ГДЗ по Алгебре 10 Класс Номер 35.4 Профильный Уровень Мордкович — Подробные Ответы

Решите уравнение:

а) $z^2 + 144 = 0$;

б) $\frac{5z^2 — 29}{z + 3\sqrt{5}} = z — \sqrt{45}$;

в) $z^2 + 441 = 0$;

г) $\frac{3z^2 + 2004}{z — \sqrt{44}} = z + 2\sqrt{11}$

а) $z^2 + 144 = 0$;
$z^2 = -144$;
$z = \sqrt{-144} = \pm \sqrt{144} \cdot i = \pm 12i$;
Ответ: $\pm 12i$.

б) $\frac{5z^2 — 29}{z + 3\sqrt{5}} = z — \sqrt{45}$;
$5z^2 — 29 = (z — \sqrt{45})(z + \sqrt{45})$;
$5z^2 — 29 = z^2 — 45$;
$4z^2 = -16$;
$z^2 = -4$;
$z = \pm \sqrt{4} \cdot i = \pm 2i$;
Ответ: $\pm 2i$.

в) $z^2 + 441 = 0$;
$z^2 = -441$;
$z = \pm \sqrt{441} \cdot i = \pm 21i$;
Ответ: $\pm 21i$.

г) $\frac{3z^2 + 2004}{z — \sqrt{44}} = z + 2\sqrt{11}$;
$3z^2 + 2004 = (z + \sqrt{44})(z — \sqrt{44})$;
$3z^2 + 2004 = z^2 — 44$;
$2z^2 = -2048$;
$z^2 = -1024$;
$z = \pm \sqrt{1024} \cdot i = \pm 32i$;
Ответ: $\pm 32i$.

а) $z^2 + 144 = 0$

Исходное уравнение:

$$z^2 + 144 = 0$$

Переносим 144 на правую часть уравнения:

$$z^2 = -144$$

Чтобы найти $z$, нам нужно извлечь квадратный корень из обеих частей уравнения:

$$z = \pm \sqrt{-144}$$

Мы знаем, что $\sqrt{-144} = \sqrt{144} \cdot i$, где $i$ — мнимая единица, $i = \sqrt{-1}$. Извлекаем квадратный корень из 144:

$$\sqrt{144} = 12$$

Таким образом, получаем:

$$z = \pm 12i$$

Ответ: $z = \pm 12i$.

б) $\frac{5z^2 — 29}{z + 3\sqrt{5}} = z — \sqrt{45}$

Исходное уравнение:

$$\frac{5z^2 — 29}{z + 3\sqrt{5}} = z — \sqrt{45}$$

Умножаем обе части уравнения на $z + 3\sqrt{5}$, чтобы избавиться от дроби:

$$5z^2 — 29 = (z — \sqrt{45})(z + 3\sqrt{5})$$

Раскроем правую часть уравнения с использованием формулы сокращенного умножения $(a — b)(a + b) = a^2 — b^2$:

$$(z — \sqrt{45})(z + 3\sqrt{5}) = z^2 — (\sqrt{45})^2$$ $$z^2 — 45$$

Подставляем это в уравнение:

$$5z^2 — 29 = z^2 — 45$$

Переносим все выражения, содержащие $z^2$, на одну сторону:

$$5z^2 — z^2 = -45 + 29$$ $$4z^2 = -16$$

Делим обе части уравнения на 4:

$$z^2 = -4$$

Извлекаем квадратный корень из обеих сторон:

$$z = \pm \sqrt{-4}$$

Мы знаем, что $\sqrt{-4} = \sqrt{4} \cdot i = 2i$. Таким образом, получаем:

$$z = \pm 2i$$

Ответ: $z = \pm 2i$.

в) $z^2 + 441 = 0$

Исходное уравнение:

$$z^2 + 441 = 0$$

Переносим 441 на правую сторону:

$$z^2 = -441$$

Извлекаем квадратный корень из обеих сторон:

$$z = \pm \sqrt{-441}$$

Мы знаем, что $\sqrt{-441} = \sqrt{441} \cdot i$, где $i = \sqrt{-1}$, и $\sqrt{441} = 21$:

$$z = \pm 21i$$

Ответ: $z = \pm 21i$.

г) $\frac{3z^2 + 2004}{z — \sqrt{44}} = z + 2\sqrt{11}$

Исходное уравнение:

$$\frac{3z^2 + 2004}{z — \sqrt{44}} = z + 2\sqrt{11}$$

Умножаем обе части уравнения на $z — \sqrt{44}$, чтобы избавиться от дроби:

$$3z^2 + 2004 = (z + 2\sqrt{11})(z — \sqrt{44})$$

Раскроем правую часть уравнения, используя формулу сокращенного умножения $(a + b)(a — b) = a^2 — b^2$:

$$(z + 2\sqrt{11})(z — \sqrt{44}) = z^2 — (2\sqrt{11})^2$$

Сначала вычислим $(2\sqrt{11})^2$:

$$(2\sqrt{11})^2 = 4 \times 11 = 44$$

Подставляем в уравнение:

$$3z^2 + 2004 = z^2 — 44$$

Переносим все выражения, содержащие $z^2$, на одну сторону:

$$3z^2 — z^2 = -44 — 2004$$ $$2z^2 = -2048$$

Делим обе части уравнения на 2:

$$z^2 = -1024$$

Извлекаем квадратный корень из обеих сторон:

$$z = \pm \sqrt{-1024}$$

Мы знаем, что $\sqrt{-1024} = \sqrt{1024} \cdot i$, и $\sqrt{1024} = 32$:

$$z = \pm 32i$$

Ответ: $z = \pm 32i$.