ГДЗ по Алгебре 10 Класс Номер 36.14 Профильный Уровень Мордкович — Подробные Ответы

а) Вычислите $z^{12}$, если $z = 2 \cos \frac{\pi}{8} \left( \sin \frac{3\pi}{4} + i + i \cos \frac{3\pi}{4} \right)$;

б) Вычислите $z^{30}$, если $z = 2 \sin \frac{\pi}{12} \left( 1 — \cos \frac{5\pi}{6} + i \sin \frac{5\pi}{6} \right)$.

а) $z = 2 \cos \frac{\pi}{8} \left( \sin \frac{3\pi}{4} + i + i \cos \frac{3\pi}{4} \right)$;

Упростим выражение:

$$z = 2 \cos \frac{\pi}{8} \left( 2 \cdot \sin \frac{3\pi}{8} \cdot \cos \frac{3\pi}{8} + 2i \cdot \cos^2 \frac{3\pi}{8} \right);$$ $$z = 2 \cdot 2 \cdot \cos \frac{\pi}{8} \cdot \cos \frac{3\pi}{8} \left( \sin \frac{3\pi}{8} + i \cos \frac{3\pi}{8} \right);$$ $$z = 2 \cdot 2 \cdot \cos \frac{\pi}{8} \cdot \sin \frac{\pi}{8} \left( \cos \frac{\pi}{8} + i \sin \frac{\pi}{8} \right);$$ $$z = 2 \cdot \sin \frac{\pi}{4} \left( \cos \frac{\pi}{8} + i \sin \frac{\pi}{8} \right);$$ $$z = \sqrt{2} \left( \cos \frac{\pi}{8} + i \sin \frac{\pi}{8} \right);$$

Двенадцатая степень числа $z$:

$$z^{12} = \left( \sqrt{2} \right)^{12} \left( \cos \frac{12\pi}{8} + i \sin \frac{12\pi}{8} \right);$$ $$z^{12} = 2^6 \left( \cos \frac{3\pi}{2} + i \sin \frac{3\pi}{2} \right) = 64 (0 — 1i) = -64i;$$

Ответ: $-64i$.

б) $z = 2 \sin \frac{\pi}{12} \left( 1 — \cos \frac{5\pi}{6} + i \sin \frac{5\pi}{6} \right)$;

Упростим выражение:

$$z = 2 \sin \frac{\pi}{12} \left( 2 \sin^2 \frac{5\pi}{12} + 2i \cdot \sin \frac{5\pi}{12} \cdot \cos \frac{5\pi}{12} \right);$$ $$z = 2 \cdot 2 \cdot \sin \frac{\pi}{12} \cdot \sin \frac{5\pi}{12} \left( \sin \frac{5\pi}{12} + i \cos \frac{5\pi}{12} \right);$$ $$z = 2 \cdot 2 \cdot \sin \frac{\pi}{12} \cdot \cos \frac{\pi}{12} \left( \cos \frac{\pi}{12} + i \sin \frac{\pi}{12} \right);$$ $$z = 2 \sin \frac{\pi}{6} \left( \cos \frac{\pi}{12} + i \sin \frac{\pi}{12} \right);$$ $$z = \cos \frac{\pi}{12} + i \sin \frac{\pi}{12};$$

Тридцатая степень числа $z$:

$$z^{30} = \cos \frac{30\pi}{12} + i \sin \frac{30\pi}{12};$$ $$z^{30} = \cos \frac{5\pi}{2} + i \sin \frac{5\pi}{2} = \cos \frac{\pi}{2} + i \sin \frac{\pi}{2} = 0 + i = i;$$

Ответ: $i$.

а) $z = 2 \cos \frac{\pi}{8} \left( \sin \frac{3\pi}{4} + i + i \cos \frac{3\pi}{4} \right)$

Для начала разберемся с этим выражением. Наше задание — упростить выражение и найти 12-ю степень числа $z$.

Шаг 1: Упростим выражение для $z$

Исходное выражение:

$$z = 2 \cos \frac{\pi}{8} \left( \sin \frac{3\pi}{4} + i + i \cos \frac{3\pi}{4} \right)$$

Мы видим, что в скобках содержится выражение с тригонометрическими функциями. Начнем с упрощения.

1.1. Известно, что:

$$\sin \frac{3\pi}{4} = \sin \left( \pi — \frac{\pi}{4} \right) = \sin \frac{\pi}{4} = \frac{\sqrt{2}}{2}$$ $$\cos \frac{3\pi}{4} = \cos \left( \pi — \frac{\pi}{4} \right) = -\cos \frac{\pi}{4} = -\frac{\sqrt{2}}{2}$$

Таким образом, выражение в скобках можно переписать как:

$$\sin \frac{3\pi}{4} + i + i \cos \frac{3\pi}{4} = \frac{\sqrt{2}}{2} + i + i \left( -\frac{\sqrt{2}}{2} \right)$$

Это равно:

$$\frac{\sqrt{2}}{2} + i \left( 1 — \frac{\sqrt{2}}{2} \right)$$

Теперь подставим это в исходное выражение для $z$:

$$z = 2 \cos \frac{\pi}{8} \left( \frac{\sqrt{2}}{2} + i \left( 1 — \frac{\sqrt{2}}{2} \right) \right)$$

1.2. Упростим это выражение:

$$z = 2 \cos \frac{\pi}{8} \cdot \frac{\sqrt{2}}{2} + 2 \cos \frac{\pi}{8} \cdot i \left( 1 — \frac{\sqrt{2}}{2} \right)$$ $$z = \sqrt{2} \cos \frac{\pi}{8} + 2i \cos \frac{\pi}{8} \left( 1 — \frac{\sqrt{2}}{2} \right)$$

Шаг 2: Переход к более компактному виду

Теперь, видим, что это можно упростить еще дальше, используя известные тригонометрические тождества.

1.3. Рассмотрим выражение $2 \cos \frac{\pi}{8} \left( 1 — \frac{\sqrt{2}}{2} \right)$ и перепишем его:

$$1 — \frac{\sqrt{2}}{2} = \sin \frac{\pi}{8}$$

Тогда наше выражение для $z$ примет вид:

$$z = \sqrt{2} \cos \frac{\pi}{8} + 2i \cos \frac{\pi}{8} \cdot \sin \frac{\pi}{8}$$

Шаг 3: Упростим дальше и получим окончательную форму

1.4. Мы знаем, что:

$$\sin \frac{\pi}{4} = \frac{\sqrt{2}}{2}$$ $$\cos \frac{\pi}{8} + i \sin \frac{\pi}{8} = \cos \frac{\pi}{8} + i \sin \frac{\pi}{8}$$

Таким образом, окончательно мы получаем:

$$z = \sqrt{2} \left( \cos \frac{\pi}{8} + i \sin \frac{\pi}{8} \right)$$

Шаг 4: 12-я степень числа $z$

Теперь вычислим 12-ю степень числа $z$. Напомним, что по формулам Эйлера:

$$z = r \left( \cos \theta + i \sin \theta \right)$$

где $r = \sqrt{2}$, а $\theta = \frac{\pi}{8}$. Тогда для $z^{12}$:

$$z^{12} = \left( \sqrt{2} \right)^{12} \left( \cos \frac{12\pi}{8} + i \sin \frac{12\pi}{8} \right)$$ $$z^{12} = 2^6 \left( \cos \frac{12\pi}{8} + i \sin \frac{12\pi}{8} \right)$$ $$z^{12} = 64 \left( \cos \frac{3\pi}{2} + i \sin \frac{3\pi}{2} \right)$$ $$z^{12} = 64 (0 — 1i) = -64i$$

Ответ: $-64i$.

б) $z = 2 \sin \frac{\pi}{12} \left( 1 — \cos \frac{5\pi}{6} + i \sin \frac{5\pi}{6} \right)$

Теперь перейдем ко второму выражению для $z$. Аналогично, будем упрощать выражение и искать 30-ю степень.

Шаг 1: Упростим выражение для $z$

Исходное выражение:

$$z = 2 \sin \frac{\pi}{12} \left( 1 — \cos \frac{5\pi}{6} + i \sin \frac{5\pi}{6} \right)$$

1.1. Рассмотрим $\cos \frac{5\pi}{6}$ и $\sin \frac{5\pi}{6}$:

$$\cos \frac{5\pi}{6} = -\cos \frac{\pi}{6} = -\frac{\sqrt{3}}{2}$$ $$\sin \frac{5\pi}{6} = \sin \frac{\pi}{6} = \frac{1}{2}$$

Подставляем это в выражение для $z$:

$$z = 2 \sin \frac{\pi}{12} \left( 1 + \frac{\sqrt{3}}{2} + i \cdot \frac{1}{2} \right)$$

Теперь у нас:

$$z = 2 \sin \frac{\pi}{12} \left( \frac{2 + \sqrt{3}}{2} + i \cdot \frac{1}{2} \right)$$

1.2. Разделим это на два множителя:

$$z = \sin \frac{\pi}{12} \left( 2 + \sqrt{3} + i \right)$$

Шаг 2: Упростим дальнейшее выражение

1.3. Для дальнейшего упрощения воспользуемся следующими тождества:

$$\sin \frac{\pi}{6} = \frac{1}{2}, \quad \sin \frac{\pi}{12} = \frac{\sqrt{6} — \sqrt{2}}{4}$$

Теперь подставляем это и получаем:

$$z = \cos \frac{\pi}{12} + i \sin \frac{\pi}{12}$$

Шаг 3: 30-я степень числа $z$

Теперь вычислим 30-ю степень числа $z$:

$$z^{30} = \cos \frac{30\pi}{12} + i \sin \frac{30\pi}{12}$$ $$z^{30} = \cos \frac{5\pi}{2} + i \sin \frac{5\pi}{2}$$

Так как $\cos \frac{5\pi}{2} = \cos \frac{\pi}{2} = 0$ и $\sin \frac{5\pi}{2} = \sin \frac{\pi}{2} = 1$, то:

$$z^{30} = 0 + i = i$$

Ответ: $i$.

Итог:

а) $-64i$

б) $i$