ГДЗ по Алгебре 10 Класс Номер 36.16 Профильный Уровень Мордкович — Подробные Ответы

Пусть $\{z, z^2, z^3, \ldots, z^n, z^{n+1}, \ldots\}$ — бесконечная геометрическая прогрессия со знаменателем $z = \cos 0.03\pi + i \sin 0.03\pi$.

а) Укажите наименьшее натуральное значение $n$, при котором $z^n$ принадлежит второй координатной четверти.

б) Укажите наименьшее натуральное значение $n$, при котором $z^n$ принадлежит третьей координатной четверти.

в) Укажите наименьшее натуральное значение $n$, при котором $z^n = -1$.

г) Сколько в этой прогрессии различных чисел?

$z, z^2, z^3, \ldots, z^n, z^{n+1}, \ldots$ — геометрическая прогрессия;

$z = \cos 0,03\pi + i \sin 0,03\pi$;

$a = n \cdot 0,03\pi = \frac{3\pi}{100} \cdot n$;

а) Наименьшее значение $n$, при котором $z^n$ принадлежит второй координатной четверти:

$$\frac{\pi}{2} < \frac{3\pi}{100} \cdot n < \pi;$$ $$\frac{\pi}{2} \cdot \frac{100}{3\pi} < n < \pi \cdot \frac{100}{3\pi};$$ $$\frac{50}{3} < n < \frac{100}{3};$$ $$16\frac{2}{3} < n < 33\frac{1}{3};$$

Ответ: 17.

б) Наименьшее значение $n$, при котором $z^n$ принадлежит третьей координатной четверти:

$$\pi < \frac{3\pi}{100} \cdot n < \frac{3\pi}{2};$$ $$\pi \cdot \frac{100}{3\pi} < n < \frac{3\pi}{2} \cdot \frac{100}{3\pi};$$ $$\frac{100}{3} < n < 50;$$ $$33\frac{1}{3} < n < 50;$$

Ответ: 34.

в) Наименьшее значение $n$, при котором $z^n = -1$:

$$\sin(n \cdot 0,03\pi) = 0 \quad \text{и} \quad \cos(n \cdot 0,03\pi) = -1;$$ $$n \cdot 0,03\pi = \pi, \quad \text{отсюда } n = 33,(3);$$ $$n \cdot 0,03\pi = 3\pi, \quad \text{отсюда } n = 100;$$

Ответ: 100.

г) Различных чисел в данной прогрессии:

$$N = \frac{2\pi}{0,03\pi} = \frac{200}{3} = 66,(6);$$ $$N = \frac{4\pi}{0,03\pi} = \frac{400}{3} = 133,(3);$$ $$N = \frac{6\pi}{0,03\pi} = \frac{600}{3} = 200;$$

Ответ: 200.

У нас есть геометрическая прогрессия:

$$z, z^2, z^3, \ldots, z^n, z^{n+1}, \ldots$$

где $z$ — это комплексное число, задающее прогрессию. В данном случае:

$$z = \cos(0,03\pi) + i \sin(0,03\pi)$$

Это представление числа $z$ в форме, соответствующей формуле Эйлера для комплексных чисел. Задача состоит в том, чтобы исследовать, при каких значениях $n$ числа $z^n$ попадают в определённые координатные четверти комплексной плоскости и каковы различные свойства этой прогрессии.

Разбор части а) — наименьшее значение $n$, при котором $z^n$ принадлежит второй координатной четверти:

1. Понимание геометрического расположения комплексных чисел

Число $z = \cos(0,03\pi) + i \sin(0,03\pi)$ на комплексной плоскости соответствует точке, расположенной на круге радиуса 1 (единичный круг), под углом $0,03\pi$ от положительной оси вещественных чисел (оси $x$).

Если мы возведём это число в степень $n$, то угол $\theta$ (угол между положительной осью вещественных чисел и радиусом, проходящим через точку $z^n$) увеличится на $n \cdot 0,03\pi$. Таким образом, точка $z^n$ будет расположена под углом $n \cdot 0,03\pi$ от положительной оси $x$.

2. Условия для попадания в нужную четверть

• Вторая координатная четверть — это область, где угол $\theta$ лежит в интервале от $\frac{\pi}{2}$ до $\pi$, то есть:

$$\frac{\pi}{2} < n \cdot 0,03\pi < \pi$$

3. Перевод в неравенство для $n$

Чтобы найти значения $n$, при которых точка $z^n$ лежит во второй четверти, поделим все части неравенства на $0,03\pi$:

$$\frac{\pi}{2} \cdot \frac{100}{3\pi} < n < \pi \cdot \frac{100}{3\pi}$$

Упростим каждую часть:

$$\frac{50}{3} < n < \frac{100}{3}$$

Таким образом:

$$16\frac{2}{3} < n < 33\frac{1}{3}$$

Это означает, что наименьшее целое значение $n$, которое удовлетворяет этому неравенству, равно 17.

Ответ: 17.

Разбор части б) — наименьшее значение $n$, при котором $z^n$ принадлежит третьей координатной четверти:

1. Условия для попадания в третью четверть

Третья координатная четверть — это область, где угол $\theta$ лежит в интервале от $\pi$ до $\frac{3\pi}{2}$. То есть, мы ищем $n$, при которых:

$$\pi < n \cdot 0,03\pi < \frac{3\pi}{2}$$

2. Перевод в неравенство для $n$

Разделим все части на $0,03\pi$:

$$\pi \cdot \frac{100}{3\pi} < n < \frac{3\pi}{2} \cdot \frac{100}{3\pi}$$

Упростим каждую часть:

$$\frac{100}{3} < n < 50$$

Таким образом:

$$33\frac{1}{3} < n < 50$$

Наименьшее целое значение $n$, которое удовлетворяет этому неравенству, равно 34.

Ответ: 34.

Разбор части в) — наименьшее значение $n$, при котором $z^n = -1$:

1. Условия для $z^n = -1$

Комплексное число $z^n = -1$ имеет вид $\cos(\pi) + i \sin(\pi)$. Таким образом, угол, под которым число $z^n$ лежит на комплексной плоскости, должен быть равен $\pi$ (или любому углу, кратному $\pi$, то есть $\pi, 3\pi, 5\pi, \ldots$).

Итак, для того, чтобы $z^n = -1$, нам нужно, чтобы угол $n \cdot 0,03\pi$ был равен $\pi, 3\pi, 5\pi, \ldots$. Это означает, что:

$$n \cdot 0,03\pi = k\pi, \quad \text{где } k \text{ — целое число.}$$

2. Решение для $k = 1$

Для $k = 1$:

$$n \cdot 0,03\pi = \pi \quad \Rightarrow \quad n = \frac{\pi}{0,03\pi} = \frac{1}{0,03} = 33,(3)$$

3. Решение для $k = 3$

Для $k = 3$:

$$n \cdot 0,03\pi = 3\pi \quad \Rightarrow \quad n = \frac{3\pi}{0,03\pi} = \frac{3}{0,03} = 100$$

Таким образом, наименьшее значение $n$, при котором $z^n = -1$, равно 100.

Ответ: 100.

Разбор части г) — количество различных чисел в прогрессии:

1. Количество различных чисел в прогрессии

Числа $z^n$ в данной прогрессии принимают различные значения, пока угол $n \cdot 0,03\pi$ не станет равным исходному углу $0,03\pi$, что означает завершение цикла. Периодичность прогрессии обусловлена тем, что комплексные числа $z^n$ образуют многоугольник на единичной окружности, и прогрессия будет повторяться после полного оборота (когда угол возвращается к первоначальному значению).

Периодичность углов можно вычислить, разделив $2\pi$ на шаг прогрессии $0,03\pi$:

$$N = \frac{2\pi}{0,03\pi} = \frac{200}{3} = 66,(6)$$

Таким образом, количество различных чисел в прогрессии будет равно 200, так как периодичность составляет $200$ шагов.

Ответ: 200.

Итоговые ответы:

а) 17

б) 34

в) 100

г) 200