ГДЗ по Алгебре 10 Класс Номер 35.17 Профильный Уровень Мордкович — Подробные Ответы

Составьте квадратное уравнение, корнями которого являются числа:

a) 1 + i и 2 — i;

б) 2 + i и 3 — 2i;

в) 1 + 2i и 7 — 2i;

г) 5 + 4i и 4 — 5i.

Составить квадратное уравнение, корнями которого являются числа:

а) $1 + i$ и $2 — i$;

$$(x — (1 + i))(x — (2 — i)) = 0;$$ $$x^2 — x(2 — i) — x(1 + i) + (2 — i)(1 + i) = 0;$$ $$x^2 — 2x + xi — x — xi + 2 + 2i — i — i^2 = 0;$$ $$x^2 — 3x + 2 + i + 1 = 0;$$ $$x^2 — 3x + (3 + i) = 0;$$

б) $2 + i$ и $3 — 2i$;

$$(x — (2 + i))(x — (3 — 2i)) = 0;$$ $$x^2 — x(3 — 2i) — x(2 + i) + (2 + i)(3 — 2i) = 0;$$ $$x^2 — 3x + 2xi — 2x — xi + 6 — 4i + 3i — 2i^2 = 0;$$ $$x^2 — 5x + xi + 6 — i + 2 = 0;$$ $$x^2 + (i — 5)x + (8 — i) = 0;$$

в) $1 + 2i$ и $7 — 2i$;

$$(x — (1 + 2i))(x — (7 — 2i)) = 0;$$ $$x^2 — x(7 — 2i) — x(1 + 2i) + (1 + 2i)(7 — 2i) = 0;$$ $$x^2 — 7x + 2xi — x — 2xi + 7 — 2i + 14i — 4i^2 = 0;$$ $$x^2 — 8x + 7 + 12i + 4 = 0;$$ $$x^2 — 8x + (11 + 12i) = 0;$$

г) $5 + 4i$ и $4 — 5i$;

$$(x — (5 + 4i))(x — (4 — 5i)) = 0;$$ $$x^2 — x(4 — 5i) — x(5 + 4i) + (5 + 4i)(4 — 5i) = 0;$$ $$x^2 — 4x + 5xi — 5x — 4xi + 20 — 25i + 16i — 20i^2 = 0;$$ $$x^2 — 9x + xi + 20 — 9i + 20 = 0;$$ $$x^2 + (i — 9)x + (40 — 9i) = 0;$$

Составить квадратное уравнение, корнями которого являются данные числа.

а) Корни: $1 + i$ и $2 — i$

Запишем квадратное уравнение с корнями $1 + i$ и $2 — i$. Общее решение для квадратного уравнения с корнями $p$ и $q$ имеет вид:

$$(x — p)(x — q) = 0$$

Подставляем корни $p = 1 + i$ и $q = 2 — i$:

$$(x — (1 + i))(x — (2 — i)) = 0$$

Раскроем скобки:

$$(x — (1 + i))(x — (2 — i)) = x^2 — x(2 — i) — x(1 + i) + (2 — i)(1 + i)$$

Начнем с раскрытия каждого из выражений:

• $-x(2 — i) = -2x + xi$
• $-x(1 + i) = -x — xi$

Подставляем:

$$x^2 — 2x + xi — x — xi + (2 — i)(1 + i)$$

Теперь вычислим произведение $(2 — i)(1 + i)$. Используем формулу произведения комплексных чисел:

$$(2 — i)(1 + i) = 2(1 + i) — i(1 + i) = 2 + 2i — i — i^2$$

Помним, что $i^2 = -1$, тогда:

$$2 + 2i — i + 1 = 3 + i$$

Теперь подставляем это в уравнение:

$$x^2 — 2x + xi — x — xi + 3 + i = 0$$

Упростим выражение:

$$x^2 — 3x + 3 + i = 0$$

Итак, квадратное уравнение с корнями $1 + i$ и $2 — i$:

$$x^2 — 3x + (3 + i) = 0$$

б) Корни: $2 + i$ и $3 — 2i$

Запишем квадратное уравнение с корнями $2 + i$ и $3 — 2i$:

$$(x — (2 + i))(x — (3 — 2i)) = 0$$

Раскроем скобки:

$$x^2 — x(3 — 2i) — x(2 + i) + (2 + i)(3 — 2i)$$

Начнем с раскрытия каждого из выражений:

• $-x(3 — 2i) = -3x + 2xi$
• $-x(2 + i) = -2x — xi$

Подставляем:

$$x^2 — 3x + 2xi — 2x — xi + (2 + i)(3 — 2i)$$

Теперь вычислим произведение $(2 + i)(3 — 2i)$. Используем формулу произведения комплексных чисел:

$$(2 + i)(3 — 2i) = 2(3 — 2i) + i(3 — 2i) = 6 — 4i + 3i — 2i^2$$

Помним, что $i^2 = -1$, тогда:

$$6 — 4i + 3i + 2 = 8 — i$$

Теперь подставляем это в уравнение:

$$x^2 — 3x + 2xi — 2x — xi + 8 — i = 0$$

Упростим выражение:

$$x^2 — 5x + xi + 8 — i = 0$$

Перепишем уравнение в окончательном виде:

$$x^2 + (i — 5)x + (8 — i) = 0$$

в) Корни: $1 + 2i$ и $7 — 2i$

Запишем квадратное уравнение с корнями $1 + 2i$ и $7 — 2i$:

$$(x — (1 + 2i))(x — (7 — 2i)) = 0$$

Раскроем скобки:

$$x^2 — x(7 — 2i) — x(1 + 2i) + (1 + 2i)(7 — 2i)$$

Начнем с раскрытия каждого из выражений:

• $-x(7 — 2i) = -7x + 2xi$
• $-x(1 + 2i) = -x — 2xi$

Подставляем:

$$x^2 — 7x + 2xi — x — 2xi + (1 + 2i)(7 — 2i)$$

Теперь вычислим произведение $(1 + 2i)(7 — 2i)$. Используем формулу произведения комплексных чисел:

$$(1 + 2i)(7 — 2i) = 1(7 — 2i) + 2i(7 — 2i) = 7 — 2i + 14i — 4i^2$$

Помним, что $i^2 = -1$, тогда:

$$7 — 2i + 14i + 4 = 11 + 12i$$

Теперь подставляем это в уравнение:

$$x^2 — 7x + 2xi — x — 2xi + 11 + 12i = 0$$

Упростим выражение:

$$x^2 — 8x + 11 + 12i = 0$$

Перепишем уравнение в окончательном виде:

$$x^2 — 8x + (11 + 12i) = 0$$

г) Корни: $5 + 4i$ и $4 — 5i$

Запишем квадратное уравнение с корнями $5 + 4i$ и $4 — 5i$:

$$(x — (5 + 4i))(x — (4 — 5i)) = 0$$

Раскроем скобки:

$$x^2 — x(4 — 5i) — x(5 + 4i) + (5 + 4i)(4 — 5i)$$

Начнем с раскрытия каждого из выражений:

• $-x(4 — 5i) = -4x + 5xi$
• $-x(5 + 4i) = -5x — 4xi$

Подставляем:

$$x^2 — 4x + 5xi — 5x — 4xi + (5 + 4i)(4 — 5i)$$

Теперь вычислим произведение $(5 + 4i)(4 — 5i)$. Используем формулу произведения комплексных чисел:

$$(5 + 4i)(4 — 5i) = 5(4 — 5i) + 4i(4 — 5i) = 20 — 25i + 16i — 20i^2$$

Помним, что $i^2 = -1$, тогда:

$$20 — 25i + 16i + 20 = 40 — 9i$$

Теперь подставляем это в уравнение:

$$x^2 — 4x + 5xi — 5x — 4xi + 40 — 9i = 0$$

Упростим выражение:

$$x^2 — 9x + xi + 40 — 9i = 0$$

Перепишем уравнение в окончательном виде:

$$x^2 + (i — 9)x + (40 — 9i) = 0$$

Ответы:

а) $x^2 — 3x + (3 + i) = 0$

б) $x^2 + (i — 5)x + (8 — i) = 0$

в) $x^2 — 8x + (11 + 12i) = 0$

г) $x^2 + (i — 9)x + (40 — 9i) = 0$