ГДЗ по Алгебре 10 Класс Номер 36.20 Профильный Уровень Мордкович — Подробные Ответы

Вычислите и изобразите на комплексной плоскости:

а) $\sqrt[3]{64}$;

б) $\sqrt[3]{-27}$;

в) $\sqrt[3]{125i}$;

г) $\sqrt[3]{-512i}$

а) $\sqrt[3]{64}$;

Пусть $z = 64 + 0i$, тогда:

$$|z| = \sqrt{64^2 + 0^2} = 64, \quad \text{отсюда } \alpha = \arccos \frac{64}{64} = 0;$$ $$z = 64 (\cos 0 + i \sin 0);$$ $$\sqrt[3]{z} = \sqrt[3]{64} \left( \cos \frac{2\pi k}{3} + i \sin \frac{2\pi k}{3} \right), \quad \text{где } k = 0, 1, 2;$$

Корни уравнения:

$$\sqrt[3]{z} = 4 \left( \cos 0 + i \sin 0 \right) = 4 (1 + 0i) = 4;$$ $$\sqrt[3]{z} = 4 \left( \cos \frac{2\pi}{3} + i \sin \frac{2\pi}{3} \right) = 4 \left( -\frac{1}{2} + \frac{\sqrt{3}}{2} i \right) = 2 (-1 + \sqrt{3} i);$$ $$\sqrt[3]{z} = 4 \left( \cos \frac{4\pi}{3} + i \sin \frac{4\pi}{3} \right) = 4 \left( -\frac{1}{2} — \frac{\sqrt{3}}{2} i \right) = -2 (1 + \sqrt{3} i);$$

Ответ: $4; \, 2(-1 + \sqrt{3} i); \, -2(1 + \sqrt{3} i)$.

б) $\sqrt[3]{-27}$;

Пусть $z = -27 + 0i$, тогда:

$$|z| = \sqrt{(-27)^2 + 0^2} = 27, \quad \text{отсюда } \alpha = \arccos \frac{-27}{27} = \pi;$$ $$z = 27 (\cos \pi + i \sin \pi);$$ $$\sqrt[3]{z} = \sqrt[3]{27} \left( \cos \frac{\pi + 2\pi k}{3} + i \sin \frac{\pi + 2\pi k}{3} \right), \quad \text{где } k = 0, 1, 2;$$

Корни уравнения:

$$\sqrt[3]{z} = 3 \left( \cos \frac{\pi}{3} + i \sin \frac{\pi}{3} \right) = 3 \left( \frac{1}{2} + \frac{\sqrt{3}}{2} i \right) = 1.5 (1 + \sqrt{3} i);$$ $$\sqrt[3]{z} = 3 \left( \cos \frac{3\pi}{3} + i \sin \frac{3\pi}{3} \right) = 3 \left( -1 + 0i \right) = -3;$$ $$\sqrt[3]{z} = 3 \left( \cos \frac{5\pi}{3} + i \sin \frac{5\pi}{3} \right) = 3 \left( \frac{1}{2} — \frac{\sqrt{3}}{2} i \right) = 1.5 (1 — \sqrt{3} i);$$

Ответ: $1.5 (1 + \sqrt{3} i); \, -3; \, 1.5 (1 — \sqrt{3} i)$.

в) $\sqrt[3]{125i}$;

Пусть $z = 0 + 125i$, тогда:

$$|z| = \sqrt{0^2 + 125^2} = 125, \quad \text{отсюда } \alpha = \arccos \frac{0}{125} = \frac{\pi}{2};$$ $$z = 125 \left( \cos \frac{\pi}{2} + i \sin \frac{\pi}{2} \right);$$ $$\sqrt[3]{z} = \sqrt[3]{125} \left( \cos \frac{\pi + 4\pi k}{6} + i \sin \frac{\pi + 4\pi k}{6} \right), \quad \text{где } k = 0, 1, 2;$$

Корни уравнения:

$$\sqrt[3]{z} = 5 \left( \cos \frac{\pi}{6} + i \sin \frac{\pi}{6} \right) = 5 \left( \frac{\sqrt{3}}{2} + \frac{1}{2} i \right) = 2.5 (\sqrt{3} + i);$$ $$\sqrt[3]{z} = 5 \left( \cos \frac{5\pi}{6} + i \sin \frac{5\pi}{6} \right) = 5 \left( -\frac{\sqrt{3}}{2} + \frac{1}{2} i \right) = 2.5 (-\sqrt{3} + i);$$ $$\sqrt[3]{z} = 5 \left( \cos \frac{9\pi}{6} + i \sin \frac{9\pi}{6} \right) = 5 \left( 0 — 1i \right) = -5i;$$

Ответ: $2.5 (\sqrt{3} + i); \, 2.5 (-\sqrt{3} + i); \, -5i$.

г) $\sqrt[3]{-512i}$;

Пусть $z = 0 — 512i$, тогда:

$$|z| = \sqrt{0^2 + (-512)^2} = 512, \quad \text{отсюда } \alpha = \arccos \frac{0}{512} = \frac{\pi}{2};$$ $$z = 512 \left( \cos \frac{\pi}{2} — i \sin \frac{\pi}{2} \right);$$ $$\sqrt[3]{z} = \sqrt[3]{512} \left( \cos \frac{\pi + 4\pi k}{6} — i \sin \frac{\pi + 4\pi k}{6} \right), \quad \text{где } k = 0, 1, 2;$$

Корни уравнения:

$$\sqrt[3]{z} = 8 \left( \cos \frac{\pi}{6} — i \sin \frac{\pi}{6} \right) = 8 \left( \frac{\sqrt{3}}{2} — \frac{1}{2} i \right) = 4 (\sqrt{3} — i);$$ $$\sqrt[3]{z} = 8 \left( \cos \frac{5\pi}{6} — i \sin \frac{5\pi}{6} \right) = 8 \left( -\frac{\sqrt{3}}{2} — \frac{1}{2} i \right) = -4 (\sqrt{3} + i);$$ $$\sqrt[3]{z} = 8 \left( \cos \frac{9\pi}{6} — i \sin \frac{9\pi}{6} \right) = 8 \left( 0 + 1i \right) = 8i;$$

Ответ: $4 (\sqrt{3} — i); \, -4 (\sqrt{3} + i); \, 8i$.

а) $\sqrt[3]{64}$;

Пусть $z = 64 + 0i$. Для начала представим комплексное число $z$ в полярной форме:

$$|z| = \sqrt{64^2 + 0^2} = 64$$

Модуль $z$ равен 64.

Теперь находим аргумент числа $z$. Так как число на вещественной оси (не имеет мнимой части), его аргумент равен нулю:

$$\alpha = \arccos \frac{64}{64} = \arccos 1 = 0.$$

Таким образом, комплексное число $z$ можно записать в виде:

$$z = 64 (\cos 0 + i \sin 0).$$

Чтобы найти кубические корни числа $z$, используем формулу для извлечения кубического корня из комплексного числа $z = r (\cos \alpha + i \sin \alpha)$:

$$\sqrt[3]{z} = \sqrt[3]{r} \left( \cos \frac{\alpha + 2\pi k}{3} + i \sin \frac{\alpha + 2\pi k}{3} \right),$$

где $k = 0, 1, 2$ — это различные значения, которые соответствуют трем корням.

Подставляем значение $r = 64$ и $\alpha = 0$:

$$\sqrt[3]{z} = \sqrt[3]{64} \left( \cos \frac{2\pi k}{3} + i \sin \frac{2\pi k}{3} \right), \quad \text{где } k = 0, 1, 2.$$

Так как $\sqrt[3]{64} = 4$, то кубические корни будут выглядеть так:

$$\sqrt[3]{z} = 4 \left( \cos \frac{2\pi k}{3} + i \sin \frac{2\pi k}{3} \right).$$

Вычислим конкретные значения для каждого $k$.

• Для $k = 0$:

  $$\sqrt[3]{z} = 4 \left( \cos 0 + i \sin 0 \right) = 4 \cdot (1 + 0i) = 4.$$

• Для $k = 1$:

  $$\sqrt[3]{z} = 4 \left( \cos \frac{2\pi}{3} + i \sin \frac{2\pi}{3} \right) = 4 \left( -\frac{1}{2} + \frac{\sqrt{3}}{2} i \right) = 2 (-1 + \sqrt{3} i).$$

• Для $k = 2$:

  $$\sqrt[3]{z} = 4 \left( \cos \frac{4\pi}{3} + i \sin \frac{4\pi}{3} \right) = 4 \left( -\frac{1}{2} — \frac{\sqrt{3}}{2} i \right) = -2 (1 + \sqrt{3} i).$$

Ответ: $4; \, 2(-1 + \sqrt{3} i); \, -2(1 + \sqrt{3} i)$.

б) $\sqrt[3]{-27}$;

Пусть $z = -27 + 0i$. Сначала находим модуль числа $z$:

$$|z| = \sqrt{(-27)^2 + 0^2} = 27.$$

Теперь находим аргумент числа $z$. Так как число отрицательное и лежит на вещественной оси, его аргумент равен $\pi$:

$$\alpha = \arccos \frac{-27}{27} = \pi.$$

Запишем комплексное число в полярной форме:

$$z = 27 (\cos \pi + i \sin \pi).$$

Для нахождения кубических корней используем формулу:

$$\sqrt[3]{z} = \sqrt[3]{27} \left( \cos \frac{\pi + 2\pi k}{3} + i \sin \frac{\pi + 2\pi k}{3} \right), \quad \text{где } k = 0, 1, 2.$$

Подставляем $r = 27$ и $\alpha = \pi$, получаем:

$$\sqrt[3]{z} = \sqrt[3]{27} \left( \cos \frac{\pi + 2\pi k}{3} + i \sin \frac{\pi + 2\pi k}{3} \right).$$

Так как $\sqrt[3]{27} = 3$, то кубические корни будут такими:

$$\sqrt[3]{z} = 3 \left( \cos \frac{\pi + 2\pi k}{3} + i \sin \frac{\pi + 2\pi k}{3} \right).$$

Вычислим конкретные значения для каждого $k$.

• Для $k = 0$:

  $$\sqrt[3]{z} = 3 \left( \cos \frac{\pi}{3} + i \sin \frac{\pi}{3} \right) = 3 \left( \frac{1}{2} + \frac{\sqrt{3}}{2} i \right) = 1.5 (1 + \sqrt{3} i).$$

• Для $k = 1$:

  $$\sqrt[3]{z} = 3 \left( \cos \pi + i \sin \pi \right) = 3 \left( -1 + 0i \right) = -3.$$

• Для $k = 2$:

  $$\sqrt[3]{z} = 3 \left( \cos \frac{5\pi}{3} + i \sin \frac{5\pi}{3} \right) = 3 \left( \frac{1}{2} — \frac{\sqrt{3}}{2} i \right) = 1.5 (1 — \sqrt{3} i).$$

Ответ: $1.5 (1 + \sqrt{3} i); \, -3; \, 1.5 (1 — \sqrt{3} i)$.

в) $\sqrt[3]{125i}$;

Пусть $z = 0 + 125i$. Сначала находим модуль числа $z$:

$$|z| = \sqrt{0^2 + 125^2} = 125.$$

Для аргумента $\alpha$ комплексного числа $z$, так как оно лежит на мнимой оси, имеем:

$$\alpha = \arccos \frac{0}{125} = \frac{\pi}{2}.$$

Запишем комплексное число в полярной форме:

$$z = 125 \left( \cos \frac{\pi}{2} + i \sin \frac{\pi}{2} \right).$$

Для нахождения кубических корней используем формулу:

$$\sqrt[3]{z} = \sqrt[3]{125} \left( \cos \frac{\pi + 4\pi k}{6} + i \sin \frac{\pi + 4\pi k}{6} \right), \quad \text{где } k = 0, 1, 2.$$

Подставляем $r = 125$ и $\alpha = \frac{\pi}{2}$, получаем:

$$\sqrt[3]{z} = \sqrt[3]{125} \left( \cos \frac{\pi + 4\pi k}{6} + i \sin \frac{\pi + 4\pi k}{6} \right).$$

Так как $\sqrt[3]{125} = 5$, кубические корни будут такими:

$$\sqrt[3]{z} = 5 \left( \cos \frac{\pi + 4\pi k}{6} + i \sin \frac{\pi + 4\pi k}{6} \right).$$

Вычислим конкретные значения для каждого $k$.

• Для $k = 0$:

  $$\sqrt[3]{z} = 5 \left( \cos \frac{\pi}{6} + i \sin \frac{\pi}{6} \right) = 5 \left( \frac{\sqrt{3}}{2} + \frac{1}{2} i \right) = 2.5 (\sqrt{3} + i).$$

• Для $k = 1$:

  $$\sqrt[3]{z} = 5 \left( \cos \frac{5\pi}{6} + i \sin \frac{5\pi}{6} \right) = 5 \left( -\frac{\sqrt{3}}{2} + \frac{1}{2} i \right) = 2.5 (-\sqrt{3} + i).$$

• Для $k = 2$:

  $$\sqrt[3]{z} = 5 \left( \cos \frac{9\pi}{6} + i \sin \frac{9\pi}{6} \right) = 5 \left( 0 — 1i \right) = -5i.$$

Ответ: $2.5 (\sqrt{3} + i); \, 2.5 (-\sqrt{3} + i); \, -5i$.

г) $\sqrt[3]{-512i}$;

Пусть $z = 0 — 512i$. Сначала находим модуль числа $z$:

$$|z| = \sqrt{0^2 + (-512)^2} = 512.$$

Для аргумента $\alpha$ комплексного числа $z$, так как оно лежит на мнимой оси, его аргумент будет $\alpha = \frac{\pi}{2}$, но с отрицательным мнимым компонентом:

$$\alpha = \frac{3\pi}{2}.$$

Запишем комплексное число в полярной форме:

$$z = 512 \left( \cos \frac{3\pi}{2} — i \sin \frac{3\pi}{2} \right).$$

Для нахождения кубических корней используем формулу:

$$\sqrt[3]{z} = \sqrt[3]{512} \left( \cos \frac{\frac{3\pi}{2} + 4\pi k}{6} — i \sin \frac{\frac{3\pi}{2} + 4\pi k}{6} \right), \quad \text{где } k = 0, 1, 2.$$

Подставляем $r = 512$ и $\alpha = \frac{3\pi}{2}$, получаем:

$$\sqrt[3]{z} = \sqrt[3]{512} \left( \cos \frac{\frac{3\pi}{2} + 4\pi k}{6} — i \sin \frac{\frac{3\pi}{2} + 4\pi k}{6} \right).$$

Так как $\sqrt[3]{512} = 8$, кубические корни будут такими:

$$\sqrt[3]{z} = 8 \left( \cos \frac{\frac{3\pi}{2} + 4\pi k}{6} — i \sin \frac{\frac{3\pi}{2} + 4\pi k}{6} \right).$$

Вычислим конкретные значения для каждого $k$.

• Для $k = 0$:

  $$\sqrt[3]{z} = 8 \left( \cos \frac{\pi}{6} — i \sin \frac{\pi}{6} \right) = 8 \left( \frac{\sqrt{3}}{2} — \frac{1}{2} i \right) = 4 (\sqrt{3} — i).$$

• Для $k = 1$:

  $$\sqrt[3]{z} = 8 \left( \cos \frac{5\pi}{6} — i \sin \frac{5\pi}{6} \right) = 8 \left( -\frac{\sqrt{3}}{2} — \frac{1}{2} i \right) = -4 (\sqrt{3} + i).$$

• Для $k = 2$:

  $$\sqrt[3]{z} = 8 \left( \cos \frac{9\pi}{6} — i \sin \frac{9\pi}{6} \right) = 8 \left( 0 + 1i \right) = 8i.$$

Ответ: $4 (\sqrt{3} — i); \, -4 (\sqrt{3} + i); \, 8i$.