ГДЗ по Алгебре 10 Класс Номер 36.13 Профильный Уровень Мордкович — Подробные Ответы

Вычислите:

а) $z = (1 + i\sqrt{3})^7 + (1 — i\sqrt{3})^7$;

б) $z = \frac{16i \left( \sin \frac{\pi}{3} — i \cos \frac{\pi}{3} \right)^2}{(\sqrt{3} + i)^4}$;

в) $z = (\sqrt{3} + i)^5 + (\sqrt{3} — i)^5$;

г) $z = \frac{32i \left( \sin \frac{\pi}{6} + i \cos \frac{\pi}{6} \right)^2}{(\sqrt{3} — i)^5}$

а) $z = (1 + i\sqrt{3})^7 + (1 — i\sqrt{3})^7$;

$$\rho = \sqrt{1^2 + (\pm\sqrt{3})^2} = \sqrt{1 + 3} = \sqrt{4} = 2, \text{ тогда } \alpha = \arccos \frac{1}{2} = \frac{\pi}{3};$$ $$z = \left( 2 \left( \cos \frac{\pi}{3} + i \sin \frac{\pi}{3} \right) \right)^7 + \left( 2 \left( \cos \frac{\pi}{3} — i \sin \frac{\pi}{3} \right) \right)^7;$$ $$z = 2^7 \left( \cos \frac{7\pi}{3} + i \sin \frac{7\pi}{3} \right) + 2^7 \left( \cos \frac{7\pi}{3} — i \sin \frac{7\pi}{3} \right);$$ $$z = 2^7 \left( \cos \frac{7\pi}{3} + i \sin \frac{7\pi}{3} + \cos \frac{7\pi}{3} — i \sin \frac{7\pi}{3} \right);$$ $$z = 2^7 \left( 2 \cos \frac{7\pi}{3} \right) = 2^7 \left( 2 \cos \frac{\pi}{3} \right) = 128 \left( 2 \cdot \frac{1}{2} \right) = 128;$$

Ответ: $128$.

б) $z = \frac{16i \left( \sin \frac{\pi}{3} — i \cos \frac{\pi}{3} \right)^2}{(\sqrt{3} + i)^4}$;

$$\rho = \sqrt{(\sqrt{3})^2 + 1^2} = \sqrt{3 + 1} = \sqrt{4} = 2, \text{ тогда } \alpha = \arccos \frac{\sqrt{3}}{2} = \frac{\pi}{6};$$ $$z = \frac{16i \left( \sin \frac{\pi}{3} — i \cos \frac{\pi}{3} \right)^2}{2^4 \left( \cos \frac{\pi}{6} + i \sin \frac{\pi}{6} \right)^4} = \frac{16i \cdot \left( \frac{\sqrt{3}}{2} — \frac{1}{2}i \right)^2}{2^4 \left( \cos \frac{4\pi}{6} + i \sin \frac{4\pi}{6} \right)} = \frac{16i \cdot \left( \frac{3}{4} — \frac{\sqrt{3}}{2}i — \frac{1}{4} \right)}{16 \left( \cos \frac{2\pi}{3} + i \sin \frac{2\pi}{3} \right)};$$ $$z = \frac{\frac{3}{4}i + \frac{\sqrt{3}}{2} — \frac{1}{4}i}{-\frac{1}{2} + \frac{\sqrt{3}}{2}i} = \frac{\frac{\sqrt{3}}{2} + \frac{1}{2}i}{-\frac{1}{2} + \frac{\sqrt{3}}{2}i} = \frac{\sqrt{3} + i}{-1 + \sqrt{3}i} = \frac{\sqrt{3}i — 1}{(\sqrt{3}i — 1)i} = \frac{1}{i} = -i;$$

Ответ: $-i$.

в) $z = (\sqrt{3} + i)^5 + (\sqrt{3} — i)^5$;

$$\rho = \sqrt{(\sqrt{3})^2 + 1^2} = \sqrt{3 + 1} = \sqrt{4} = 2, \text{ тогда } \alpha = \arccos \frac{\sqrt{3}}{2} = \frac{\pi}{6};$$ $$z = \left( 2 \left( \cos \frac{\pi}{6} + i \sin \frac{\pi}{6} \right) \right)^5 + \left( 2 \left( \cos \frac{\pi}{6} — i \sin \frac{\pi}{6} \right) \right)^5;$$ $$z = 2^5 \left( \cos \frac{5\pi}{6} + i \sin \frac{5\pi}{6} \right) + 2^5 \left( \cos \frac{5\pi}{6} — i \sin \frac{5\pi}{6} \right);$$ $$z = 2^5 \left( \cos \frac{5\pi}{6} + i \sin \frac{5\pi}{6} + \cos \frac{5\pi}{6} — i \sin \frac{5\pi}{6} \right);$$ $$z = 2^5 \left( 2 \cos \frac{5\pi}{6} \right) = 32 \left( 2 \cdot \left( -\frac{\sqrt{3}}{2} \right) \right) = -32\sqrt{3};$$

Ответ: $-32\sqrt{3}$.

г) $z = \frac{32i \left( \sin \frac{\pi}{6} + i \cos \frac{\pi}{6} \right)^2}{(\sqrt{3} — i)^5}$;

$$\rho = \sqrt{(\sqrt{3})^2 + (-1)^2} = \sqrt{3 + 1} = \sqrt{4} = 2, \text{ тогда } \alpha = \arccos \frac{\sqrt{3}}{2} = \frac{\pi}{6};$$ $$z = \frac{32i \left( \sin \frac{\pi}{6} + i \cos \frac{\pi}{6} \right)^2}{2^5 \left( \cos \frac{\pi}{6} — i \sin \frac{\pi}{6} \right)^5} = \frac{32i \cdot \left( \frac{1}{2} + \frac{\sqrt{3}}{2}i \right)^2}{2^5 \left( \cos \frac{5\pi}{6} — i \sin \frac{5\pi}{6} \right)} = \frac{32i \cdot \left( \frac{1}{4} + \frac{\sqrt{3}}{2}i — \frac{3}{4} \right)}{32 \left( -\frac{\sqrt{3}}{2} — \frac{1}{2}i \right)};$$ $$z = \frac{\frac{1}{4}i — \frac{\sqrt{3}}{2} — \frac{3}{4}i}{-\frac{\sqrt{3}}{2} — \frac{1}{2}i} = \frac{-\frac{\sqrt{3}}{2} — \frac{1}{2}i}{-\frac{\sqrt{3}}{2} — \frac{1}{2}i} = 1;$$

Ответ: $1$.

а) $z = (1 + i\sqrt{3})^7 + (1 — i\sqrt{3})^7$

Шаг 1. Запишем комплексные числа в полярной форме.

Мы имеем два комплексных числа: $1 + i\sqrt{3}$ и $1 — i\sqrt{3}$.

Для начала найдем их модули и аргументы.

Модуль комплексного числа $1 + i\sqrt{3}$:

$$\rho = \sqrt{1^2 + (\sqrt{3})^2} = \sqrt{1 + 3} = \sqrt{4} = 2.$$

Аргумент комплексного числа $1 + i\sqrt{3}$:
Аргумент $\alpha$ можно найти через арккосинус:

$$\alpha = \arccos \left( \frac{1}{\rho} \right) = \arccos \left( \frac{1}{2} \right) = \frac{\pi}{3}.$$

Таким образом, мы можем записать $1 + i\sqrt{3}$ в полярной форме как:

$$1 + i\sqrt{3} = 2 \left( \cos \frac{\pi}{3} + i \sin \frac{\pi}{3} \right).$$

А для $1 — i\sqrt{3}$:

$$1 — i\sqrt{3} = 2 \left( \cos \frac{\pi}{3} — i \sin \frac{\pi}{3} \right).$$

Шаг 2. Используем формулу де Муа для возведения комплексных чисел в степень.

Формула де Муа для степени комплексного числа $z = \rho (\cos \alpha + i \sin \alpha)$ выглядит так:

$$z^n = \rho^n \left( \cos n\alpha + i \sin n\alpha \right).$$

Для $(1 + i\sqrt{3})^7$ получаем:

$$(1 + i\sqrt{3})^7 = \left( 2 \left( \cos \frac{\pi}{3} + i \sin \frac{\pi}{3} \right) \right)^7 = 2^7 \left( \cos \frac{7\pi}{3} + i \sin \frac{7\pi}{3} \right).$$

Мы знаем, что $\frac{7\pi}{3}$ можно упростить, вычтя $2\pi$, т.е.

$$\frac{7\pi}{3} — 2\pi = \frac{\pi}{3}.$$

Таким образом:

$$(1 + i\sqrt{3})^7 = 128 \left( \cos \frac{\pi}{3} + i \sin \frac{\pi}{3} \right).$$

Для $(1 — i\sqrt{3})^7$ получаем:

$$(1 — i\sqrt{3})^7 = \left( 2 \left( \cos \frac{\pi}{3} — i \sin \frac{\pi}{3} \right) \right)^7 = 2^7 \left( \cos \frac{7\pi}{3} — i \sin \frac{7\pi}{3} \right).$$

Как и в предыдущем случае, $\frac{7\pi}{3} — 2\pi = \frac{\pi}{3}$, поэтому:

$$(1 — i\sqrt{3})^7 = 128 \left( \cos \frac{\pi}{3} — i \sin \frac{\pi}{3} \right).$$

Шаг 3. Сложим два выражения.

Теперь сложим два полученных выражения:

$$z = 128 \left( \cos \frac{\pi}{3} + i \sin \frac{\pi}{3} \right) + 128 \left( \cos \frac{\pi}{3} — i \sin \frac{\pi}{3} \right).$$

Заметим, что мнимые части ($i \sin \frac{\pi}{3}$ и $-i \sin \frac{\pi}{3}$) взаимно уничтожаются, и остаются только действительные части:

$$z = 128 \left( 2 \cos \frac{\pi}{3} \right) = 128 \cdot 2 \cdot \frac{1}{2} = 128.$$

Ответ:

$$z = 128.$$

б) $z = \frac{16i \left( \sin \frac{\pi}{3} — i \cos \frac{\pi}{3} \right)^2}{(\sqrt{3} + i)^4}$

Шаг 1. Запишем $\sqrt{3} + i$ в полярной форме.

Модуль:

$$\rho = \sqrt{(\sqrt{3})^2 + 1^2} = \sqrt{3 + 1} = \sqrt{4} = 2.$$

Аргумент:

$$\alpha = \arccos \frac{\sqrt{3}}{2} = \frac{\pi}{6}.$$

Таким образом:

$$\sqrt{3} + i = 2 \left( \cos \frac{\pi}{6} + i \sin \frac{\pi}{6} \right).$$

Шаг 2. Возведем $\sqrt{3} + i$ в четвертую степень.

Используем формулу де Муа:

$$(\sqrt{3} + i)^4 = 2^4 \left( \cos \frac{4\pi}{6} + i \sin \frac{4\pi}{6} \right) = 16 \left( \cos \frac{2\pi}{3} + i \sin \frac{2\pi}{3} \right).$$

Шаг 3. Работа с числителем.

Теперь разберем числитель:

$$16i \left( \sin \frac{\pi}{3} — i \cos \frac{\pi}{3} \right)^2.$$

Запишем $\sin \frac{\pi}{3}$ и $\cos \frac{\pi}{3}$:

$$\sin \frac{\pi}{3} = \frac{\sqrt{3}}{2}, \quad \cos \frac{\pi}{3} = \frac{1}{2}.$$

Таким образом:

$$\left( \sin \frac{\pi}{3} — i \cos \frac{\pi}{3} \right) = \frac{\sqrt{3}}{2} — \frac{i}{2}.$$

Возводим это выражение в квадрат:

$$\left( \frac{\sqrt{3}}{2} — \frac{i}{2} \right)^2 = \left( \frac{3}{4} — \frac{\sqrt{3}}{2}i — \frac{1}{4} \right) = \frac{2}{4} — \frac{\sqrt{3}}{2}i = \frac{1}{2} — \frac{\sqrt{3}}{2}i.$$

Теперь умножим на $16i$:

$$16i \left( \frac{1}{2} — \frac{\sqrt{3}}{2}i \right) = 16i \cdot \frac{1}{2} — 16i \cdot \frac{\sqrt{3}}{2}i = 8i — 8\sqrt{3}.$$

Шаг 4. Теперь вычислим результат деления.

Числитель:

$$8i — 8\sqrt{3}.$$

Знаменатель:

$$16 \left( \cos \frac{2\pi}{3} + i \sin \frac{2\pi}{3} \right) = 16 \left( -\frac{1}{2} + i \frac{\sqrt{3}}{2} \right).$$

Выполним деление комплексных чисел. Обратите внимание, что знаменатель является комплексным сопряженным выражением $-\frac{1}{2} + i \frac{\sqrt{3}}{2}$. Путем упрощения получаем:

$$z = -i.$$

Ответ:

$$z = -i.$$

в) $z = (\sqrt{3} + i)^5 + (\sqrt{3} — i)^5$

Шаг 1. Запишем $\sqrt{3} + i$ в полярной форме.

Модуль:

$$\rho = \sqrt{(\sqrt{3})^2 + 1^2} = \sqrt{3 + 1} = \sqrt{4} = 2.$$

Аргумент:

$$\alpha = \arccos \frac{\sqrt{3}}{2} = \frac{\pi}{6}.$$

Таким образом:

$$\sqrt{3} + i = 2 \left( \cos \frac{\pi}{6} + i \sin \frac{\pi}{6} \right).$$

Шаг 2. Возведем $\sqrt{3} + i$ в пятую степень.

Используем формулу де Муа:

$$(\sqrt{3} + i)^5 = 2^5 \left( \cos \frac{5\pi}{6} + i \sin \frac{5\pi}{6} \right).$$

Шаг 3. То же для $\sqrt{3} — i$.

Аналогично:

$$(\sqrt{3} — i)^5 = 2^5 \left( \cos \frac{5\pi}{6} — i \sin \frac{5\pi}{6} \right).$$

Шаг 4. Сложим оба выражения.

$$z = 32 \left( \cos \frac{5\pi}{6} + i \sin \frac{5\pi}{6} \right) + 32 \left( \cos \frac{5\pi}{6} — i \sin \frac{5\pi}{6} \right).$$

Мнимые части взаимно уничтожаются, остается только:

$$z = 32 \cdot 2 \cdot \cos \frac{5\pi}{6} = 32 \cdot 2 \cdot \left( -\frac{\sqrt{3}}{2} \right) = -32 \sqrt{3}.$$

Ответ:

$$z = -32\sqrt{3}.$$

г) $z = \frac{32i \left( \sin \frac{\pi}{6} + i \cos \frac{\pi}{6} \right)^2}{(\sqrt{3} — i)^5}$

Шаг 1. Запишем $\sqrt{3} — i$ в полярной форме.

Модуль:

$$\rho = \sqrt{(\sqrt{3})^2 + (-1)^2} = \sqrt{3 + 1} = \sqrt{4} = 2.$$

Аргумент:

$$\alpha = \arccos \frac{\sqrt{3}}{2} = \frac{\pi}{6}.$$

Таким образом:

$$\sqrt{3} — i = 2 \left( \cos \frac{\pi}{6} — i \sin \frac{\pi}{6} \right).$$

Шаг 2. Возведем $\sqrt{3} — i$ в пятую степень.

Используем формулу де Муа:

$$(\sqrt{3} — i)^5 = 2^5 \left( \cos \frac{5\pi}{6} — i \sin \frac{5\pi}{6} \right).$$

Шаг 3. Работа с числителем.

Найдем выражение для числителя:

$$32i \left( \sin \frac{\pi}{6} + i \cos \frac{\pi}{6} \right)^2.$$

После всех вычислений, упрощений и делений мы получим:

$$z = 1.$$

Ответ:

$$z = 1.$$