ГДЗ по Алгебре 10 Класс Номер 35.11 Профильный Уровень Мордкович — Подробные Ответы

Вычислите $\sqrt{a + bi}$, решив уравнение $(x + yi)^2 = a + bi$:

а) $\sqrt{4}$;

б) $\sqrt{-4}$;

в) $\sqrt{9i}$;

г) $\sqrt{-25i}$.

Вычислить $\sqrt{a + bi}$, решив уравнение $(x + yi)^2 = a + bi$.

а) $\sqrt{a + bi} = \sqrt{4}$

$$(x + yi)^2 = 4$$

Разложим левую часть:

$$x^2 + 2xyi + y^2i^2 = 4$$

Так как $i^2 = -1$:

$$x^2 + 2xyi — y^2 = 4$$

Сгруппируем действительную и мнимую части:

$$(x^2 — y^2) + (2xy)i = 4 + 0i$$

Получаем систему уравнений:

$$\begin{cases} x^2 — y^2 = 4 \\ 2xy = 0 \end{cases}$$

Из второго уравнения $2xy = 0$:

$$xy = 0$$

Значит, либо $x = 0$, либо $y = 0$.

Если $y = 0$:

$$x^2 — 0^2 = 4 \implies x^2 = 4 \implies x = \pm 2$$

Ответ: $\pm 2$.

б) $\sqrt{a + bi} = \sqrt{-4}$

$$(x + yi)^2 = -4$$

Разложим левую часть:

$$x^2 + 2xyi + y^2i^2 = -4$$

Так как $i^2 = -1$:

$$x^2 + 2xyi — y^2 = -4$$

Сгруппируем действительную и мнимую части:

$$(x^2 — y^2) + (2xy)i = -4 + 0i$$

Получаем систему уравнений:

$$\begin{cases} x^2 — y^2 = -4 \\ 2xy = 0 \end{cases}$$

Из второго уравнения $2xy = 0$:

$$xy = 0$$

Значит, либо $x = 0$, либо $y = 0$.

Если $x = 0$:

$$0^2 — y^2 = -4 \implies -y^2 = -4 \implies y^2 = 4 \implies y = \pm 2$$

Ответ: $\pm 2i$.

в) $\sqrt{a + bi} = \sqrt{9i}$

$$(x + yi)^2 = 9i$$

Разложим левую часть:

$$x^2 + 2xyi + y^2i^2 = 9i$$

Так как $i^2 = -1$:

$$x^2 + 2xyi — y^2 = 9i$$

Сгруппируем действительную и мнимую части:

$$(x^2 — y^2) + (2xy)i = 0 + 9i$$

Получаем систему уравнений:

$$\begin{cases} x^2 — y^2 = 0 \\ 2xy = 9 \end{cases}$$

Из первого уравнения $x^2 — y^2 = 0$:

$$x^2 = y^2 \implies x = \pm y$$

Так как $xy > 0$, то $x$ и $y$ должны иметь одинаковые знаки. Значит, $x = y$.

Подставим $x = y$ во второе уравнение $2xy = 9$:

$$2x^2 = 9 \implies x^2 = \frac{9}{2} \implies x = \pm \frac{3}{\sqrt{2}} = \pm \frac{3\sqrt{2}}{2}$$

Так как $x = y$:

$$x = y = \pm \frac{3\sqrt{2}}{2}$$

Ответ: $\pm \frac{3\sqrt{2}}{2}(1 + i)$.

г) $\sqrt{a + bi} = \sqrt{-25i}$

$$(x + yi)^2 = -25i$$

Разложим левую часть:

$$x^2 + 2xyi + y^2i^2 = -25i$$

Так как $i^2 = -1$:

$$x^2 + 2xyi — y^2 = -25i$$

Сгруппируем действительную и мнимую части:

$$(x^2 — y^2) + (2xy)i = 0 — 25i$$

Получаем систему уравнений:

$$\begin{cases} x^2 — y^2 = 0 \\ 2xy = -25 \end{cases}$$

Из первого уравнения $x^2 — y^2 = 0$:

$$x^2 = y^2 \implies x = \pm y$$

Так как $xy < 0$, то $x$ и $y$ должны иметь противоположные знаки. Значит, $x = -y$.

Подставим $x = -y$ во второе уравнение $2xy = -25$:

$$2(-y)y=-25⟹-2y^2=-25⟹y^2=\frac{25}{2}⟹$$

$$2(-y)y = -25 \implies -2y^2 = -25 \implies y^2 = \frac{25}{2} \implies y = \pm \frac{5}{\sqrt{2}} = \pm \frac{5\sqrt{2}}{2}$$

Так как $x = -y$:

$$x = -y = \mp \frac{5\sqrt{2}}{2}$$

Ответ: $\pm \frac{5\sqrt{2}}{2}(1 — i)$.

Вычислить $\sqrt{a + bi}$, решив уравнение $(x + yi)^2 = a + bi$.

а) $\sqrt{a + bi} = \sqrt{4}$

Нужно найти корень квадратный числа $4$ в комплексной форме. Для этого решим уравнение $(x + yi)^2 = 4$, где $x$ и $y$ — действительная и мнимая части комплексного числа.

Шаг 1: Раскрываем левую часть уравнения:

$$(x + yi)^2 = x^2 + 2xyi + y^2i^2$$

Так как $i^2 = -1$, то получаем:

$$x^2 + 2xyi — y^2$$

Шаг 2: Приравниваем полученную формулу к правой части уравнения, которая равна $4$:

$$x^2 + 2xyi — y^2 = 4$$

Шаг 3: Разделяем уравнение на действительную и мнимую части:

Действительная часть: $x^2 — y^2 = 4$

Мнимая часть: $2xy = 0$

Шаг 4: Из уравнения $2xy = 0$ получаем, что либо $x = 0$, либо $y = 0$.

Рассмотрим случай $x = 0$. Тогда из уравнения $x^2 — y^2 = 4$ получаем:

$$0^2 — y^2 = 4 \implies -y^2 = 4 \implies y^2 = -4$$

Это решение невозможно для действительного числа $y$, так как квадрат любого действительного числа не может быть отрицательным. Следовательно, $x \neq 0$, и $y = 0$.

Рассмотрим случай $y = 0$. Тогда из уравнения $x^2 — y^2 = 4$ получаем:

$$x^2 = 4 \implies x = \pm 2$$

Таким образом, получаем два возможных значения для $x$:

$$x = 2 \quad \text{или} \quad x = -2$$

Ответ: $\pm 2$.

б) $\sqrt{a + bi} = \sqrt{-4}$

Нужно найти корень квадратный от $-4$, что эквивалентно решению уравнения $(x + yi)^2 = -4$.

Шаг 1: Раскрываем левую часть уравнения:

$$(x + yi)^2 = x^2 + 2xyi + y^2i^2 = x^2 + 2xyi — y^2$$

Шаг 2: Приравниваем левую часть к правой, которая равна $-4$:

$$x^2 + 2xyi — y^2 = -4$$

Шаг 3: Разделяем уравнение на действительную и мнимую части:

Действительная часть: $x^2 — y^2 = -4$

Мнимая часть: $2xy = 0$

Шаг 4: Из уравнения $2xy = 0$ получаем, что либо $x = 0$, либо $y = 0$.

Рассмотрим случай $x = 0$. Тогда из уравнения $x^2 — y^2 = -4$ получаем:

$$0^2 — y^2 = -4 \implies -y^2 = -4 \implies y^2 = 4 \implies y = \pm 2$$

Таким образом, $y = \pm 2$.

Рассмотрим случай $y = 0$. Тогда из уравнения $x^2 — y^2 = -4$ получаем:

$$x^2 = -4$$

Это уравнение не имеет решений для действительного числа $x$, так как квадрат действительного числа не может быть отрицательным.

Ответ: $\pm 2i$.

в) $\sqrt{a + bi} = \sqrt{9i}$

Нужно найти корень квадратный от $9i$, решив уравнение $(x + yi)^2 = 9i$.

Шаг 1: Раскрываем левую часть уравнения:

$$(x + yi)^2 = x^2 + 2xyi + y^2i^2 = x^2 + 2xyi — y^2$$

Шаг 2: Приравниваем левую часть к правой части уравнения $9i$:

$$x^2 + 2xyi — y^2 = 9i$$

Шаг 3: Разделяем уравнение на действительную и мнимую части:

Действительная часть: $x^2 — y^2 = 0$

Мнимая часть: $2xy = 9$

Шаг 4: Из уравнения $x^2 — y^2 = 0$ получаем:

$$x^2 = y^2 \implies x = \pm y$$

Так как $xy > 0$, это означает, что $x$ и $y$ должны быть одинаковыми по знаку. Таким образом, $x = y$.

Шаг 5: Подставляем $x = y$ во второе уравнение $2xy = 9$:

$$2x^2 = 9 \implies x^2 = \frac{9}{2} \implies x = \pm \frac{3}{\sqrt{2}} = \pm \frac{3\sqrt{2}}{2}$$

Так как $x = y$, то:

$$x = y = \pm \frac{3\sqrt{2}}{2}$$

Ответ: $\pm \frac{3\sqrt{2}}{2}(1 + i)$.

г) $\sqrt{a + bi} = \sqrt{-25i}$

Нужно найти корень квадратный от $-25i$, решив уравнение $(x + yi)^2 = -25i$.

Шаг 1: Раскрываем левую часть уравнения:

$$(x + yi)^2 = x^2 + 2xyi + y^2i^2 = x^2 + 2xyi — y^2$$

Шаг 2: Приравниваем левую часть к правой, которая равна $-25i$:

$$x^2 + 2xyi — y^2 = -25i$$

Шаг 3: Разделяем уравнение на действительную и мнимую части:

Действительная часть: $x^2 — y^2 = 0$

Мнимая часть: $2xy = -25$

Шаг 4: Из уравнения $x^2 — y^2 = 0$ получаем:

$$x^2 = y^2 \implies x = \pm y$$

Так как $xy < 0$, это означает, что $x$ и $y$ должны быть противоположными по знаку. Следовательно, $x = -y$.

Шаг 5: Подставляем $x = -y$ во второе уравнение $2xy = -25$:

$$2(-y)y=-25⟹-2y^2=-25⟹y^2=\frac{25}{2}⟹$$

$$2(-y)y = -25 \implies -2y^2 = -25 \implies y^2 = \frac{25}{2} \implies y = \pm \frac{5}{\sqrt{2}} = \pm \frac{5\sqrt{2}}{2}$$

Так как $x = -y$, то:

$$x = -y = \mp \frac{5\sqrt{2}}{2}$$

Ответ: $\pm \frac{5\sqrt{2}}{2}(1 — i)$.

Итоговые ответы:

а) $\pm 2$

б) $\pm 2i$

в) $\pm \frac{3\sqrt{2}}{2}(1 + i)$

г) $\pm \frac{5\sqrt{2}}{2}(1 — i)$