ГДЗ по Алгебре 10 Класс Номер 36.1 Профильный Уровень Мордкович — Подробные Ответы

Пусть $z = 2 (\cos 0,2\pi + i \sin 0,2\pi)$. Верно ли, что:

а) $z^4$ принадлежит первой координатной четверти;

б) $z^4$ принадлежит второй координатной четверти, а его модуль меньше $\sqrt{300}$;

в) $z^8$ принадлежит третьей координатной четверти;

г) $z^8$ принадлежит четвертой координатной четверти, а его модуль больше 100?

$z = 2(\cos 0,2\pi + i \sin 0,2\pi);$

Четвертая степень числа $z$:

$$z^4 = 2^4 (\cos(4 \cdot 0,2\pi) + i \sin(4 \cdot 0,2\pi)) = 16 (\cos 0,8\pi + i \sin 0,8\pi);$$ $$\frac{\pi}{2} < 0,8\pi < \pi — \text{принадлежит второй координатной четверти};$$ $$16 = \sqrt{16^2} = \sqrt{256} < \sqrt{300};$$

Восьмая степень числа $z$:

$$z^8 = 2^8 (\cos(8 \cdot 0,2\pi) + i \sin(8 \cdot 0,2\pi)) = 256 (\cos 1,6\pi + i \sin 1,6\pi);$$ $$\frac{3\pi}{2} \leqslant 1,6\pi < 2\pi — \text{принадлежит четвертой координатной четверти};$$ $$256 > 100;$$

Ответ: а) неверно; б) верно; в) неверно; г) верно.

Часть 1. Четвертая степень числа $z$:

Дано:

$$z = 2(\cos 0,2\pi + i \sin 0,2\pi)$$

Это стандартная полярная форма комплексного числа, где:

• $r = 2$ — модуль числа $z$,
• $\theta = 0,2\pi$ — аргумент (угол) числа $z$.

Теперь найдем 4-ю степень числа $z$. В полярной форме возведение в степень делается с использованием следующих формул:

$$z^n = r^n \left( \cos(n \cdot \theta) + i \sin(n \cdot \theta) \right)$$

где:

• $r^n$ — модуль числа, возведенный в степень $n$,
• $n \cdot \theta$ — аргумент, умноженный на $n$.

Для $n = 4$:

$$z^4 = 2^4 \left( \cos(4 \cdot 0,2\pi) + i \sin(4 \cdot 0,2\pi) \right)$$

Выполним вычисления:

$$2^4 = 16,$$ $$4 \cdot 0,2\pi = 0,8\pi,$$

Таким образом, получаем:

$$z^4 = 16 \left( \cos 0,8\pi + i \sin 0,8\pi \right)$$

Интерпретация на комплексной плоскости:

• Аргумент $0,8\pi$ — это угол, который лежит в второй координатной четверти, поскольку $\frac{\pi}{2} < 0,8\pi < \pi$.
• Модуль числа равен $16$, что означает, что точка $z^4$ лежит на окружности радиусом 16.

Далее проверим, правильно ли мы интерпретировали величину модуля:

$$16 = \sqrt{16^2} = \sqrt{256} < \sqrt{300}$$

Действительно, $\sqrt{256} = 16$, и это меньше, чем $\sqrt{300}$, что является верным сравнением, но не обязательно нужным для ответа.

Часть 2. Восьмая степень числа $z$:

Теперь вычислим 8-ю степень числа $z$. Как и раньше, применяем формулу для возведения в степень:

$$z^8 = r^8 \left( \cos(8 \cdot \theta) + i \sin(8 \cdot \theta) \right)$$

Подставляем значения:

$$z^8 = 2^8 \left( \cos(8 \cdot 0,2\pi) + i \sin(8 \cdot 0,2\pi) \right)$$

Выполним вычисления:

$$2^8 = 256,$$ $$8 \cdot 0,2\pi = 1,6\pi,$$

Таким образом, получаем:

$$z^8 = 256 \left( \cos 1,6\pi + i \sin 1,6\pi \right)$$

Интерпретация на комплексной плоскости:

• Аргумент $1,6\pi$ — это угол, который лежит в четвертой координатной четверти, поскольку $\frac{3\pi}{2} \leqslant 1,6\pi < 2\pi$.
• Модуль числа равен $256$, что означает, что точка $z^8$ лежит на окружности радиусом 256.

Теперь проверим, правильно ли мы интерпретировали величину модуля:

$$256 > 100$$

Это верное утверждение, так как $256$ действительно больше $100$.

Ответ:

а) неверно

б) верно

в) неверно

г) верно