ГДЗ по Алгебре 10 Класс Номер 35.12 Профильный Уровень Мордкович — Подробные Ответы

Вычислите $\sqrt{a + bi}$, решив уравнение $(x + yi)^2 = a + bi$ или использовав формулу

$$\sqrt{a + bi} = \pm \left( \sqrt{\frac{\sqrt{a^2 + b^2} + a}{2}} + i \cdot \frac{b}{|b|} \cdot \sqrt{\frac{\sqrt{a^2 + b^2} — a}{2}} \right):$$

а) $\sqrt{3 — 4i}$;
б) $\sqrt{3 + 4i}$;
в) $\sqrt{4 — 3i}$;
г) $\sqrt{12 + 5i}$.

Вычислить $\sqrt{a + bi}$ используя формулу:

а)

$$\sqrt{3 — 4i} = \pm \left( \sqrt{\frac{3^2 + 4^2 + 3}{2}} + i \cdot \frac{-4}{|-4|} \cdot \sqrt{\frac{3^2 + 4^2 — 3}{2}} \right) =$$ $$= \pm \left( \sqrt{\frac{9 + 16 + 3}{2}} — i \sqrt{\frac{9 + 16 — 3}{2}} \right) = \pm \left( \sqrt{\frac{5 + 3}{2}} — i \sqrt{\frac{5 — 3}{2}} \right) =$$ $$= \pm (\sqrt{4} — i \sqrt{1}) = \pm (2 — i);$$

Ответ: $\pm (2 — i)$.

б)

$$\sqrt{3 + 4i} = \pm \left( \sqrt{\frac{3^2 + 4^2 + 3}{2}} + i \cdot \frac{4}{|4|} \cdot \sqrt{\frac{3^2 + 4^2 — 3}{2}} \right) =$$ $$= \pm \left( \sqrt{\frac{9 + 16 + 3}{2}} + i \sqrt{\frac{9 + 16 — 3}{2}} \right) = \pm \left( \sqrt{\frac{5 + 3}{2}} + i \sqrt{\frac{5 — 3}{2}} \right) =$$ $$= \pm (\sqrt{4} + i \sqrt{1}) = \pm (2 + i);$$

Ответ: $\pm (2 + i)$.

в)

$$\sqrt{4 — 3i} = \pm \left( \sqrt{\frac{4^2 + 3^2 + 4}{2}} + i \cdot \frac{-3}{|-3|} \cdot \sqrt{\frac{4^2 + 3^2 — 4}{2}} \right) =$$ $$= \pm \left( \sqrt{\frac{5 + 4}{2}} — i \sqrt{\frac{5 — 4}{2}} \right) = \pm \left( \sqrt{\frac{9}{2}} — i \sqrt{\frac{1}{2}} \right) = \pm \left( \frac{3}{\sqrt{2}} — \frac{1}{\sqrt{2}} i \right) = \pm \frac{3 — i}{\sqrt{2}};$$

Ответ: $\pm \frac{3 — i}{\sqrt{2}}$.

г)

$$\sqrt{12 + 5i} = \pm \left( \sqrt{\frac{12^2 + 5^2 + 12}{2}} + i \cdot \frac{5}{|15|} \cdot \sqrt{\frac{12^2 + 5^2 — 12}{2}} \right) =$$ $$= \pm \left( \sqrt{\frac{144 + 25 + 12}{2}} + i \sqrt{\frac{144 + 25 — 12}{2}} \right) = \pm \left( \sqrt{\frac{13 + 12}{2}} + i \sqrt{\frac{13 — 12}{2}} \right) =$$ $$= \pm \left( \sqrt{\frac{25}{2}} + i \sqrt{\frac{1}{2}} \right) = \pm \left( \frac{5}{\sqrt{2}} + \frac{1}{\sqrt{2}} i \right) = \pm \frac{5 + i}{\sqrt{2}};$$

Ответ: $\pm \frac{5 + i}{\sqrt{2}}$.

Вычислить $\sqrt{a + bi}$, используя формулу:

а) $\sqrt{3 — 4i}$

Необходимо вычислить $\sqrt{3 — 4i}$, используя формулу для извлечения квадратного корня из комплексного числа $a + bi$. Формула выглядит следующим образом:

$$\sqrt{a + bi} = \pm \left( \sqrt{\frac{r + a}{2}} + i \cdot \frac{b}{|b|} \cdot \sqrt{\frac{r — a}{2}} \right),$$

где $r = \sqrt{a^2 + b^2}$, и $a$ и $b$ — действительная и мнимая части комплексного числа.

Шаг 1: Найдем модуль $r$ числа $3 — 4i$.

$$r = \sqrt{3^2 + (-4)^2} = \sqrt{9 + 16} = \sqrt{25} = 5$$

Шаг 2: Подставим в формулу для квадратного корня.

$$\sqrt{3 — 4i} = \pm \left( \sqrt{\frac{5 + 3}{2}} + i \cdot \frac{-4}{|-4|} \cdot \sqrt{\frac{5 — 3}{2}} \right)$$

Шаг 3: Упростим выражения внутри корней.

$$= \pm \left( \sqrt{\frac{8}{2}} + i \cdot (-1) \cdot \sqrt{\frac{2}{2}} \right)$$ $$= \pm \left( \sqrt{4} — i \sqrt{1} \right)$$

Шаг 4: Упростим результаты.

$$= \pm (2 — i)$$

Ответ: $\pm (2 — i)$.

б) $\sqrt{3 + 4i}$

Теперь вычислим $\sqrt{3 + 4i}$, используя ту же самую формулу для квадратного корня комплексного числа.

Шаг 1: Найдем модуль $r$ числа $3 + 4i$.

$$r = \sqrt{3^2 + 4^2} = \sqrt{9 + 16} = \sqrt{25} = 5$$

Шаг 2: Подставим в формулу для квадратного корня.

$$\sqrt{3 + 4i} = \pm \left( \sqrt{\frac{5 + 3}{2}} + i \cdot \frac{4}{|4|} \cdot \sqrt{\frac{5 — 3}{2}} \right)$$

Шаг 3: Упростим выражения внутри корней.

$$= \pm \left( \sqrt{\frac{8}{2}} + i \cdot \sqrt{\frac{2}{2}} \right)$$ $$= \pm \left( \sqrt{4} + i \sqrt{1} \right)$$

Шаг 4: Упростим результаты.

$$= \pm (2 + i)$$

Ответ: $\pm (2 + i)$.

в) $\sqrt{4 — 3i}$

Теперь найдем $\sqrt{4 — 3i}$, применяя формулу для извлечения квадратного корня из комплексного числа.

Шаг 1: Найдем модуль $r$ числа $4 — 3i$.

$$r = \sqrt{4^2 + (-3)^2} = \sqrt{16 + 9} = \sqrt{25} = 5$$

Шаг 2: Подставим в формулу для квадратного корня.

$$\sqrt{4 — 3i} = \pm \left( \sqrt{\frac{5 + 4}{2}} + i \cdot \frac{-3}{|-3|} \cdot \sqrt{\frac{5 — 4}{2}} \right)$$

Шаг 3: Упростим выражения внутри корней.

$$= \pm \left( \sqrt{\frac{9}{2}} — i \sqrt{\frac{1}{2}} \right)$$ $$= \pm \left( \frac{3}{\sqrt{2}} — \frac{1}{\sqrt{2}} i \right)$$

Шаг 4: Приведем к единому знаменателю.

$$= \pm \frac{3 — i}{\sqrt{2}}$$

Ответ: $\pm \frac{3 — i}{\sqrt{2}}$.

г) $\sqrt{12 + 5i}$

Теперь найдем $\sqrt{12 + 5i}$, применяя формулу для извлечения квадратного корня из комплексного числа.

Шаг 1: Найдем модуль $r$ числа $12 + 5i$.

$$r = \sqrt{12^2 + 5^2} = \sqrt{144 + 25} = \sqrt{169} = 13$$

Шаг 2: Подставим в формулу для квадратного корня.

$$\sqrt{12 + 5i} = \pm \left( \sqrt{\frac{13 + 12}{2}} + i \cdot \frac{5}{|5|} \cdot \sqrt{\frac{13 — 12}{2}} \right)$$

Шаг 3: Упростим выражения внутри корней.

$$= \pm \left( \sqrt{\frac{25}{2}} + i \sqrt{\frac{1}{2}} \right)$$ $$= \pm \left( \frac{5}{\sqrt{2}} + \frac{1}{\sqrt{2}} i \right)$$

Шаг 4: Приведем к единому знаменателю.

$$= \pm \frac{5 + i}{\sqrt{2}}$$

Ответ: $\pm \frac{5 + i}{\sqrt{2}}$.

Итоговые ответы:

а) $\pm (2 — i)$

б) $\pm (2 + i)$

в) $\pm \frac{3 — i}{\sqrt{2}}$

г) $\pm \frac{5 + i}{\sqrt{2}}$