ГДЗ по Алгебре 10 Класс Номер 35.9 Профильный Уровень Мордкович — Подробные Ответы

При каких значениях параметра $a$:

а) уравнение $z^2 — 2z + a = 0$ имеет корень $1 + i$;

б) уравнение $z^2 + 6z + a = 0$ имеет корень $i — 3$;

в) уравнение $z^2 — 8z + (a^2 + 9) = 0$ имеет корень $4 — 3i$;

г) уравнение $z^2 + 10z + (a^2 + 4a + 5) = 0$ имеет корень $-5 + i$?

При каких значениях параметра $a$:

а) Уравнение $z^2 — 2z + a = 0$ имеет корень $1 + i$;

$$(1 + i)^2 — 2(1 + i) + a = 0;$$ $$1 + 2i + i^2 — 2 — 2i + a = 0;$$ $$-1 — 1 + a = 0;$$ $$-2 + a = 0;$$ $$a = 2;$$

Ответ: 2.

б) Уравнение $z^2 + 6z + a = 0$ имеет корень $i — 3$;

$$(i — 3)^2 + 6(i — 3) + a = 0;$$ $$i^2 — 6i + 9 + 6i — 18 + a = 0;$$ $$-1 — 9 + a = 0;$$ $$-10 + a = 0;$$ $$a = 10;$$

Ответ: 10.

в) Уравнение $z^2 — 8z + (a^2 + 9) = 0$ имеет корень $4 — 3i$;

$$(4 — 3i)^2 — 8(4 — 3i) + (a^2 + 9) = 0;$$ $$16 — 24i + 9i^2 — 32 + 24i + a^2 + 9 = 0;$$ $$-7 — 9 + a^2 = 0;$$ $$-16 + a^2 = 0;$$ $$a^2 = 16;$$ $$a = \pm 4;$$

Ответ: $\pm 4$.

г) Уравнение $z^2 + 10z + (a^2 + 4a + 5) = 0$ имеет корень $-5 + i$;

$$(-5 + i)^2 + 10(-5 + i) + (a^2 + 4a + 5) = 0;$$ $$i^2 — 10i + 25 — 50 + 10i + a^2 + 4a + 5 = 0;$$ $$-1 — 20 + a^2 + 4a = 0;$$ $$a^2 + 4a — 21 = 0;$$ $$D = 4^2 + 4 \cdot 21 = 16 + 84 = 100, \text{тогда:}$$ $$a_1 = \frac{-4 — 10}{2} = -7 \quad \text{и} \quad a_2 = \frac{-4 + 10}{2} = 3;$$

Ответ: $-7; 3$.

а) Уравнение $z^2 — 2z + a = 0$ имеет корень $1 + i$

Задание: Найти значение параметра $a$, при котором уравнение $z^2 — 2z + a = 0$ имеет корень $1 + i$.

Решение:

Мы знаем, что корень $z = 1 + i$ является решением данного уравнения. Подставим $z = 1 + i$ в уравнение:

$$(1 + i)^2 — 2(1 + i) + a = 0$$

Раскроем квадрат $(1 + i)^2$:

$$(1 + i)^2 = 1^2 + 2 \cdot 1 \cdot i + i^2 = 1 + 2i + (-1) = 2i$$

Подставим это значение в исходное уравнение:

$$2i — 2(1 + i) + a = 0$$

Раскроем скобки:

$$2i — 2 — 2i + a = 0$$

Сложим подобные элементы (мнимые и действительные части):

$$(2i — 2i) + (-2 + a) = 0$$ $$0 — 2 + a = 0$$

Получаем:

$$a — 2 = 0$$

Следовательно, $a = 2$.

Ответ: $a = 2$.

б) Уравнение $z^2 + 6z + a = 0$ имеет корень $i — 3$

Задание: Найти значение параметра $a$, при котором уравнение $z^2 + 6z + a = 0$ имеет корень $i — 3$.

Решение:

Подставим корень $z = i — 3$ в уравнение $z^2 + 6z + a = 0$:

$$(i — 3)^2 + 6(i — 3) + a = 0$$

Раскроем квадрат $(i — 3)^2$:

$$(i — 3)^2 = i^2 — 2 \cdot 3 \cdot i + (-3)^2 = -1 — 6i + 9 = 8 — 6i$$

Подставим это значение в уравнение:

$$8 — 6i + 6(i — 3) + a = 0$$

Раскроем скобки в выражении $6(i — 3)$:

$$6(i — 3) = 6i — 18$$

Подставим в уравнение:

$$8 — 6i + 6i — 18 + a = 0$$

Сложим подобные элементы (мнимые и действительные части):

$$(8 — 18) + (-6i + 6i) + a = 0$$ $$-10 + 0 + a = 0$$

Получаем:

$$a — 10 = 0$$

Следовательно, $a = 10$.

Ответ: $a = 10$.

в) Уравнение $z^2 — 8z + (a^2 + 9) = 0$ имеет корень $4 — 3i$

Задание: Найти значение параметра $a$, при котором уравнение $z^2 — 8z + (a^2 + 9) = 0$ имеет корень $4 — 3i$.

Решение:

Подставим корень $z = 4 — 3i$ в уравнение $z^2 — 8z + (a^2 + 9) = 0$:

$$(4 — 3i)^2 — 8(4 — 3i) + (a^2 + 9) = 0$$

Раскроем квадрат $(4 — 3i)^2$:

$$(4 — 3i)^2 = 4^2 — 2 \cdot 4 \cdot 3i + (-3i)^2 = 16 — 24i + 9(-1) = 16 — 24i — 9 = 7 — 24i$$

Подставим это значение в уравнение:

$$7 — 24i — 8(4 — 3i) + (a^2 + 9) = 0$$

Раскроем скобки в выражении $-8(4 — 3i)$:

$$-8(4 — 3i) = -32 + 24i$$

Подставим в уравнение:

$$7 — 24i — 32 + 24i + a^2 + 9 = 0$$

Сложим подобные элементы (мнимые и действительные части):

$$(7 — 32 + 9) + (-24i + 24i) + a^2 = 0$$ $$-16 + a^2 = 0$$

Получаем:

$$a^2 = 16$$

Следовательно, $a = \pm 4$.

Ответ: $a = \pm 4$.

г) Уравнение $z^2 + 10z + (a^2 + 4a + 5) = 0$ имеет корень $-5 + i$

Задание: Найти значения параметра $a$, при которых уравнение $z^2 + 10z + (a^2 + 4a + 5) = 0$ имеет корень $-5 + i$.

Решение:

Подставим корень $z = -5 + i$ в уравнение $z^2 + 10z + (a^2 + 4a + 5) = 0$:

$$(-5 + i)^2 + 10(-5 + i) + (a^2 + 4a + 5) = 0$$

Раскроем квадрат $(-5 + i)^2$:

$$(-5 + i)^2 = (-5)^2 + 2 \cdot (-5) \cdot i + i^2 = 25 — 10i — 1 = 24 — 10i$$

Подставим это значение в уравнение:

$$24 — 10i + 10(-5 + i) + (a^2 + 4a + 5) = 0$$

Раскроем скобки в выражении $10(-5 + i)$:

$$10(-5 + i) = -50 + 10i$$

Подставим в уравнение:

$$24 — 10i — 50 + 10i + a^2 + 4a + 5 = 0$$

Сложим подобные элементы (мнимые и действительные части):

$$(24 — 50 + 5) + (-10i + 10i) + a^2 + 4a = 0$$ $$-21 + a^2 + 4a = 0$$

Получаем квадратное уравнение:

$$a^2 + 4a — 21 = 0$$

Находим дискриминант $D$:

$$D = 4^2 — 4 \cdot 1 \cdot (-21) = 16 + 84 = 100$$

Находим корни уравнения с помощью формулы для корней квадратного уравнения:

$$a_1 = \frac{-4 — \sqrt{100}}{2} = \frac{-4 — 10}{2} = -7$$ $$a_2 = \frac{-4 + \sqrt{100}}{2} = \frac{-4 + 10}{2} = 3$$

Ответ: $a = -7; 3$.

Итог:

а) $a = 2$

б) $a = 10$

в) $a = \pm 4$

г) $a = -7; 3$