ГДЗ по Алгебре 10 Класс Номер 36.2 Профильный Уровень Мордкович — Подробные Ответы

Пусть $z = 3 (\cos 0,3\pi + i \sin 0,3\pi)$. Верно ли, что:

а) $z^6$ принадлежит первой координатной четверти;

б) $z^6$ принадлежит четвёртой координатной четверти, а его модуль больше 1000;

в) $z^6$ принадлежит четвёртой координатной четверти, а его модуль меньше 750;

г) $z^{16}$ принадлежит второй координатной четверти?

$z = 3(\cos 0,3\pi + i \sin 0,3\pi);$

Шестая степень числа $z$:

$z^6 = 3^6 (\cos(6 \cdot 0,3\pi) + i \sin(6 \cdot 0,3\pi)) = 729 (\cos 1,8\pi + i \sin 1,8\pi);$
$\frac{3\pi}{2} < 1,8\pi < 2\pi — \text{принадлежит четвертой координатной четверти};$
$729 < 750;$

Шестнадцатая степень числа $z$:

$z^{16} = 3^{16} (\cos(16 \cdot 0,3\pi) + i \sin(16 \cdot 0,3\pi));$
$z^{16} = 3^{16} (\cos 4,8\pi + i \sin 4,8\pi) = 3^{16} (\cos 0,8\pi + i \sin 0,8\pi);$
$\frac{\pi}{2} < 0,8\pi < \pi — \text{принадлежит второй координатной четверти};$

Ответ: а) неверно; б) неверно; в) верно; г) верно.

Комплексное число $z = 3(\cos 0,3\pi + i \sin 0,3\pi)$. Это представление числа в тригонометрической форме, где:

• Модуль $|z| = 3$,
• Аргумент $\arg(z) = 0,3\pi$.

Шаг 1: Шестая степень числа $z$

Нам нужно найти $z^6$. Используем формулу для возведения комплексного числа в степень в тригонометрической форме:

$$z^n = r^n \left( \cos(n\theta) + i \sin(n\theta) \right),$$

где $r$ — модуль числа, $\theta$ — аргумент числа, а $n$ — степень. В нашем случае:

• $r = 3$,
• $\theta = 0,3\pi$,
• $n = 6$.

Подставляем в формулу для $z^6$:

$$z^6 = 3^6 \left( \cos(6 \cdot 0,3\pi) + i \sin(6 \cdot 0,3\pi) \right).$$

Вычислим:

$$3^6 = 729,$$

и

$$6 \cdot 0,3\pi = 1,8\pi.$$

Таким образом,

$$z^6 = 729 \left( \cos(1,8\pi) + i \sin(1,8\pi) \right).$$

Теперь нам нужно разобраться, в какой четверти находится угол $1,8\pi$.

• $1,8\pi$ — это угол, который больше $\frac{3\pi}{2}$ и меньше $2\pi$, то есть он находится в четвертой координатной четверти.

Это важно, потому что при вычислениях нужно учитывать, что значения косинуса и синуса для угла в четвертой четверти будут следующие:

• $\cos(1,8\pi) = -\frac{\sqrt{2}}{2}$,
• $\sin(1,8\pi) = -\frac{\sqrt{2}}{2}$.

Тем не менее, в рамках самой задачи важно, что $1,8\pi$ лежит в четвертой координатной четверти.

Итак, окончательно:

$$z^6 = 729 \left( \cos(1,8\pi) + i \sin(1,8\pi) \right),$$

и эта форма является точной степенью.

Шаг 2: Шестнадцатая степень числа $z$

Теперь нам нужно найти $z^{16}$. Используем ту же формулу для возведения в степень:

$$z^{16} = 3^{16} \left( \cos(16 \cdot 0,3\pi) + i \sin(16 \cdot 0,3\pi) \right).$$

Вычислим:

$$16 \cdot 0,3\pi = 4,8\pi.$$

Подставляем:

$$z^{16} = 3^{16} \left( \cos(4,8\pi) + i \sin(4,8\pi) \right).$$

Теперь рассмотрим, что происходит с углом $4,8\pi$. Это значение больше $2\pi$, поэтому нужно привести его к эквивалентному значению на интервале $[0, 2\pi]$. Для этого вычитаем $2\pi$:

$$4,8\pi — 2\pi = 2,8\pi.$$

Теперь мы знаем, что $2,8\pi$ эквивалентно $0,8\pi$, и мы можем переписать:

$$z^{16} = 3^{16} \left( \cos(0,8\pi) + i \sin(0,8\pi) \right).$$

Теперь нам нужно понять, в какой четверти лежит угол $0,8\pi$.

• $0,8\pi$ — это угол, который больше $\frac{\pi}{2}$ и меньше $\pi$, то есть угол находится во второй координатной четверти.

Это также важно для понимания знаков косинуса и синуса:

• $\cos(0,8\pi) = -\frac{\sqrt{2}}{2}$,
• $\sin(0,8\pi) = \frac{\sqrt{2}}{2}$.

Таким образом, окончательно:

$$z^{16} = 3^{16} \left( \cos(0,8\pi) + i \sin(0,8\pi) \right).$$

Ответ: а) неверно; б) неверно; в) верно; г) верно.