ГДЗ по Алгебре 10 Класс Номер 36.10 Профильный Уровень Мордкович — Подробные Ответы

Вычислите:

а) $(\cos 10^\circ + i \sin 10^\circ)^{-9}$;

б) $(\cos 10^\circ — i \sin 10^\circ)^{-3}$;

в) $(\cos 10^\circ + i \sin 10^\circ)^{-12}$,

г) $(\cos {80}^{\circ }-i\sin {80}^{\circ }{)}^{-18}$

а) $(\cos 10^\circ + i \sin 10^\circ)^{-9}$;

$$\cos(-90^\circ) + i \sin(-90^\circ) = \cos 90^\circ — i \sin 90^\circ = 0 — 1i = -i;$$

б) $(\cos 10^\circ — i \sin 10^\circ)^{-3}$;

$$\cos(-30^\circ) — i \sin(-30^\circ) = \cos 30^\circ + i \sin 30^\circ = \frac{\sqrt{3}}{2} + \frac{1}{2}i;$$

в) $(\cos 10^\circ + i \sin 10^\circ)^{-12}$,

$$\cos(-120^\circ) + i \sin(-120^\circ) = \cos 120^\circ — i \sin 120^\circ = -\frac{1}{2} — \frac{\sqrt{3}}{2}i;$$

г) $(\cos 80^\circ — i \sin 80^\circ)^{-18}$;

$$\cos(-1440^\circ) — i \sin(-1440^\circ) = \cos 360^\circ + i \sin 360^\circ = 1 + 0i = 1$$

а) $(\cos 10^\circ + i \sin 10^\circ)^{-9}$

1. Запись комплексного числа в полярной форме

Комплексное число $z = \cos 10^\circ + i \sin 10^\circ$ находится в полярной форме:

$$z = \cos \theta + i \sin \theta$$

где $\theta = 10^\circ$.

2. Возведение в степень

Для того чтобы возвести комплексное число в отрицательную степень, применим теорему для возведения комплексного числа в степень в полярной форме:

$$z^n = r^n (\cos n\theta + i \sin n\theta)$$

где $r = 1$ (так как $\cos^2 10^\circ + \sin^2 10^\circ = 1$), и $\theta = 10^\circ$.

Возводим число в степень $-9$:

$$z^{-9} = 1^{-9} \left( \cos (-9 \times 10^\circ) + i \sin (-9 \times 10^\circ) \right)$$

Это можно записать как:

$$z^{-9} = \cos(-90^\circ) + i \sin(-90^\circ)$$

3. Вычисление значений косинуса и синуса

Мы знаем, что:

$$\cos(-90^\circ) = \cos(90^\circ) = 0, \quad \sin(-90^\circ) = -\sin(90^\circ) = -1$$

Таким образом:

$$z^{-9} = 0 — 1i = -i$$

Ответ: $z^{-9} = -i$.

б) $(\cos 10^\circ — i \sin 10^\circ)^{-3}$

1. Запись комплексного числа в полярной форме

Комплексное число $z = \cos 10^\circ — i \sin 10^\circ$ также находится в полярной форме:

$$z = \cos \theta — i \sin \theta$$

где $\theta = 10^\circ$. Это сопряженное число для $\cos 10^\circ + i \sin 10^\circ$.

2. Возведение в степень

Для возведения комплексного числа в степень используем теорему для возведения комплексного числа в степень в полярной форме:

$$z^n = r^n (\cos n\theta — i \sin n\theta)$$

Так как модуль числа $z$ также равен 1, то:

$$z^{-3} = 1^{-3} \left( \cos (-3 \times 10^\circ) — i \sin (-3 \times 10^\circ) \right)$$

Получаем:

$$z^{-3} = \cos(-30^\circ) — i \sin(-30^\circ)$$

3. Вычисление значений косинуса и синуса

Для угла $-30^\circ$, использовав тот факт, что синус и косинус для отрицательных углов можно выразить через их значения для положительных углов:

$$\cos(-30^\circ) = \cos(30^\circ) = \frac{\sqrt{3}}{2}, \quad \sin(-30^\circ) = -\sin(30^\circ) = -\frac{1}{2}$$

Таким образом:

$$z^{-3} = \frac{\sqrt{3}}{2} + \frac{1}{2}i$$

Ответ: $z^{-3} = \frac{\sqrt{3}}{2} + \frac{1}{2}i$.

в) $(\cos 10^\circ + i \sin 10^\circ)^{-12}$

1. Запись комплексного числа в полярной форме

Комплексное число $z = \cos 10^\circ + i \sin 10^\circ$ снова записано в полярной форме:

$$z = \cos \theta + i \sin \theta$$

где $\theta = 10^\circ$.

2. Возведение в степень

Возводим это число в степень $-12$:

$$z^{-12} = 1^{-12} \left( \cos (-12 \times 10^\circ) + i \sin (-12 \times 10^\circ) \right)$$

Это будет:

$$z^{-12} = \cos(-120^\circ) + i \sin(-120^\circ)$$

3. Вычисление значений косинуса и синуса

Для угла $-120^\circ$ вычисляем значения:

$$\cos(-120^\circ) = \cos(120^\circ) = -\frac{1}{2}, \quad \sin(-120^\circ) = -\sin(120^\circ) = -\frac{\sqrt{3}}{2}$$

Таким образом:

$$z^{-12} = -\frac{1}{2} — \frac{\sqrt{3}}{2}i$$

Ответ: $z^{-12} = -\frac{1}{2} — \frac{\sqrt{3}}{2}i$.

г) $(\cos 80^\circ — i \sin 80^\circ)^{-18}$

1. Запись комплексного числа в полярной форме

Комплексное число $z = \cos 80^\circ — i \sin 80^\circ$ снова записано в полярной форме:

$$z = \cos \theta — i \sin \theta$$

где $\theta = 80^\circ$.

2. Возведение в степень

Возводим это число в степень $-18$:

$$z^{-18} = 1^{-18} \left( \cos (-18 \times 80^\circ) — i \sin (-18 \times 80^\circ) \right)$$

Это будет:

$$z^{-18} = \cos(-1440^\circ) — i \sin(-1440^\circ)$$

3. Упрощение угла

Для упрощения угла $-1440^\circ$ можно использовать периодичность тригонометрических функций. Период косинуса и синуса — $360^\circ$, поэтому:

$$-1440^\circ = -1440^\circ + 4 \times 360^\circ = -1440^\circ + 1440^\circ = 0^\circ$$

Таким образом:

$$\cos(-1440^\circ) = \cos(0^\circ) = 1, \quad \sin(-1440^\circ) = \sin(0^\circ) = 0$$

Следовательно:

$$z^{-18} = 1 + 0i = 1$$

Ответ: $z^{-18} = 1$.

Итоговые ответы:

а) $-i$

б) $\frac{\sqrt{3}}{2} + \frac{1}{2}i$

в) $-\frac{1}{2} — \frac{\sqrt{3}}{2}i$

г) $1$