ГДЗ по Алгебре 10 Класс Номер 35.13 Профильный Уровень Мордкович — Подробные Ответы

Вычислите:

а)

$$\sqrt{15 + 8i} = \pm \left( \sqrt{\frac{\sqrt{15^2 + 8^2} + 15}{2}} + i \cdot \frac{8}{|8|} \cdot \sqrt{\frac{\sqrt{15^2 + 8^2} — 8}{2}} \right) =$$ $$$$б)

$$\sqrt{15 — 8i} = \pm \left( \sqrt{\frac{\sqrt{15^2 + 8^2} + 15}{2}} + i \cdot \frac{-8}{|-8|} \cdot \sqrt{\frac{\sqrt{15^2 + 8^2} — 15}{2}} \right) =$$ $$$$в)

$$\sqrt{24 — 7i} = \pm \left( \sqrt{\frac{\sqrt{24^2 + 7^2} + 24}{2}} + i \cdot \frac{-7}{|-7|} \cdot \sqrt{\frac{\sqrt{24^2 + 7^2} — 24}{2}} \right) =$$ $$$$г)

$$\sqrt{40+9i}$$

а)

$$\sqrt{15 + 8i} = \pm \left( \sqrt{\frac{\sqrt{15^2 + 8^2} + 15}{2}} + i \cdot \frac{8}{|8|} \cdot \sqrt{\frac{\sqrt{15^2 + 8^2} — 8}{2}} \right) =$$ $$= \pm \left( \sqrt{\frac{\sqrt{225 + 64} + 15}{2}} + i \sqrt{\frac{\sqrt{225 + 64} — 15}{2}} \right) =$$ $$= \pm \left( \sqrt{\frac{17 + 15}{2}} + i \sqrt{\frac{17 — 15}{2}} \right) = \pm (\sqrt{16} + i \sqrt{1}) = \pm (4 + i);$$

Ответ: $\pm (4 + i)$.

б)

$$\sqrt{15 — 8i} = \pm \left( \sqrt{\frac{\sqrt{15^2 + 8^2} + 15}{2}} + i \cdot \frac{-8}{|-8|} \cdot \sqrt{\frac{\sqrt{15^2 + 8^2} — 15}{2}} \right) =$$ $$= \pm \left( \sqrt{\frac{\sqrt{225 + 64} + 15}{2}} — i \sqrt{\frac{\sqrt{225 + 64} — 15}{2}} \right) =$$ $$= \pm \left( \sqrt{\frac{17 + 15}{2}} — i \sqrt{\frac{17 — 15}{2}} \right) = \pm (\sqrt{16} — i \sqrt{1}) = \pm (4 — i);$$

Ответ: $\pm (4 — i)$.

в)

$$\sqrt{24 — 7i} = \pm \left( \sqrt{\frac{\sqrt{24^2 + 7^2} + 24}{2}} + i \cdot \frac{-7}{|-7|} \cdot \sqrt{\frac{\sqrt{24^2 + 7^2} — 24}{2}} \right) =$$ $$= \pm \left( \sqrt{\frac{\sqrt{576 + 49} + 24}{2}} — i \sqrt{\frac{\sqrt{576 + 49} — 24}{2}} \right) =$$ $$= \pm \left( \sqrt{\frac{25 + 24}{2}} — i \sqrt{\frac{25 — 24}{2}} \right) = \pm \left( \sqrt{\frac{49}{2}} — i \sqrt{\frac{1}{2}} \right) = \pm \frac{7 — i}{\sqrt{2}};$$

Ответ: $\pm \frac{7 — i}{\sqrt{2}}$.

г)

$$\sqrt{40 + 9i} = \pm \left( \sqrt{\frac{\sqrt{40^2 + 9^2} + 40}{2}} + i \cdot \frac{9}{|9|} \cdot \sqrt{\frac{\sqrt{40^2 + 9^2} — 40}{2}} \right) =$$ $$= \pm \left( \sqrt{\frac{\sqrt{1600 + 81} + 40}{2}} + i \sqrt{\frac{\sqrt{1600 + 81} — 40}{2}} \right) =$$ $$= \pm \left( \sqrt{\frac{41 + 40}{2}} + i \sqrt{\frac{41 — 40}{2}} \right) = \pm \left( \sqrt{\frac{81}{2}} + i \sqrt{\frac{1}{2}} \right) = \pm \frac{9 + i}{\sqrt{2}};$$

Ответ: $\pm \frac{9 + i}{\sqrt{2}}$.

Вычислить $\sqrt{a + bi}$, используя формулу:

$$\sqrt{a + bi} = \pm \left( \sqrt{\frac{\sqrt{a^2 + b^2} + a}{2}} + i \cdot \frac{b}{|b|} \cdot \sqrt{\frac{\sqrt{a^2 + b^2} — a}{2}} \right)$$

где $a$ и $b$ — действительная и мнимая части комплексного числа $a + bi$, а $r = \sqrt{a^2 + b^2}$ — его модуль.

а) $\sqrt{15 + 8i}$

Шаг 1: Найдем модуль числа $15 + 8i$:

$$r = \sqrt{15^2 + 8^2} = \sqrt{225 + 64} = \sqrt{289} = 17$$

Шаг 2: Подставим значения $a = 15$, $b = 8$, и $r = 17$ в формулу для извлечения квадратного корня:

$$\sqrt{15 + 8i} = \pm \left( \sqrt{\frac{17 + 15}{2}} + i \cdot \frac{8}{|8|} \cdot \sqrt{\frac{17 — 15}{2}} \right)$$

Шаг 3: Упростим выражения внутри корней.

Для первой части (действительная часть):

$$\sqrt{\frac{17 + 15}{2}} = \sqrt{\frac{32}{2}} = \sqrt{16} = 4$$

Для второй части (мнимая часть):

$$\sqrt{\frac{17 — 15}{2}} = \sqrt{\frac{2}{2}} = \sqrt{1} = 1$$

Так как $b = 8$, $\frac{8}{|8|} = 1$, получаем:

$$\sqrt{15 + 8i} = \pm \left( 4 + i \cdot 1 \right) = \pm (4 + i)$$

Ответ: $\pm (4 + i)$

б) $\sqrt{15 — 8i}$

Шаг 1: Найдем модуль числа $15 — 8i$:

$$r = \sqrt{15^2 + (-8)^2} = \sqrt{225 + 64} = \sqrt{289} = 17$$

Шаг 2: Подставим значения $a = 15$, $b = -8$, и $r = 17$ в формулу для извлечения квадратного корня:

$$\sqrt{15 — 8i} = \pm \left( \sqrt{\frac{17 + 15}{2}} + i \cdot \frac{-8}{|-8|} \cdot \sqrt{\frac{17 — 15}{2}} \right)$$

Шаг 3: Упростим выражения внутри корней.

Для первой части (действительная часть):

$$\sqrt{\frac{17 + 15}{2}} = \sqrt{\frac{32}{2}} = \sqrt{16} = 4$$

Для второй части (мнимая часть):

$$\sqrt{\frac{17 — 15}{2}} = \sqrt{\frac{2}{2}} = \sqrt{1} = 1$$

Так как $b = -8$, $\frac{-8}{|-8|} = -1$, получаем:

$$\sqrt{15 — 8i} = \pm \left( 4 — i \right) = \pm (4 — i)$$

Ответ: $\pm (4 — i)$

в) $\sqrt{24 — 7i}$

Шаг 1: Найдем модуль числа $24 — 7i$:

$$r = \sqrt{24^2 + (-7)^2} = \sqrt{576 + 49} = \sqrt{625} = 25$$

Шаг 2: Подставим значения $a = 24$, $b = -7$, и $r = 25$ в формулу для извлечения квадратного корня:

$$\sqrt{24 — 7i} = \pm \left( \sqrt{\frac{25 + 24}{2}} + i \cdot \frac{-7}{|-7|} \cdot \sqrt{\frac{25 — 24}{2}} \right)$$

Шаг 3: Упростим выражения внутри корней.

Для первой части (действительная часть):

$$\sqrt{\frac{25 + 24}{2}} = \sqrt{\frac{49}{2}} = \frac{7}{\sqrt{2}}$$

Для второй части (мнимая часть):

$$\sqrt{\frac{25 — 24}{2}} = \sqrt{\frac{1}{2}} = \frac{1}{\sqrt{2}}$$

Так как $b = -7$, $\frac{-7}{|-7|} = -1$, получаем:

$$\sqrt{24 — 7i} = \pm \frac{7 — i}{\sqrt{2}}$$

Ответ: $\pm \frac{7 — i}{\sqrt{2}}$

г) $\sqrt{40 + 9i}$

Шаг 1: Найдем модуль числа $40 + 9i$:

$$r = \sqrt{40^2 + 9^2} = \sqrt{1600 + 81} = \sqrt{1681} = 41$$

Шаг 2: Подставим значения $a = 40$, $b = 9$, и $r = 41$ в формулу для извлечения квадратного корня:

$$\sqrt{40 + 9i} = \pm \left( \sqrt{\frac{41 + 40}{2}} + i \cdot \frac{9}{|9|} \cdot \sqrt{\frac{41 — 40}{2}} \right)$$

Шаг 3: Упростим выражения внутри корней.

Для первой части (действительная часть):

$$\sqrt{\frac{41 + 40}{2}} = \sqrt{\frac{81}{2}} = \frac{9}{\sqrt{2}}$$

Для второй части (мнимая часть):

$$\sqrt{\frac{41 — 40}{2}} = \sqrt{\frac{1}{2}} = \frac{1}{\sqrt{2}}$$

Так как $b = 9$, $\frac{9}{|9|} = 1$, получаем:

$$\sqrt{40 + 9i} = \pm \frac{9 + i}{\sqrt{2}}$$

Ответ: $\pm \frac{9 + i}{\sqrt{2}}$

Итоговые ответы:

а) $\pm (4 + i)$

б) $\pm (4 — i)$

в) $\pm \frac{7 — i}{\sqrt{2}}$

г) $\pm \frac{9 + i}{\sqrt{2}}$