ГДЗ по Алгебре 10 Класс Номер 36.15 Профильный Уровень Мордкович — Подробные Ответы

Пусть $\{z, z^2, z^3, \ldots, z^n, z^{n+1}, \ldots\}$ — бесконечная геометрическая прогрессия со знаменателем $z = \cos 0,2\pi + i \sin 0,2\pi$.

а) Укажите наименьшее натуральное значение $n$, при котором $z^n$ принадлежит второй координатной четверти.

б) Укажите наименьшее натуральное значение $n$, при котором $z^n$ принадлежит четвёртой координатной четверти.

в) Укажите наименьшее натуральное значение $n$, при котором $z^n = 1$.

г) Сколько в этой прогрессии различных чисел?

$z, z^2, z^3, \ldots, z^n, z^{n+1}, \ldots$ — геометрическая прогрессия;

$z = \cos 0,2\pi + i \sin 0,2\pi$;

$a = n \cdot 0,2\pi = \frac{\pi}{5} \cdot n$;

а) Наименьшее значение $n$, при котором $z^n$ принадлежит второй координатной четверти:

$$\frac{\pi}{2} < \frac{\pi}{5} \cdot n < \pi;$$ $$\frac{\pi}{2} \cdot \frac{5}{\pi} < n < \pi \cdot \frac{5}{\pi};$$ $$2,5 < n < 5;$$

Ответ: 3.

б) Наименьшее значение $n$, при котором $z^n$ принадлежит четвертой координатной четверти:

$$\frac{3\pi}{2} < \frac{\pi}{5} \cdot n < 2\pi;$$ $$\frac{3\pi}{2} \cdot \frac{5}{\pi} < n < 2\pi \cdot \frac{5}{\pi};$$ $$7,5 < n < 10;$$

Ответ: 8.

в) Наименьшее значение $n$, при котором $z^n = 1$:

$$\sin(n \cdot 0,2\pi) = 0 \quad \text{и} \quad \cos(n \cdot 0,2\pi) = 1;$$ $$n \cdot 0,2\pi = 0, \quad \text{отсюда } n = 0;$$ $$n \cdot 0,2\pi = 2\pi, \quad \text{отсюда } n = 10;$$

Ответ: 10.

г) Различных чисел в данной прогрессии:

$$N = \frac{2\pi}{0,2\pi} = \frac{20}{2} = 10;$$

Ответ: 10.

Условие:

• $z = \cos 0,2\pi + i \sin 0,2\pi$ — это комплексное число в виде $z = e^{i \cdot 0,2\pi}$, где $\theta = 0,2\pi$ — аргумент числа $z$.
• Каждый член прогрессии $z^n$ можно записать как $z^n = e^{i \cdot n \cdot 0,2\pi} = \cos(n \cdot 0,2\pi) + i \sin(n \cdot 0,2\pi)$.

а) Наименьшее значение $n$, при котором $z^n$ принадлежит второй координатной четверти.

Что нужно сделать:

Нам нужно найти наименьшее значение $n$, при котором $z^n$ попадает во вторую координатную четверть. Напомним, что угол во второй четверти лежит между $\frac{\pi}{2}$ и $\pi$.

Решение:

Для того чтобы $z^n$ попало во вторую координатную четверть, аргумент этого числа должен быть в интервале $\frac{\pi}{2} < n \cdot 0,2\pi < \pi$.

• Первое неравенство:

  $$\frac{\pi}{2} < n \cdot 0,2\pi$$

  Разделим обе части на $0,2\pi$:

  $$\frac{\pi}{2} \cdot \frac{5}{\pi} < n$$

  Получаем:

  $$2,5 < n$$

• Второе неравенство:

  $$n \cdot 0,2\pi < \pi$$

  Разделим обе части на $0,2\pi$:

  $$n < \pi \cdot \frac{5}{\pi}$$

  Получаем:

  $$n < 5$$

Таким образом, наименьшее значение $n$, которое удовлетворяет этим неравенствам, это $n = 3$.

Ответ: 3.

б) Наименьшее значение $n$, при котором $z^n$ принадлежит четвертой координатной четверти.

Что нужно сделать:

Нам нужно найти наименьшее значение $n$, при котором $z^n$ попадает в четвертую координатную четверть. Угол в четвертой четверти лежит между $\frac{3\pi}{2}$ и $2\pi$.

Решение:

Для того чтобы $z^n$ попало в четвертую координатную четверть, аргумент этого числа должен быть в интервале $\frac{3\pi}{2} < n \cdot 0,2\pi < 2\pi$.

• Первое неравенство:

  $$\frac{3\pi}{2} < n \cdot 0,2\pi$$

  Разделим обе части на $0,2\pi$:

  $$\frac{3\pi}{2} \cdot \frac{5}{\pi} < n$$

  Получаем:

  $$7,5 < n$$

• Второе неравенство:

  $$n \cdot 0,2\pi < 2\pi$$

  Разделим обе части на $0,2\pi$:

  $$n < 2\pi \cdot \frac{5}{\pi}$$

  Получаем:

  $$n < 10$$

Таким образом, наименьшее значение $n$, которое удовлетворяет этим неравенствам, это $n = 8$.

Ответ: 8.

в) Наименьшее значение $n$, при котором $z^n = 1$.

Что нужно сделать:

Нам нужно найти наименьшее значение $n$, при котором $z^n = 1$. Это означает, что $\cos(n \cdot 0,2\pi) = 1$ и $\sin(n \cdot 0,2\pi) = 0$. То есть $n \cdot 0,2\pi$ должно быть кратно $2\pi$, так как $z^n = 1$ соответствует полному обороту на круге.

Решение:

Чтобы $z^n = 1$, нужно, чтобы угол $n \cdot 0,2\pi$ был равен $2\pi$ (или целому числу $2\pi$).

• Решение $\sin(n \cdot 0,2\pi) = 0$ и $\cos(n \cdot 0,2\pi) = 1$ дает уравнение:

  $$n \cdot 0,2\pi = 2k\pi, \quad \text{где} \quad k \in \mathbb{Z}.$$

• Из этого уравнения:

  $$n \cdot 0,2\pi = 2\pi \quad \Rightarrow \quad n = 10.$$

Ответ: 10.

г) Различных чисел в данной прогрессии.

Что нужно сделать:

Нам нужно найти, сколько различных чисел может быть в геометрической прогрессии, если её член $z^n$ повторяется после полного оборота, то есть когда $n$ достигает 10, то $z^{10} = 1$.

Решение:

Члены прогрессии $z^n$ принимают различные значения до тех пор, пока $n$ не станет кратным 10. Общее количество различных чисел равно числу уникальных значений $z^n$ за полный оборот (когда $n$ от 0 до 9).

• Поскольку $z^{10} = 1$, все остальные значения будут повторяться. Следовательно, общее количество различных чисел равно 10.

Ответ: 10.

Итоговые ответы:

1. $n = 3$ (вторая координатная четверть).
2. $n = 8$ (четвертая координатная четверть).
3. $n = 10$ ($z^n = 1$).
4. 10 различных чисел в прогрессии.