ГДЗ по Алгебре 10 Класс Номер 36.18 Профильный Уровень Мордкович — Подробные Ответы

Пусть $\{z, z^2, z^3, \ldots, z^n, z^{n+1}, \ldots\}$ — бесконечная геометрическая прогрессия со знаменателем $z = \cos 0,01\pi — i \sin 0,01\pi$.

а) Укажите наименьшее натуральное значение $n$, при котором $z^n$ принадлежит второй координатной четверти.

б) Сколько в этой прогрессии различных чисел?

в) Сколько из этих чисел лежат на осях координат?

г) Найдите сумму этих различных чисел.

$z, z^2, z^3, \ldots, z^n, z^{n+1}, \ldots$ — геометрическая прогрессия;

$z = \cos 0,01\pi — i \sin 0,01\pi = \cos(-0,01\pi) + i \cos(-0,01\pi);$

$a = n \cdot (-0,01\pi) = -\frac{\pi}{100} \cdot n;$

а) Наименьшее значение $n$, при котором $z^n$ принадлежит второй координатной четверти:

$$\frac{\pi}{2} — 2\pi < -\frac{\pi}{100} \cdot n < \pi — 2\pi;$$ $$-\frac{3\pi}{2} < -\frac{\pi}{100} \cdot n < -\pi;$$ $$\pi < \frac{\pi}{100} \cdot n < \frac{3\pi}{2};$$ $$\pi \cdot \frac{100}{\pi} < n < \frac{3\pi}{2} \cdot \frac{100}{\pi};$$ $$100 < n < 150;$$

Ответ: 101.

б) Различных чисел в данной прогрессии:

$$N = \frac{2\pi}{0,01\pi} = \frac{200}{1} = 200;$$

Ответ: 200.

в) Числа, лежащие на осях координат:

$$-\frac{\pi}{100} \cdot n = -\frac{\pi}{2}, \text{ отсюда } n = \frac{\pi}{2} \cdot \frac{100}{\pi} = 50;$$ $$-\frac{\pi}{100} \cdot n = -\pi, \text{ отсюда } n = \pi \cdot \frac{100}{\pi} = 100;$$ $$-\frac{\pi}{100} \cdot n = -\frac{3\pi}{2}, \text{ отсюда } n = \frac{3\pi}{2} \cdot \frac{100}{\pi} = 150;$$ $$-\frac{\pi}{100} \cdot n = -2\pi, \text{ отсюда } n = 2\pi \cdot \frac{100}{\pi} = 200;$$

Ответ: 4.

г) Согласно третьему следствию из теоремы Муавра множество степеней числа $z$ образуют на комплексной плоскости множество вершин правильного многоугольника, а значит все эти 200 различных чисел разбиваются на пары (по диагоналям многоугольника), сумма каждой из которых равна нулю;

Ответ: 0.

Геометрическая прогрессия вида:

$$z, z^2, z^3, \dots, z^n, z^{n+1}, \dots$$

где $z$ — комплексное число. Известно, что:

$$z = \cos 0,01\pi — i \sin 0,01\pi = \cos(-0,01\pi) + i \sin(-0,01\pi)$$

Это записано в виде комплексного числа в экспоненциальной форме. На основе этого запишем $z$ как:

$$z = e^{-i \cdot 0,01\pi}$$

Таким образом, элементы геометрической прогрессии $z^n$ будут выглядеть как:

$$z^n = e^{-i \cdot 0,01\pi \cdot n}$$

Теперь будем решать задачи по частям.

а) Наименьшее значение $n$, при котором $z^n$ принадлежит второй координатной четверти:

Шаг 1: Условие для второй четверти:

Для того чтобы $z^n$ находилось во второй координатной четверти на комплексной плоскости, аргумент комплексного числа $z^n$ должен удовлетворять следующему условию:

$$\frac{\pi}{2} < \arg(z^n) < \pi$$

Шаг 2: Выражение для аргумента $z^n$:

Мы знаем, что:

$$\arg(z^n) = -0,01\pi \cdot n$$

Теперь подставим это в условие второй координатной четверти:

$$\frac{\pi}{2} < -0,01\pi \cdot n < \pi$$

Шаг 3: Преобразование неравенства:

Умножим всё неравенство на $-1$ (не забываем, что при умножении на отрицательное число неравенства меняют знак):

$$-\pi < 0,01\pi \cdot n < -\frac{\pi}{2}$$

Шаг 4: Умножим на $100 / \pi$, чтобы выразить $n$:

$$\frac{100}{\pi} \cdot (-\pi) < n < \frac{100}{\pi} \cdot \left(-\frac{\pi}{2}\right)$$

Упростим:

$$100 < n < 150$$

Шаг 5: Минимальное значение $n$:

Наименьшее целое значение $n$, которое удовлетворяет этому неравенству, равно 101.

Ответ: 101

б) Различных чисел в данной прогрессии:

Шаг 1: Периодичность прогрессии:

Вопрос о количестве различных чисел в прогрессии связан с тем, что степени комплексного числа $z$ периодичны. Период определяется как:

$$z^{n+T} = z^n \quad \text{для некоторого } T$$

Найдем период прогрессии. Мы знаем, что:

$$z = e^{-i \cdot 0,01\pi}$$

Это число повторится через $T$, когда аргумент $-0,01\pi \cdot T$ станет равным $2\pi$, то есть когда:

$$-0,01\pi \cdot T = 2\pi$$

Шаг 2: Нахождение периода $T$:

Решим это уравнение:

$$T = \frac{2\pi}{0,01\pi} = 200$$

Шаг 3: Количество различных чисел:

Таким образом, прогрессия будет повторяться через 200 элементов, что означает, что в данной прогрессии будет ровно 200 различных чисел.

Ответ: 200

в) Числа, лежащие на осях координат:

Чтобы найти числа, лежащие на осях координат, нам нужно решить, при каких значениях $n$ аргумент $z^n$ будет равен $0, \frac{\pi}{2}, \pi, \frac{3\pi}{2}$, или $2\pi$, то есть для $n$, при которых:

$$-0,01\pi \cdot n = k\pi, \quad k \in \mathbb{Z}$$

Шаг 1: Находим $n$ для каждой из осей:

• Для оси $x$ (реальная ось), когда $-0,01\pi \cdot n = -\frac{\pi}{2}$:

$$n = \frac{-\frac{\pi}{2}}{-0,01\pi} = 50$$

• Для оси $y$ (мнимая ось), когда $-0,01\pi \cdot n = -\pi$:

$$n = \frac{-\pi}{-0,01\pi} = 100$$

• Для оси $-x$ (отрицательная реальная ось), когда $-0,01\pi \cdot n = -\frac{3\pi}{2}$:

$$n = \frac{-\frac{3\pi}{2}}{-0,01\pi} = 150$$

• Для оси $-y$ (отрицательная мнимая ось), когда $-0,01\pi \cdot n = -2\pi$:

$$n = \frac{-2\pi}{-0,01\pi} = 200$$

Шаг 2: Подсчитаем количество чисел:

Значения $n = 50, 100, 150, 200$ дают нам 4 числа, лежащих на осях.

Ответ: 4

г) Сумма каждой пары чисел, равна нулю:

По теореме Муавра (или её следствию) можно утверждать, что все степени комплексного числа $z$ образуют на комплексной плоскости вершины правильного многоугольника. Эти вершины разбиваются на пары, расположенные по противоположным диагоналям, и сумма каждой пары равна нулю.

Шаг 1: Объяснение:

Каждое число в прогрессии $z^n$ и его противоположное $z^{n+k}$ (где $k$ — фиксированное количество, определяемое периодом) образуют пару чисел, сумма которых равна нулю. Поскольку прогрессия периодична и содержит 200 чисел, мы можем утверждать, что все 200 чисел разбиваются на 100 пар, сумма каждой из которых равна нулю.

Ответ: 0