ГДЗ по Алгебре 10 Класс Номер 36.17 Профильный Уровень Мордкович — Подробные Ответы

Пусть $\{z, z^2, z^3, \ldots, z^n, z^{n+1}, \ldots\}$ — бесконечная геометрическая прогрессия со знаменателем $z = \cos 0,1\pi — i \sin 0,1\pi$.

а) Укажите наименьшее натуральное значение $n$, при котором $z^n$ принадлежит третьей координатной четверти.

б) Укажите наименьшее натуральное значение $n$, при котором $z^n$ принадлежит второй координатной четверти.

в) Сколько в этой прогрессии различных чисел?

г) Найдите сумму этих различных чисел.

$z, z^2, z^3, \ldots, z^n, z^{n+1}, \ldots$ — геометрическая прогрессия;

$z = \cos 0,1\pi — i \sin 0,1\pi = \cos(-0,1\pi) + i \cos(-0,1\pi);$

$a = n \cdot (-0,1\pi) = -\frac{\pi}{10} \cdot n;$

а) Наименьшее значение $n$, при котором $z^n$ принадлежит третьей координатной четверти:

$$\pi — 2\pi < -\frac{\pi}{10} \cdot n < \frac{3\pi}{2} — 2\pi;$$ $$-\pi < -\frac{\pi}{10} \cdot n < -\frac{\pi}{2};$$ $$\frac{\pi}{2} < \frac{\pi}{10} \cdot n < \pi;$$ $$\frac{\pi}{2} \cdot \frac{10}{\pi} < n \leqslant \pi \cdot \frac{10}{\pi};$$ $$5 < n < 10;$$

Ответ: 6.

б) Наименьшее значение $n$, при котором $z^n$ принадлежит второй координатной четверти:

$$\frac{\pi}{2} — 2\pi < -\frac{\pi}{10} \cdot n < \pi — 2\pi;$$ $$-\frac{3\pi}{2} < -\frac{\pi}{10} \cdot n < -\pi;$$ $$\pi < \frac{\pi}{10} \cdot n < \frac{3\pi}{2};$$ $$\pi \cdot \frac{10}{\pi} < n \leqslant \frac{3\pi}{2} \cdot \frac{10}{\pi};$$ $$10 < n < 15;$$

Ответ: 11.

в) Различных чисел в данной прогрессии:

$$N = \frac{2\pi}{0,1\pi} = \frac{20}{1} = 20;$$

Ответ: 20.

г) Согласно третьему следствию из теоремы Муавра множество степеней числа $z$ образуют на комплексной плоскости множество вершин правильного многоугольника, а значит все эти 20 различных чисел разбиваются на пары (по диагоналям многоугольника), сумма каждой из которых равна нулю;

Ответ: 0.

У нас есть геометрическая прогрессия, элементы которой можно записать в виде:

$$z, z^2, z^3, \ldots, z^n, z^{n+1}, \ldots$$

где $z$ — это комплексное число. Мы также знаем его выражение в тригонометрической форме:

$$z = \cos(0,1\pi) — i \sin(0,1\pi) = \cos(-0,1\pi) + i \sin(-0,1\pi).$$

Мы использовали формулы Эйлера и синуса и косинуса для выражения $z$ в комплексной форме.

Определим величину $a$ (угловой коэффициент для степеней $z^n$):

$$a = n \cdot (-0,1\pi) = -\frac{\pi}{10} \cdot n.$$

Теперь мы можем начать решать поставленные задачи.

а) Наименьшее значение $n$, при котором $z^n$ принадлежит третьей координатной четверти:

Третья координатная четверть (или третья четверть на комплексной плоскости) — это область, где аргумент числа $z^n$ лежит в интервале:

$$\pi < \arg(z^n) < \frac{3\pi}{2}.$$

Для чисел вида $z^n$, где $z = e^{i \cdot a}$, аргумент будет равен $n \cdot a$. То есть, мы должны найти наименьшее $n$, для которого:

$$\pi < -\frac{\pi}{10} \cdot n < \frac{3\pi}{2}.$$

Теперь решим неравенство. Начнем с левой части:

$$\pi < -\frac{\pi}{10} \cdot n.$$

Умножим обе части на -10 и не забудем, что при умножении на отрицательное число знак неравенства меняется:

$$-10\pi < n.$$

Таким образом, $n > 10$.

Теперь решим правую часть:

$$-\frac{\pi}{10} \cdot n < \frac{3\pi}{2}.$$

Умножим обе части на -10:

$$n > -15.$$

Теперь объединим оба неравенства:

$$-10 < n < -5.$$

Ответ: наименьшее значение $n = 6$.

б) Наименьшее значение $n$, при котором $z^n$ принадлежит второй координатной четверти:

Второй координатной четверти (или второй четверти на комплексной плоскости) соответствует условию:

$$\frac{\pi}{2} < \arg(z^n) < \pi.$$

В нашем случае:

$$\frac{\pi}{2} < -\frac{\pi}{10} \cdot n < \pi.$$

Решаем неравенство аналогично предыдущему. Начнем с левой части:

$$\frac{\pi}{2} < -\frac{\pi}{10} \cdot n.$$

Умножим обе части на -10:

$$-5\pi < n.$$

Таким образом, $n > 5$.

Теперь решим правую часть:

$$-\frac{\pi}{10} \cdot n < \pi.$$

Умножим обе части на -10:

$$n < 10.$$

Ответ: наименьшее значение $n = 6$.

в) Различных чисел в данной прогрессии:

Теперь найдем количество различных чисел в геометрической прогрессии. Мы знаем, что:

$$N = \frac{2\pi}{0,1\pi} = 20.$$

Ответ: 20.

г) Согласно третьему следствию из теоремы Муавра:

Теорема Муавра говорит о том, что для комплексного числа $z$, являющегося корнем единицы, множество его степеней образует правильный многоугольник. Таким образом, все 20 различных чисел разбиваются на пары, и сумма каждой из этих пар равна нулю. Это происходит, потому что все они симметричны относительно начала координат, и противоположные точки (диагонали многоугольника) всегда суммируются в ноль.

Ответ: 0.