 4a < 0.$$

Теперь решим неравенство:

$$16 < 4a,$$ $$a > \frac{16}{4} = 4.$$

Ответ: $a > 4$.

г) Уравнение имеет два действительных корня разных знаков:

Когда у квадратного уравнения два действительных корня разных знаков, это означает, что дискриминант больше нуля ($D > 0$) и дополнительно выполняется условие, что произведение корней отрицательно. Сначала рассмотрим условие на дискриминант, которое уже было получено:

$$D > 0 \quad \text{или} \quad 16 — 4a > 0,$$

которое решается как:

$$a < 4.$$

Теперь, чтобы корни уравнения были разных знаков, нужно, чтобы произведение этих корней было отрицательным. Произведение корней квадратного уравнения $x_1 \cdot x_2$ для уравнения $x^2 + px + q = 0$ равно $q$. В нашем случае произведение корней равно $c/a = a/1 = a$, и для того чтобы оно было отрицательным, должно выполняться условие:

$$a < 0.$$

Таким образом, для того чтобы у уравнения были два действительных корня разных знаков, необходимо, чтобы одновременно выполнялись два условия:

1. $a < 4$ (для двух действительных корней),
2. $a < 0$ (для разных знаков корней).

Ответ: $a < 0$.