ГДЗ по Алгебре 10 Класс Номер 35.8 Профильный Уровень Мордкович — Подробные Ответы

Решите уравнение:

a) z² — z + 2,5 = 0;

б) z² + 3z + 8,5 = 0;

в) z² — 5z + 6,5 = 0;

г) z² + 11z + 36,5 = 0.

а) $z^2 — z + 2,5 = 0$;
$2z^2 — 2z + 5 = 0$;
$D = 2^2 — 4 \cdot 2 \cdot 5 = 4 — 40 = -36$, тогда:
$z = \frac{2 \pm \sqrt{-36}}{2 \cdot 2} = \frac{2 \pm 6\sqrt{-1}}{4} = \frac{2 \pm 6i}{4} = 0,5 \pm 1,5i$;
Ответ: $0,5 \pm 1,5i$.

б) $z^2 + 3z + 8,5 = 0$;
$2z^2 + 6z + 17 = 0$;
$D = 6^2 — 4 \cdot 2 \cdot 17 = 36 — 136 = -100$, тогда:
$z = \frac{-6 \pm \sqrt{-100}}{2 \cdot 2} = \frac{-6 \pm 10\sqrt{-1}}{4} = \frac{-6 \pm 10i}{4} = -1,5 \pm 2,5i$;
Ответ: $-1,5 \pm 2,5i$.

в) $z^2 — 5z + 6,5 = 0$;
$2z^2 — 10z + 13 = 0$;
$D = 10^2 — 4 \cdot 2 \cdot 13 = 100 — 104 = -4$, тогда:
$z = \frac{10 \pm \sqrt{-4}}{2 \cdot 2} = \frac{10 \pm 2\sqrt{-1}}{4} = \frac{10 \pm 2i}{4} = 2,5 \pm 0,5i$;
Ответ: $2,5 \pm 0,5i$.

г) $z^2 + 11z + 36,5 = 0$;
$2z^2 + 22z + 73 = 0$;
$D = 22^2 — 4 \cdot 2 \cdot 73 = 484 — 584 = -100$, тогда:
$z = \frac{-22 \pm \sqrt{-100}}{2 \cdot 2} = \frac{-22 \pm 10\sqrt{-1}}{4} = \frac{-22 \pm 10i}{4} = -5,5 \pm 2,5i$;
Ответ: $-5,5 \pm 2,5i$.

а) $z^2 — z + 2,5 = 0$

Запишем уравнение в стандартной форме:
$z^2 — z + 2,5 = 0$
Это стандартное квадратное уравнение вида $az^2 + bz + c = 0$, где:

• $a = 1$
• $b = -1$
• $c = 2,5$

Вычислим дискриминант (D):
Дискриминант для квадратного уравнения рассчитывается по формуле:

$$D = b^2 — 4ac$$

Подставляем значения $a$, $b$ и $c$:

$$D = (-1)^2 — 4 \cdot 1 \cdot 2,5 = 1 — 10 = -9$$

Таким образом, дискриминант $D = -9$.

Определим корни уравнения:
Для уравнений с отрицательным дискриминантом корни будут комплексными. Формула для нахождения корней выглядит следующим образом:

$$z = \frac{-b \pm \sqrt{D}}{2a}$$

Подставляем значения:

$$z = \frac{-(-1) \pm \sqrt{-9}}{2 \cdot 1} = \frac{1 \pm \sqrt{-9}}{2}$$

Так как дискриминант отрицателен, извлекаем квадратный корень из отрицательного числа:

$$\sqrt{-9} = 3i$$

Теперь подставляем это в выражение для корней:

$$z = \frac{1 \pm 3i}{2}$$

Разделим на 2:

$$z = \frac{1}{2} \pm \frac{3}{2}i$$

Итак, корни:

$$z = 0,5 \pm 1,5i$$

Ответ:

$$z = 0,5 \pm 1,5i$$

б) $z^2 + 3z + 8,5 = 0$

Запишем уравнение в стандартной форме:
$z^2 + 3z + 8,5 = 0$
Здесь:

• $a = 1$
• $b = 3$
• $c = 8,5$

Вычислим дискриминант (D):

$$D = b^2 — 4ac = 3^2 — 4 \cdot 1 \cdot 8,5 = 9 — 34 = -25$$

Дискриминант $D = -25$.

Определим корни уравнения:

$$z = \frac{-b \pm \sqrt{D}}{2a}$$

Подставляем значения:

$$z = \frac{-3 \pm \sqrt{-25}}{2 \cdot 1} = \frac{-3 \pm \sqrt{-25}}{2}$$

Так как дискриминант отрицателен, извлекаем корень из $-25$:

$$\sqrt{-25} = 5i$$

Подставляем в формулу:

$$z = \frac{-3 \pm 5i}{2}$$

Разделим на 2:

$$z = -\frac{3}{2} \pm \frac{5}{2}i$$

Корни уравнения:

$$z = -1,5 \pm 2,5i$$

Ответ:

$$z = -1,5 \pm 2,5i$$

в) $z^2 — 5z + 6,5 = 0$

Запишем уравнение в стандартной форме:
$z^2 — 5z + 6,5 = 0$
Здесь:

• $a = 1$
• $b = -5$
• $c = 6,5$

Вычислим дискриминант (D):

$$D = b^2 — 4ac = (-5)^2 — 4 \cdot 1 \cdot 6,5 = 25 — 26 = -1$$

Дискриминант $D = -1$.

Определим корни уравнения:

$$z = \frac{-b \pm \sqrt{D}}{2a}$$

Подставляем значения:

$$z = \frac{-(-5) \pm \sqrt{-1}}{2 \cdot 1} = \frac{5 \pm \sqrt{-1}}{2}$$

Так как дискриминант отрицателен, извлекаем корень из $-1$:

$$\sqrt{-1} = i$$

Подставляем это в выражение для корней:

$$z = \frac{5 \pm i}{2}$$

Разделим на 2:

$$z = \frac{5}{2} \pm \frac{1}{2}i$$

Корни уравнения:

$$z = 2,5 \pm 0,5i$$

Ответ:

$$z = 2,5 \pm 0,5i$$

г) $z^2 + 11z + 36,5 = 0$

Запишем уравнение в стандартной форме:
$z^2 + 11z + 36,5 = 0$
Здесь:

• $a = 1$
• $b = 11$
• $c = 36,5$

Вычислим дискриминант (D):

$$D = b^2 — 4ac = 11^2 — 4 \cdot 1 \cdot 36,5 = 121 — 146 = -25$$

Дискриминант $D = -25$.

Определим корни уравнения:

$$z = \frac{-b \pm \sqrt{D}}{2a}$$

Подставляем значения:

$$z = \frac{-11 \pm \sqrt{-25}}{2 \cdot 1} = \frac{-11 \pm \sqrt{-25}}{2}$$

Так как дискриминант отрицателен, извлекаем корень из $-25$:

$$\sqrt{-25} = 5i$$

Подставляем это в формулу:

$$z = \frac{-11 \pm 5i}{2}$$

Разделим на 2:

$$z = -\frac{11}{2} \pm \frac{5}{2}i$$

Корни уравнения:

$$z = -5,5 \pm 2,5i$$

Ответ:

$$z = -5,5 \pm 2,5i$$

Итоговые ответы:

• $z = 0,5 \pm 1,5i$
• $z = -1,5 \pm 2,5i$
• $z = 2,5 \pm 0,5i$
• $z = -5,5 \pm 2,5i$