ГДЗ по Алгебре 10 Класс Номер 35.18 Профильный Уровень Мордкович — Подробные Ответы

Решите уравнение:

a) z² — 2iz = 0;

б) z² + 4iz = 0;

в) z² — 3z + 3 + i = 0;

г) z² — 8z + 11 + 12i = 0.

а) $z^2 — 2iz = 0$;
$z(z — 2i) = 0$;
$z_1 = 0$ и $z_2 = 2i$;
Ответ: $0; 2i$.

б) $z^2 + 4iz = 0$;
$z(z + 4i) = 0$;
$z_1 = 0$ и $z_2 = -4i$;
Ответ: $0; -4i$.

в) $z^2 — 3z + 3 + i = 0$;
$D = 3^2 — 4(3 + i) = 9 — 12 — 4i = -3 — 4i$;
$D = -4 — 4i + 1 = 4i^2 — 4i + 1 = (2i — 1)^2$, тогда:
$z_1 = \frac{3 — (2i — 1)}{2} = \frac{4 — 2i}{2} = 2 — i$;
$z_2 = \frac{3 + (2i — 1)}{2} = \frac{2 + 2i}{2} = 1 + i$;
Ответ: $2 — i; 1 + i$.

г) $z^2 — 8z + 11 + 12i = 0$;
$D = 8^2 — 4(11 + 12i) = 64 — 44 — 48i = 20 — 48i$;
$D = 36 — 48i — 16 = 36 — 48i + 16i^2 = (6 — 4i)^2$, тогда:
$z_1 = \frac{8 — (6 — 4i)}{2} = \frac{2 + 4i}{2} = 1 + 2i$;
$z_2 = \frac{8 + (6 — 4i)}{2} = \frac{14 — 4i}{2} = 7 — 2i$;
Ответ: $1 + 2i; 7 — 2i$.

а) $z^2 — 2iz = 0$

Раскроем уравнение:

$$z^2 — 2iz = 0$$

Это квадратное уравнение. Мы можем выделить общий множитель $z$ слева:

$$z(z — 2i) = 0$$

У нас произведение двух множителей равно нулю, следовательно, хотя бы один из множителей должен быть равен нулю. Рассмотрим два случая:

• Первый случай: $z = 0$.
• Второй случай: $z — 2i = 0$, тогда $z = 2i$.

Ответ:

$$z_1 = 0 \quad \text{и} \quad z_2 = 2i$$

Ответ: $0; 2i$.

б) $z^2 + 4iz = 0$

Раскроем уравнение:

$$z^2 + 4iz = 0$$

Выделим общий множитель $z$:

$$z(z + 4i) = 0$$

У нас снова произведение равно нулю. Рассмотрим два случая:

• Первый случай: $z = 0$.
• Второй случай: $z + 4i = 0$, тогда $z = -4i$.

Ответ:

$$z_1 = 0 \quad \text{и} \quad z_2 = -4i$$

Ответ: $0; -4i$.

в) $z^2 — 3z + 3 + i = 0$

Уравнение имеет вид:

$$z^2 — 3z + 3 + i = 0$$

Перепишем его, выделив все элементы в одну сторону:

$$z^2 — 3z + (3 + i) = 0$$

Это квадратное уравнение с комплексными коэффициентами.

Для нахождения корней используем формулу для решения квадратного уравнения:

$$z = \frac{-b \pm \sqrt{D}}{2a}$$

где $D$ — дискриминант, а $a = 1$, $b = -3$, $c = 3 + i$.

Вычислим дискриминант:

$$D = (-3)^2 — 4(1)(3 + i)$$ $$D = 9 — 4(3 + i)$$ $$D = 9 — 12 — 4i$$ $$D = -3 — 4i$$

Теперь вычислим корни с использованием дискриминанта. Мы видим, что $D$ — это комплексное число. Чтобы вычислить корни, представим $D$ как квадрат некоторого комплексного числа:

$$D = -3 — 4i = (2i — 1)^2$$

Тогда квадратный корень из $D$ — это $2i — 1$.

Подставим это значение в формулу для корней:

$$z_1 = \frac{3 — (2i — 1)}{2} = \frac{3 — 2i + 1}{2} = \frac{4 — 2i}{2} = 2 — i$$ $$z_2 = \frac{3 + (2i — 1)}{2} = \frac{3 + 2i — 1}{2} = \frac{2 + 2i}{2} = 1 + i$$

Ответ:

$$z_1 = 2 — i \quad \text{и} \quad z_2 = 1 + i$$

Ответ: $2 — i; 1 + i$.

г) $z^2 — 8z + 11 + 12i = 0$

Уравнение имеет вид:

$$z^2 — 8z + 11 + 12i = 0$$

Перепишем его так:

$$z^2 — 8z + (11 + 12i) = 0$$

Это квадратное уравнение с комплексными коэффициентами.

Для нахождения корней используем формулу для квадратного уравнения:

$$z = \frac{-b \pm \sqrt{D}}{2a}$$

где $D$ — дискриминант, а $a = 1$, $b = -8$, $c = 11 + 12i$.

Вычислим дискриминант:

$$D = (-8)^2 — 4(1)(11 + 12i)$$ $$D = 64 — 4(11 + 12i)$$ $$D = 64 — 44 — 48i$$ $$D = 20 — 48i$$

Теперь попробуем представить дискриминант как квадрат некоторого комплексного числа:

$$D = 20 — 48i = (6 — 4i)^2$$

Таким образом, $\sqrt{D} = 6 — 4i$.

Подставим это значение в формулу для корней:

$$z_1 = \frac{8 — (6 — 4i)}{2} = \frac{8 — 6 + 4i}{2} = \frac{2 + 4i}{2} = 1 + 2i$$ $$z_2 = \frac{8 + (6 — 4i)}{2} = \frac{8 + 6 — 4i}{2} = \frac{14 — 4i}{2} = 7 — 2i$$

Ответ:

$$z_1 = 1 + 2i \quad \text{и} \quad z_2 = 7 — 2i$$

Ответ: $1 + 2i; 7 — 2i$.