ГДЗ по Алгебре 10 Класс Номер 36.19 Профильный Уровень Мордкович — Подробные Ответы

Пусть $z = 1 + i$. Какие числа из множества $\{z, z^2, z^3, \ldots, z^{11}, z^{12}\}$ лежат:

а) на оси абсцисс;

б) правее прямой $x = 9$;

в) левее оси ординат;

г) выше прямой $y = 2$?

$$|z| = \sqrt{1^2 + 1^2} = \sqrt{1 + 1} = \sqrt{2}, \text{ тогда } a = \arccos \frac{1}{\sqrt{2}} = \frac{\pi}{4};$$ $$z = \sqrt{2} \left( \cos \frac{\pi}{4} + i \sin \frac{\pi}{4} \right) = \sqrt{2} \left( \frac{\sqrt{2}}{2} + \frac{\sqrt{2}}{2} i \right) = 1 + i;$$ $$z^2 = 2 \left( \cos \frac{\pi}{2} + i \sin \frac{\pi}{2} \right) = 2 (0 + 1i) = 2i;$$ $$z^3 = 2\sqrt{2} \left( \cos \frac{3\pi}{4} + i \sin \frac{3\pi}{4} \right) = 2\sqrt{2} \left( -\frac{1}{\sqrt{2}} + \frac{1}{\sqrt{2}} i \right) = -2 + 2i;$$ $$z^4 = 4 (\cos \pi + i \sin \pi) = 4 (-1 + 0i) = -4;$$ $$z^5 = 4\sqrt{2} \left( \cos \frac{5\pi}{4} + i \sin \frac{5\pi}{4} \right) = 4\sqrt{2} \left( -\frac{1}{\sqrt{2}} — \frac{1}{\sqrt{2}} i \right) = -4 — 4i;$$ $$z^6 = 8 \left( \cos \frac{3\pi}{2} + i \sin \frac{3\pi}{2} \right) = 8 (0 — 1i) = -8i;$$ $$z^7 = 8\sqrt{2} \left( \cos \frac{7\pi}{4} + i \sin \frac{7\pi}{4} \right) = 8\sqrt{2} \left( \frac{1}{\sqrt{2}} — \frac{1}{\sqrt{2}} i \right) = 8 — 8i;$$ $$z^8 = 16 (\cos 2\pi + i \sin 2\pi) = 16 (1 + 0i) = 16;$$ $$z^9 = 16\sqrt{2} \left( \cos \frac{\pi}{4} + i \sin \frac{\pi}{4} \right) = 16\sqrt{2} \left( \frac{\sqrt{2}}{2} + \frac{\sqrt{2}}{2} i \right) = 16 + 16i;$$ $$z^{10} = 32 \left( \cos \frac{\pi}{2} + i \sin \frac{\pi}{2} \right) = 32 (0 + 1i) = 32i;$$ $$z^{11} = 32\sqrt{2} \left( \cos \frac{3\pi}{4} + i \sin \frac{3\pi}{4} \right) = 32\sqrt{2} \left( -\frac{1}{\sqrt{2}} + \frac{1}{\sqrt{2}} i \right) = -32 + 32i;$$ $$z^{12} = 64 (\cos \pi + i \sin \pi) = 64 (-1 + 0i) = -64;$$

а) Числа, лежащие на оси абсцисс (y = 0):

$$z^4; \, z^8; \, z^{12};$$

б) Числа, лежащие правее прямой $x = 9$ (x > 9):

$$z^8; \, z^9;$$

в) Числа, лежащие левее оси ординат (x < 0):

$$z^3; \, z^4; \, z^5; \, z^{11}; \, z^{12};$$

г) Числа, лежащие выше прямой $y = 2$ (y > 2):

$$z^9; \, z^{10}; \, z^{11};$$

Дано комплексное число $z = 1 + i$. Нужно найти несколько характеристик степеней этого числа.

Шаг 1: Вычисление модуля и аргумента числа $z$

Для начала вычислим модуль числа $z = 1 + i$.

Модуль числа $z$:

$$|z| = \sqrt{1^2 + 1^2} = \sqrt{1 + 1} = \sqrt{2}$$

Модуль числа $z$ равен $\sqrt{2}$.

Аргумент числа $z$:

Аргумент числа $z$ можно вычислить, используя выражение:

$$a = \arccos \frac{1}{\sqrt{2}} = \frac{\pi}{4}$$

Это объясняется тем, что для числа $z = 1 + i$, его действительная и мнимая части равны, что означает, что аргумент числа $z$ равен $\frac{\pi}{4}$, так как угол $\frac{\pi}{4}$ соответствует числам вида $1 + i$.

Шаг 2: Запись числа $z$ в полярной форме

Число $z = 1 + i$ можно записать в полярной форме, используя модуль $|z| = \sqrt{2}$ и аргумент $a = \frac{\pi}{4}$:

$$z = \sqrt{2} \left( \cos \frac{\pi}{4} + i \sin \frac{\pi}{4} \right)$$

Таким образом, число $z$ в полярной форме:

$$z = \sqrt{2} \left( \frac{\sqrt{2}}{2} + \frac{\sqrt{2}}{2} i \right) = 1 + i$$

Шаг 3: Вычисление степеней числа $z$

Теперь вычислим несколько степеней числа $z$ для дальнейшего анализа.

Вычисление $z^2$:

Используем формулу для возведения комплексного числа в степень в полярной форме:

$$z^2 = \left( \sqrt{2} \right)^2 \left( \cos \frac{\pi}{4} \cdot 2 + i \sin \frac{\pi}{4} \cdot 2 \right)$$ $$z^2 = 2 \left( \cos \frac{\pi}{2} + i \sin \frac{\pi}{2} \right) = 2 (0 + 1i) = 2i$$

Вычисление $z^3$:

$$z^3 = \left( \sqrt{2} \right)^3 \left( \cos \frac{\pi}{4} \cdot 3 + i \sin \frac{\pi}{4} \cdot 3 \right)$$ $$z^3 = 2\sqrt{2} \left( \cos \frac{3\pi}{4} + i \sin \frac{3\pi}{4} \right)$$ $$z^3 = 2\sqrt{2} \left( -\frac{1}{\sqrt{2}} + \frac{1}{\sqrt{2}} i \right) = -2 + 2i$$

Вычисление $z^4$:

$$z^4 = \left( \sqrt{2} \right)^4 \left( \cos \frac{\pi}{4} \cdot 4 + i \sin \frac{\pi}{4} \cdot 4 \right)$$ $$z^4 = 4 (\cos \pi + i \sin \pi) = 4 (-1 + 0i) = -4$$

Вычисление $z^5$:

$$z^5 = \left( \sqrt{2} \right)^5 \left( \cos \frac{\pi}{4} \cdot 5 + i \sin \frac{\pi}{4} \cdot 5 \right)$$ $$z^5 = 4\sqrt{2} \left( \cos \frac{5\pi}{4} + i \sin \frac{5\pi}{4} \right)$$ $$z^5 = 4\sqrt{2} \left( -\frac{1}{\sqrt{2}} — \frac{1}{\sqrt{2}} i \right) = -4 — 4i$$

Вычисление $z^6$:

$$z^6 = \left( \sqrt{2} \right)^6 \left( \cos \frac{\pi}{4} \cdot 6 + i \sin \frac{\pi}{4} \cdot 6 \right)$$ $$z^6 = 8 \left( \cos \frac{3\pi}{2} + i \sin \frac{3\pi}{2} \right) = 8 (0 — 1i) = -8i$$

Вычисление $z^7$:

$$z^7 = \left( \sqrt{2} \right)^7 \left( \cos \frac{\pi}{4} \cdot 7 + i \sin \frac{\pi}{4} \cdot 7 \right)$$ $$z^7 = 8\sqrt{2} \left( \cos \frac{7\pi}{4} + i \sin \frac{7\pi}{4} \right)$$ $$z^7 = 8\sqrt{2} \left( \frac{1}{\sqrt{2}} — \frac{1}{\sqrt{2}} i \right) = 8 — 8i$$

Вычисление $z^8$:

$$z^8 = \left( \sqrt{2} \right)^8 \left( \cos \frac{\pi}{4} \cdot 8 + i \sin \frac{\pi}{4} \cdot 8 \right)$$ $$z^8 = 16 (\cos 2\pi + i \sin 2\pi) = 16 (1 + 0i) = 16$$

Вычисление $z^9$:

$$z^9 = \left( \sqrt{2} \right)^9 \left( \cos \frac{\pi}{4} \cdot 9 + i \sin \frac{\pi}{4} \cdot 9 \right)$$ $$z^9 = 16\sqrt{2} \left( \cos \frac{\pi}{4} + i \sin \frac{\pi}{4} \right)$$ $$z^9 = 16\sqrt{2} \left( \frac{\sqrt{2}}{2} + \frac{\sqrt{2}}{2} i \right) = 16 + 16i$$

Вычисление $z^{10}$:

$$z^{10} = \left( \sqrt{2} \right)^{10} \left( \cos \frac{\pi}{4} \cdot 10 + i \sin \frac{\pi}{4} \cdot 10 \right)$$ $$z^{10} = 32 \left( \cos \frac{\pi}{2} + i \sin \frac{\pi}{2} \right) = 32 (0 + 1i) = 32i$$

Вычисление $z^{11}$:

$$z^{11} = \left( \sqrt{2} \right)^{11} \left( \cos \frac{\pi}{4} \cdot 11 + i \sin \frac{\pi}{4} \cdot 11 \right)$$ $$z^{11} = 32\sqrt{2} \left( \cos \frac{3\pi}{4} + i \sin \frac{3\pi}{4} \right)$$ $$z^{11} = 32\sqrt{2} \left( -\frac{1}{\sqrt{2}} + \frac{1}{\sqrt{2}} i \right) = -32 + 32i$$

Вычисление $z^{12}$:

$$z^{12} = \left( \sqrt{2} \right)^{12} \left( \cos \frac{\pi}{4} \cdot 12 + i \sin \frac{\pi}{4} \cdot 12 \right)$$ $$z^{12} = 64 (\cos \pi + i \sin \pi) = 64 (-1 + 0i) = -64$$

Шаг 4: Ответы на вопросы

Теперь, основываясь на полученных значениях, отвечаем на вопросы.

а) Числа, лежащие на оси абсцисс (y = 0):

Числа на оси абсцисс имеют мнимую часть равную нулю, то есть числа вида $x + 0i$. Из полученных значений степеней числа $z$, это:

$$z^4 = -4, \quad z^8 = 16, \quad z^{12} = -64$$

Ответ: $z^4, z^8, z^{12}$.

б) Числа, лежащие правее прямой $x = 9$ (x > 9):

Для чисел, лежащих правее прямой $x = 9$, их действительная часть должна быть больше 9. Из полученных значений степеней числа $z$, это:

$$z^8 = 16, \quad z^9 = 16 + 16i$$

Ответ: $z^8, z^9$.

в) Числа, лежащие левее оси ординат (x < 0):

Числа, для которых действительная часть меньше нуля, это:

$$z^3=-2+2i,z^4=-4,z^5=-4-4i,$$

$$z^3 = -2 + 2i, \quad z^4 = -4, \quad z^5 = -4 — 4i, \quad z^{11} = -32 + 32i, \quad z^{12} = -64$$

Ответ: $z^3, z^4, z^5, z^{11}, z^{12}$.

г) Числа, лежащие выше прямой $y = 2$ (y > 2):

Числа, для которых мнимая часть больше 2:

$$z^9 = 16 + 16i, \quad z^{10} = 32i, \quad z^{11} = -32 + 32i$$

Ответ: $z^9, z^{10}, z^{11}$.

Итоговое решение:

а) Числа, лежащие на оси абсцисс: $z^4, z^8, z^{12}$.

б) Числа, лежащие правее прямой $x = 9$: $z^8, z^9$.

в) Числа, лежащие левее оси ординат: $z^3, z^4, z^5, z^{11}, z^{12}$.

г) Числа, лежащие выше прямой $y = 2$: $z^9, z^{10}, z^{11}$.