ГДЗ по Алгебре 10 Класс Номер 36.12 Профильный Уровень Мордкович — Подробные Ответы

Вычислите:

а) $z = (1 + \sqrt{3}i)^{-3}$;

б) $z = (1 + \sqrt{3}i)^{-5}$;

в) $z = (\sqrt{3} + i)^{-7}$;

г) $z = (\sqrt{3} — i)^{-9}$

а) $z = (1 + \sqrt{3}i)^{-3}$;

$$|z| = \sqrt{1^2 + (\sqrt{3})^2} = \sqrt{1 + 3} = \sqrt{4} = 2, \text{ тогда } a = \arccos \frac{1}{2} = \frac{\pi}{3};$$ $$z = \left( 2 \left( \cos \frac{\pi}{3} + i \sin \frac{\pi}{3} \right) \right)^{-3} = 2^{-3} \left( \cos \frac{-3\pi}{3} + i \sin \frac{-3\pi}{3} \right);$$ $$z = \frac{1}{2^3} (\cos(-\pi) + i \sin(-\pi)) = \frac{1}{8} (\cos \pi — i \sin \pi) = \frac{1}{8} (-1 — 0i) = -\frac{1}{8};$$

Ответ: $-\frac{1}{8}$.

б) $z = (1 + \sqrt{3}i)^{-5}$;

$$|z| = \sqrt{1^2 + (\sqrt{3})^2} = \sqrt{1 + 3} = \sqrt{4} = 2, \text{ тогда } a = \arccos \frac{1}{2} = \frac{\pi}{3};$$ $$z = \left( 2 \left( \cos \frac{\pi}{3} + i \sin \frac{\pi}{3} \right) \right)^{-5} = 2^{-5} \left( \cos \frac{-5\pi}{3} + i \sin \frac{-5\pi}{3} \right);$$ $$z = \frac{1}{2^5} \left( \cos \frac{5\pi}{3} — i \sin \frac{5\pi}{3} \right) = \frac{1}{32} \left( \frac{1}{2} + \frac{\sqrt{3}}{2} i \right) = \frac{1}{64} (1 + \sqrt{3}i);$$

Ответ: $\frac{1}{64} (1 + i\sqrt{3})$.

в) $z = (\sqrt{3} + i)^{-7}$;

$$|z| = \sqrt{(\sqrt{3})^2 + 1^2} = \sqrt{3 + 1} = \sqrt{4} = 2, \text{ тогда } a = \arccos \frac{\sqrt{3}}{2} = \frac{\pi}{6};$$ $$z = \left( 2 \left( \cos \frac{\pi}{6} + i \sin \frac{\pi}{6} \right) \right)^{-7} = 2^{-7} \left( \cos \frac{-7\pi}{6} + i \sin \frac{-7\pi}{6} \right);$$ $$z = \frac{1}{2^7} \left( \cos \frac{7\pi}{6} — i \sin \frac{7\pi}{6} \right) = \frac{1}{128} \left( -\frac{\sqrt{3}}{2} + \frac{1}{2} i \right) = \frac{1}{256} (-\sqrt{3} + i);$$

Ответ: $\frac{1}{256} (-\sqrt{3} + i)$.

г) $z = (\sqrt{3} — i)^{-9}$;

$$|z| = \sqrt{(\sqrt{3})^2 + (-1)^2} = \sqrt{3 + 1} = \sqrt{4} = 2, \text{ тогда } a = \arccos \frac{\sqrt{3}}{2} = \frac{\pi}{6};$$ $$z = \left( 2 \left( \cos \frac{\pi}{6} — i \sin \frac{\pi}{6} \right) \right)^{-9} = 2^{-9} \left( \cos \frac{-9\pi}{6} — i \sin \frac{-9\pi}{6} \right);$$ $$z = \frac{1}{2^9} \left( \cos \frac{3\pi}{2} + i \sin \frac{3\pi}{2} \right) = \frac{1}{512} (0 — 1i) = -\frac{1}{512} i;$$

Ответ: $-\frac{1}{512} i$.

а) $z = (1 + \sqrt{3}i)^{-3}$

Представление комплексного числа в полярной форме

Для начала представим комплексное число $1 + \sqrt{3}i$ в полярной форме. Комплексное число в виде $a + bi$ можно записать как:

$$z = r(\cos \theta + i \sin \theta)$$

где:

• $r = |z|$ — модуль числа,
• $\theta$ — аргумент числа.

Для $1 + \sqrt{3}i$:

• Модуль $|z|$ вычисляется по формуле $|z| = \sqrt{a^2 + b^2}$, где $a = 1$, $b = \sqrt{3}$:

  $$|z| = \sqrt{1^2 + (\sqrt{3})^2} = \sqrt{1 + 3} = \sqrt{4} = 2$$

• Аргумент $\theta$ вычисляется как $\theta = \arctan \frac{b}{a}$. В данном случае $\theta = \arctan \frac{\sqrt{3}}{1} = \arctan \sqrt{3}$, что известно, что равно $\frac{\pi}{3}$.

Таким образом, $1 + \sqrt{3}i$ в полярной форме будет:

$$1 + \sqrt{3}i = 2 \left( \cos \frac{\pi}{3} + i \sin \frac{\pi}{3} \right)$$

Возведение в степень

Теперь, когда мы выразили число в полярной форме, можно возвести его в степень $-3$. Для этого используем формулу де Мойра:

$$\left( r(\cos \theta + i \sin \theta) \right)^n = r^n \left( \cos(n\theta) + i \sin(n\theta) \right)$$

Подставим $r = 2$, $\theta = \frac{\pi}{3}$ и $n = -3$:

$$z = \left( 2 \left( \cos \frac{\pi}{3} + i \sin \frac{\pi}{3} \right) \right)^{-3} = 2^{-3} \left( \cos \frac{-3\pi}{3} + i \sin \frac{-3\pi}{3} \right)$$

Поскольку $2^{-3} = \frac{1}{8}$, и $\cos \frac{-3\pi}{3} = \cos(-\pi) = -1$, $\sin \frac{-3\pi}{3} = \sin(-\pi) = 0$, то:

$$z = \frac{1}{8} \left( \cos \pi — i \sin \pi \right) = \frac{1}{8} (-1 — 0i) = -\frac{1}{8}$$

Ответ: $-\frac{1}{8}$

б) $z = (1 + \sqrt{3}i)^{-5}$

Модуль и аргумент

Как и в предыдущем случае, модуль $|1 + \sqrt{3}i| = 2$, и аргумент $\theta = \frac{\pi}{3}$.

Таким образом, $1 + \sqrt{3}i = 2 \left( \cos \frac{\pi}{3} + i \sin \frac{\pi}{3} \right)$.

Возведение в степень

Теперь возведем это число в степень $-5$:

$$z = \left( 2 \left( \cos \frac{\pi}{3} + i \sin \frac{\pi}{3} \right) \right)^{-5} = 2^{-5} \left( \cos \frac{-5\pi}{3} + i \sin \frac{-5\pi}{3} \right)$$

$2^{-5} = \frac{1}{32}$, и $\cos \frac{-5\pi}{3} = \cos \left( \frac{5\pi}{3} \right) = \frac{1}{2}$, $\sin \frac{-5\pi}{3} = \sin \left( \frac{5\pi}{3} \right) = -\frac{\sqrt{3}}{2}$. Тогда:

$$z = \frac{1}{32} \left( \cos \frac{5\pi}{3} — i \sin \frac{5\pi}{3} \right)$$

Подставляем значения:

$$z = \frac{1}{32} \left( \frac{1}{2} + \frac{\sqrt{3}}{2} i \right)$$

Умножим на $\frac{1}{32}$:

$$z = \frac{1}{64} (1 + \sqrt{3}i)$$

Ответ: $\frac{1}{64} (1 + i\sqrt{3})$

в) $z = (\sqrt{3} + i)^{-7}$

Модуль и аргумент

Для числа $\sqrt{3} + i$ модуль вычисляется как:

$$|z| = \sqrt{(\sqrt{3})^2 + 1^2} = \sqrt{3 + 1} = \sqrt{4} = 2$$

Аргумент $\theta$ вычисляется как:

$$\theta = \arccos \frac{\sqrt{3}}{2} = \frac{\pi}{6}$$

Таким образом, $\sqrt{3} + i = 2 \left( \cos \frac{\pi}{6} + i \sin \frac{\pi}{6} \right)$.

Возведение в степень

Возводим в степень $-7$:

$$z = \left( 2 \left( \cos \frac{\pi}{6} + i \sin \frac{\pi}{6} \right) \right)^{-7} = 2^{-7} \left( \cos \frac{-7\pi}{6} + i \sin \frac{-7\pi}{6} \right)$$

Поскольку $2^{-7} = \frac{1}{128}$, и $\cos \frac{-7\pi}{6} = \cos \frac{7\pi}{6} = -\frac{\sqrt{3}}{2}$, $\sin \frac{-7\pi}{6} = -\sin \frac{7\pi}{6} = -\frac{1}{2}$, то:

$$z = \frac{1}{128} \left( -\frac{\sqrt{3}}{2} + \frac{1}{2} i \right)$$

Умножаем на $\frac{1}{128}$:

$$z = \frac{1}{256} (-\sqrt{3} + i)$$

Ответ: $\frac{1}{256} (-\sqrt{3} + i)$

г) $z = (\sqrt{3} — i)^{-9}$

Модуль и аргумент

Модуль числа $\sqrt{3} — i$:

$$|z| = \sqrt{(\sqrt{3})^2 + (-1)^2} = \sqrt{3 + 1} = \sqrt{4} = 2$$

Аргумент $\theta$ вычисляется как:

$$\theta = \arccos \frac{\sqrt{3}}{2} = \frac{\pi}{6}$$

Таким образом, $\sqrt{3} — i = 2 \left( \cos \frac{\pi}{6} — i \sin \frac{\pi}{6} \right)$.

Возведение в степень

Возводим число в степень $-9$:

$$z = \left( 2 \left( \cos \frac{\pi}{6} — i \sin \frac{\pi}{6} \right) \right)^{-9} = 2^{-9} \left( \cos \frac{-9\pi}{6} — i \sin \frac{-9\pi}{6} \right)$$

Поскольку $2^{-9} = \frac{1}{512}$, и $\cos \frac{-9\pi}{6} = \cos \frac{3\pi}{2} = 0$, $\sin \frac{-9\pi}{6} = \sin \frac{3\pi}{2} = -1$, то:

$$z = \frac{1}{512} (0 — 1i) = -\frac{1}{512} i$$

Ответ: $-\frac{1}{512} i$