ГДЗ по Алгебре 10 Класс Номер 35.2 Профильный Уровень Мордкович — Подробные Ответы

Найдите все действительные значения параметра а, при которых уравнение х² + ах + 9 = 0:

a) имеет хотя бы один действительный корень;

б) не имеет действительных корней;

в) имеет хотя бы один отрицательный корень;

г) имеет два действительных корня, больших, чем 1.

Дано уравнение:
$x^2 + ax + 9 = 0;$
$D = a^2 — 4 \cdot 9 = a^2 — 36;$

а) Уравнение имеет хотя бы один действительный корень:
$a^2 — 36 \geq 0;$
$(a + 6)(a — 6) \geq 0;$
$a \leq -6 \text{ и } a \geq 6;$
Ответ: $|a| \geq 6$.

б) Уравнение не имеет действительных корней:
$a^2 — 36 < 0;$
$(a + 6)(a — 6) < 0;$
$-6 < a < 6;$
Ответ: $-6 < a < 6$.

в) Уравнение имеет хотя бы один отрицательный корень:
$-a — \sqrt{a^2 — 36} < 0;$
$-a < \sqrt{a^2 — 36};$
$a^2 < a^2 — 36;$
$0 < -36;$
$a \in \varnothing;$

Выражение имеет смысл при:
$a^2 — 36 \geq 0;$
$(a + 6)(a — 6) \geq 0;$
$a \leq -6 \text{ и } a \geq 6;$

Неравенство всегда верно при:
$-a < 0;$
$a > 0;$
Ответ: $a \geq 6$.

г) Уравнение имеет два действительных корня, больших чем 1:
$-a — \sqrt{a^2 — 36} > 2;$
$-a — 2 > \sqrt{a^2 — 36};$
$a^2 + 4a + 4 > a^2 — 36;$
$4a > -40;$
$a > -10;$

Выражение имеет смысл при:
$a^2 — 36 > 0;$
$(a + 6)(a — 6) > 0;$
$a < -6 \text{ и } a > 6;$

Неравенство имеет решения при:
$-2 — a > 0;$
$a < -2;$
Ответ: $-10 < a < -6$.

Дано уравнение:

$$x^2 + ax + 9 = 0$$

Для этого уравнения вычислим дискриминант $D$:

$$D = a^2 — 4 \cdot 1 \cdot 9 = a^2 — 36$$

Теперь будем рассматривать различные случаи, связанные с этим дискриминантом.

а) Уравнение имеет хотя бы один действительный корень

Уравнение будет иметь хотя бы один действительный корень, если дискриминант $D \geq 0$. То есть:

$$a^2 — 36 \geq 0$$

Решим это неравенство:

$$a^2 \geq 36$$

Возьмем корень из обеих сторон:

$$|a| \geq 6$$

Это неравенство можно представить как систему двух условий:

$$a \leq -6 \quad \text{или} \quad a \geq 6$$

Ответ:

$$|a| \geq 6$$

б) Уравнение не имеет действительных корней

Уравнение не будет иметь действительных корней, если дискриминант $D < 0$. То есть:

$$a^2 — 36 < 0$$

Решим это неравенство:

$$a^2 < 36$$

Теперь возьмем корень из обеих сторон:

$$|a| < 6$$

Это означает, что:

$$-6 < a < 6$$

Ответ:

$$-6 < a < 6$$

в) Уравнение имеет хотя бы один отрицательный корень

Для того чтобы уравнение имело хотя бы один отрицательный корень, необходимо, чтобы хотя бы один из корней был меньше нуля.

Для этого рассмотрим выражение для корней квадратичного уравнения. Корни уравнения $x^2 + ax + 9 = 0$ по формуле для корней квадратного уравнения:

$$x_1, x_2 = \frac{-a \pm \sqrt{a^2 — 36}}{2}$$

Нам нужно, чтобы хотя бы один корень был отрицательным. Рассмотрим один из корней:

$$x_1 = \frac{-a — \sqrt{a^2 — 36}}{2}$$

Требуем, чтобы $x_1 < 0$:

$$\frac{-a — \sqrt{a^2 — 36}}{2} < 0$$

Умножим обе части неравенства на 2 (при этом знак неравенства не меняется, так как 2 — положительное число):

$$-a — \sqrt{a^2 — 36} < 0$$

Теперь перенесем $\sqrt{a^2 — 36}$ в правую часть:

$$-a < \sqrt{a^2 — 36}$$

Возведем обе части неравенства в квадрат (так как обе части положительные, знак неравенства останется):

$$a^2 < a^2 — 36$$

Это неравенство приводит нас к противоречию, так как $a^2$ не может быть меньше $a^2 — 36$. Следовательно, данное неравенство не имеет решений, и у уравнения нет отрицательных корней.

Ответ:

$$a \in \varnothing$$

1) Выражение имеет смысл при $a^2 — 36 \geq 0$

Для того чтобы выражение для корней было определено, подкоренное выражение $\sqrt{a^2 — 36}$ должно быть неотрицательным. Это означает, что $a^2 — 36 \geq 0$, что уже рассмотрено выше.

Решим:

$$a^2 — 36 \geq 0$$

Получаем:

$$|a| \geq 6$$

То есть:

$$a \leq -6 \quad \text{или} \quad a \geq 6$$

2) Неравенство всегда верно при $-a < 0$

Рассмотрим неравенство:

$$-a < 0$$

Умножим обе части на $-1$ (при этом знак неравенства изменится):

$$a > 0$$

Таким образом, неравенство всегда верно при $a > 0$.

Ответ:

$$a \geq 6$$

г) Уравнение имеет два действительных корня, больших чем 1

Чтобы у уравнения было два корня, которые оба больше 1, необходимо, чтобы оба корня были положительными и больше 1. Для этого рассмотрим выражение для корней уравнения:

$$x_1, x_2 = \frac{-a \pm \sqrt{a^2 — 36}}{2}$$

Нам нужно, чтобы оба корня были больше 1. Начнем с первого корня:

$$x_1 = \frac{-a — \sqrt{a^2 — 36}}{2}$$

Нам нужно, чтобы $x_1 > 1$:

$$\frac{-a — \sqrt{a^2 — 36}}{2} > 1$$

Умножим обе части на 2:

$$-a — \sqrt{a^2 — 36} > 2$$

Переносим все в одну сторону:

$$-a — 2 > \sqrt{a^2 — 36}$$

Возведем обе части в квадрат:

$$(-a — 2)^2 > a^2 — 36$$

Раскроем скобки:

$$a^2 + 4a + 4 > a^2 — 36$$

Упростим:

$$4a + 4 > -36$$

Теперь решим неравенство:

$$4a > -40$$ $$a > -10$$

Это условие означает, что корни будут больше 1 при $a > -10$, но для того, чтобы выражение имело смысл, нужно, чтобы $a^2 — 36 > 0$, то есть $a > 6$ или $a < -6$.

Теперь ищем пересечение этих условий. Условие $a > -10$ пересекается с $a > 6$ (положительная часть), что дает:

$$a > 6$$

Ответ:

$$-10 < a < -6$$$-10 < a < -6$