ГДЗ по Алгебре 10 Класс Номер 35.6 Профильный Уровень Мордкович — Подробные Ответы

Составьте квадратное уравнение, корнями которого являются числа:

а) $2i$ и $\frac{2}{i}$;

б) $1 + 3i$ и $\frac{10}{1 + 3i}$;

в) $-2^{-3}i$ и $\frac{i}{8}$;

г) $(2^9 + 2^7 + 2^3)i$ и $(3^4 — 3^6)i$

Составить квадратное уравнение, корнями которого являются числа:

1. $b^2 — 4ac = D$;
2. $4ac = b^2 — D$;
3. $c = \frac{b^2 — D}{4a}$;

а) $2i$ и $\frac{2}{i}$;

$$x_2 = \frac{2}{i} = \frac{2i}{i^2} = -2i;$$ $$x = \pm 2i = \frac{0 \pm 4i}{2} = \frac{0 \pm \sqrt{-16}}{2};$$ $$a = 1 \quad \text{и} \quad b = 0;$$ $$c = \frac{0^2 + 16}{4 \cdot 1} = \frac{16}{4} = 4;$$

Ответ: $x^2 + 4 = 0$.

б) $1 + 3i$ и $\frac{10}{1 + 3i}$;

$$x_2 = \frac{10}{1 + 3i} = \frac{10(1 — 3i)}{(1 + 3i)(1 — 3i)} = \frac{10 — 30i}{1 — 9i^2} = 1 — 3i;$$ $$x = 1 + 3i = \frac{2 \pm 6i}{2} = \frac{2 \pm \sqrt{-36}}{2};$$ $$a = 1 \quad \text{и} \quad b = -2;$$ $$c = \frac{2^2 + 36}{4 \cdot 1} = \frac{4 + 36}{4} = \frac{40}{4} = 10;$$

Ответ: $x^2 — 2x + 10 = 0$.

в) $-2^{-3}i$ и $\frac{i}{8}$;

$$x_1 = -2^{-3}i = -\frac{i}{2^3} = -\frac{i}{8};$$ $$x = \pm \frac{i}{8} = \frac{0 \pm 16i}{128} = \frac{0 \pm \sqrt{-256}}{64 \cdot 2};$$ $$a = 64 \quad \text{и} \quad b = 0;$$ $$c = \frac{0^2 + 256}{4 \cdot 64} = \frac{256}{256} = 1;$$

Ответ: $64x^2 + 1 = 0$.

г) $(2^9 + 2^7 + 2^3)i$ и $(3^4 — 3^6)i$;

$$x_1 = (2^9 + 2^7 + 2^3)i = (512 + 128 + 8)i = 648i;$$ $$x_2 = (3^4 — 3^6)i = (81 — 729)i = -648i;$$ $$x = \pm 648i = \frac{0 \pm 1296i}{2} = \frac{0 \pm \sqrt{-1296^2}}{2};$$ $$a = 1 \quad \text{и} \quad b = 0;$$ $$c = \frac{0^2 + 1296^2}{4 \cdot 1} = \frac{1296^2}{2^2} = 648^2;$$

Ответ: $x^2 + 648^2 = 0$.

Составить квадратное уравнение, корнями которого являются указанные числа. Для этого нужно использовать три основные формулы для квадратного уравнения:

$b^2 — 4ac = D$;

$4ac = b^2 — D$;

$c = \frac{b^2 — D}{4a}$.

Рассмотрим все части задачи.

а) $2i$ и $\frac{2}{i}$

Нахождение второго корня:

Мы знаем, что второй корень $x_2 = \frac{2}{i}$, и его нужно преобразовать в более простую форму.

$$x_2 = \frac{2}{i} = \frac{2i}{i^2} = -2i.$$

Таким образом, второй корень: $x_2 = -2i$.

Запишем корни уравнения:

Корни уравнения: $x_1 = 2i$ и $x_2 = -2i$.

Поскольку уравнение имеет два одинаковых по модулю корня (с противоположными знаками), его можно записать как:

$$x = \pm 2i.$$

Также можно выразить это через формулу для корней:

$$x = \frac{0 \pm 4i}{2} = \frac{0 \pm \sqrt{-16}}{2}.$$

Нахождение коэффициентов:

Из того, что у нас есть два корня уравнения, можем сразу записать уравнение в виде:

$$(x — x_1)(x — x_2) = 0.$$

Раскроем это произведение:

$$(x — 2i)(x + 2i) = 0.$$

Это выражение является разностью квадратов, и мы получаем:

$$x^2 — (2i)^2 = 0 \quad \Rightarrow \quad x^2 — (-4) = 0 \quad \Rightarrow \quad x^2 + 4 = 0.$$

Таким образом, уравнение: $x^2 + 4 = 0$.

Проверка значений $a$, $b$, и $c$:

Мы знаем, что у нас уравнение $x^2 + 4 = 0$, которое можно записать как:

$$x^2 + 0x + 4 = 0.$$

Отсюда:

• $a = 1$,
• $b = 0$,
• $c = 4$.

б) $1 + 3i$ и $\frac{10}{1 + 3i}$

Нахождение второго корня:

Дано, что второй корень $x_2 = \frac{10}{1 + 3i}$.

Для того, чтобы избавиться от комплексных чисел в знаменателе, умножим и числитель, и знаменатель на сопряженное число $1 — 3i$:

$$x_2 = \frac{10}{1 + 3i} \times \frac{1 — 3i}{1 — 3i} = \frac{10(1 — 3i)}{(1 + 3i)(1 — 3i)} = \frac{10 — 30i}{1^2 — (3i)^2}.$$

Так как $i^2 = -1$, то:

$$x_2 = \frac{10 — 30i}{1 — 9(-1)} = \frac{10 — 30i}{1 + 9} = \frac{10 — 30i}{10} = 1 — 3i.$$

Таким образом, второй корень: $x_2 = 1 — 3i$.

Запишем корни уравнения:

Теперь у нас есть корни $x_1 = 1 + 3i$ и $x_2 = 1 — 3i$. Мы можем записать уравнение как:

$$(x — (1 + 3i))(x — (1 — 3i)) = 0.$$

Раскрытие скобок:

Раскроем это произведение, используя формулу разности квадратов:

$$(x — (1 + 3i))(x — (1 — 3i)) = (x — 1 — 3i)(x — 1 + 3i) = (x — 1)^2 — (3i)^2.$$

Так как $(3i)^2 = -9$, то:

$$(x — 1)^2 — (-9) = (x — 1)^2 + 9.$$

Раскроем $(x — 1)^2$:

$$(x — 1)^2 = x^2 — 2x + 1,$$

следовательно:

$$x^2 — 2x + 1 + 9 = 0 \quad \Rightarrow \quad x^2 — 2x + 10 = 0.$$

Таким образом, уравнение: $x^2 — 2x + 10 = 0$.

Проверка значений $a$, $b$, и $c$:

Уравнение: $x^2 — 2x + 10 = 0$, отсюда:

• $a = 1$,
• $b = -2$,
• $c = 10$.

в) $-2^{-3}i$ и $\frac{i}{8}$

Нахождение второго корня:

Дано, что первый корень $x_1 = -2^{-3}i$. Раскроем этот экспоненциальный выражение:

$$x_1 = -2^{-3}i = -\frac{i}{2^3} = -\frac{i}{8}.$$

Второй корень $x_2 = \frac{i}{8}$, так что у нас корни:

$$x_1 = -\frac{i}{8}, \quad x_2 = \frac{i}{8}.$$

Запишем корни уравнения:

Уравнение с такими корнями будет:

$$(x — (-\frac{i}{8}))(x — \frac{i}{8}) = 0.$$

Раскрытие скобок:

Это опять разность квадратов:

$$(x + \frac{i}{8})(x — \frac{i}{8}) = x^2 — \left( \frac{i}{8} \right)^2 = x^2 — \left( \frac{-1}{64} \right).$$

Получаем:

$$x^2 + \frac{1}{64} = 0.$$

Множим обе части уравнения на 64:

$$64x^2 + 1 = 0.$$

Таким образом, уравнение: $64x^2 + 1 = 0$.

Проверка значений $a$, $b$, и $c$:

Уравнение: $64x^2 + 1 = 0$, отсюда:

• $a = 64$,
• $b = 0$,
• $c = 1$.

г) $(2^9 + 2^7 + 2^3)i$ и $(3^4 — 3^6)i$

Нахождение первого корня:

$$x_1 = (2^9 + 2^7 + 2^3)i = (512 + 128 + 8)i = 648i.$$

Нахождение второго корня:

$$x_2 = (3^4 — 3^6)i = (81 — 729)i = -648i.$$

Запишем корни уравнения:

Уравнение будет:

$$(x — 648i)(x + 648i) = 0.$$

Раскрытие скобок:

Это разность квадратов:

$$(x)^2 — (648i)^2 = x^2 — (-648^2) = x^2 + 648^2.$$

Таким образом, уравнение: $x^2 + 648^2 = 0$.

Проверка значений $a$, $b$, и $c$:

Уравнение: $x^2 + 648^2 = 0$, отсюда:

• $a = 1$,
• $b = 0$,
• $c = 648^2$.

Ответы:

$x^2 + 4 = 0$

$x^2 — 2x + 10 = 0$

$64x^2 + 1 = 0$

$x^2 + 648^2 = 0$