ГДЗ по Алгебре 10 Класс Номер 36.23 Профильный Уровень Мордкович — Подробные Ответы

Решите уравнение:

а) $z^6 + (8 — i)z^3 + (1 + i)^6 = 0$;

б) $z^4 + (2 — 4i)z^2 — (1 — i)^6 = 0$

а) $z^6 + (8 — i)z^3 + (1 + i)^6 = 0$;

Пусть $u = 1 + i$, тогда:

$$|u| = \sqrt{1^2 + 1^2} = \sqrt{1 + 1} = \sqrt{2}, \text{ отсюда } a = \arccos \frac{1}{\sqrt{2}} = \frac{\pi}{4};$$ $$u = \sqrt{2} \left( \cos \frac{\pi}{4} + i \sin \frac{\pi}{4} \right);$$ $$u^6 = (\sqrt{2})^6 \left( \cos \frac{3\pi}{2} + i \sin \frac{3\pi}{2} \right) = 2^3 (0 — 1i) = -8i;$$

Пусть $x = z^3$, тогда:

$$x^2 + (8 — i)x + (1 + i)^6 = 0;$$ $$D = (8 — i)^2 — 4(1 + i)^6 = 64 — 16i — 1 — 4(-8i) = 63 + 16i;$$ $$\sqrt{D} = \sqrt{63 + 16i} = \sqrt{64 + 16i — 1} = \sqrt{(8 + i)^2} = 8 + i;$$ $$x_1 = \frac{-8 + i — 8 — i}{2} = -8 \quad \text{и} \quad x_2 = \frac{-8 + i + 8 + i}{2} = i;$$

Первое значение:

$$x = -8 + 0i;$$ $$|x_1| = \sqrt{(-8)^2 + 0^2} = 8, \text{ отсюда } a = \arccos \frac{-8}{8} = \pi;$$ $$x_1 = 8 \left( \cos \pi + i \sin \pi \right);$$ $$\sqrt[3]{x_1} = \sqrt[3]{8} \left( \cos \frac{\pi + 2\pi k}{3} + i \sin \frac{\pi + 2\pi k}{3} \right), \text{ где } k = 0, 1, 2;$$

Корни уравнения:

$$z_1 = 2 \left( \cos \frac{\pi}{3} + i \sin \frac{\pi}{3} \right) = 2 \left( \frac{1}{2} + \frac{\sqrt{3}}{2} i \right) = 1 + \sqrt{3}i;$$ $$z_2 = 2 \left( \cos \frac{3\pi}{3} + i \sin \frac{3\pi}{3} \right) = 2 (-1 + 0i) = -2;$$ $$z_3 = 2 \left( \cos \frac{5\pi}{3} + i \sin \frac{5\pi}{3} \right) = 2 \left( \frac{1}{2} — \frac{\sqrt{3}}{2} i \right) = 1 — \sqrt{3}i;$$

Второе значение:

$$x = 0 + i;$$ $$|x_2| = \sqrt{0^2 + 1^2} = 1, \text{ отсюда } a = \arccos \frac{0}{1} = \frac{\pi}{2};$$ $$x_2 = \cos \frac{\pi}{2} + i \sin \frac{\pi}{2};$$

$$\sqrt[3]{x_2} = \cos \frac{\pi + 4\pi k}{6} + i \sin \frac{\pi + 4\pi k}{6}, \text{ где } k = 0, 1, 2;$$

Корни уравнения:

$$z_4 = \cos \frac{\pi}{6} + i \sin \frac{\pi}{6} = \frac{\sqrt{3}}{2} + \frac{1}{2}i = 0,5(\sqrt{3} + i);$$ $$z_5 = \cos \frac{5\pi}{6} + i \sin \frac{5\pi}{6} = -\frac{\sqrt{3}}{2} + \frac{1}{2}i = 0,5(-\sqrt{3} + i);$$ $$z_6 = \cos \frac{9\pi}{6} + i \sin \frac{9\pi}{6} = 0 — 1i = -i;$$

Ответ: $-2; \, 1 \pm \sqrt{3}i; \, -4(\sqrt{3} + i); \, 0,5(\pm \sqrt{3} + i); \, -i.$

б) $z^4 + (2 — 4i)z^2 — (1 — i)^6 = 0$;

Пусть $u = 1 — i$, тогда:

$$|u| = \sqrt{1^2 + (-1)^2} = \sqrt{1 + 1} = \sqrt{2}, \text{ отсюда } a = \arccos \frac{1}{\sqrt{2}} = \frac{\pi}{4};$$ $$u = \sqrt{2} \left( \cos \frac{\pi}{4} — i \sin \frac{\pi}{4} \right);$$ $$u^6 = (\sqrt{2})^6 \left( \cos \frac{3\pi}{2} — i \sin \frac{3\pi}{2} \right) = 2^3 (0 + 1i) = 8i;$$

Пусть $x = z^2$, тогда:

$$x^2 + (2 — 4i)x — (1 — i)^6 = 0;$$ $$D = (2 — 4i)^2 + 4(1 — i)^6 = 4 — 16i — 16 + 4(8i) = 16i — 12;$$ $$\sqrt{D} = \sqrt{16i — 12} = \sqrt{4 + 16i — 16} = \sqrt{(2 + 4i)^2} = 2 + 4i;$$ $$x_1 = \frac{-2 + 4i — 2 — 4i}{2} = -2 \quad \text{и} \quad x_2 = \frac{-2 + 4i + 2 + 4i}{2} = 4i;$$

Первое значение:

$$x = -2;$$ $$z = \pm \sqrt{-2} = \pm \sqrt{2}i;$$

Второе значение:

$$x = 4i;$$ $$z = \pm \sqrt{4i} = \pm \sqrt{2(1 + 2i — 1)} = \pm \sqrt{2(1 + i)^2} = \pm \sqrt{2}(1 + i);$$

Ответ: $\pm \sqrt{2}i; \, \pm \sqrt{2}(1 + i)$.

а) $z^6 + (8 — i)z^3 + (1 + i)^6 = 0$

1. Обозначим $u = 1 + i$ и найдём его модуль и аргумент.

Модуль числа $u = 1 + i$:

$$|u| = \sqrt{1^2 + 1^2} = \sqrt{1 + 1} = \sqrt{2}.$$

Аргумент $u$:
Мы знаем, что $\arg(1 + i) = \arctan\left( \frac{1}{1} \right) = \arctan(1) = \frac{\pi}{4}$, поэтому:

$$a = \frac{\pi}{4}.$$

2. Запишем $u$ в тригонометрической форме:

Так как $u = 1 + i$, мы можем представить его как:

$$u = \sqrt{2} \left( \cos \frac{\pi}{4} + i \sin \frac{\pi}{4} \right).$$

3. Вычислим $u^6$:

Теперь вычислим $u^6$. Используем формулу для возведения комплексного числа в степень:

$$u^n = r^n \left( \cos(n\theta) + i \sin(n\theta) \right),$$

где $r = |u| = \sqrt{2}$, $\theta = \frac{\pi}{4}$. Тогда:

$$u^6 = (\sqrt{2})^6 \left( \cos \left( 6 \cdot \frac{\pi}{4} \right) + i \sin \left( 6 \cdot \frac{\pi}{4} \right) \right).$$

Преобразуем выражение:

$$(\sqrt{2})^6 = 2^3 = 8,$$

и

$$6 \cdot \frac{\pi}{4} = \frac{3\pi}{2}.$$

Таким образом,

$$u^6 = 8 \left( \cos \frac{3\pi}{2} + i \sin \frac{3\pi}{2} \right) = 8(0 — 1i) = -8i.$$

4. Подставим $u^6$ в исходное уравнение:

Исходное уравнение:

$$z^6 + (8 — i)z^3 + (1 + i)^6 = 0.$$

Поскольку $(1 + i)^6 = -8i$, получаем:

$$z^6 + (8 — i)z^3 — 8i = 0.$$

5. Подставим $x = z^3$:

Предположим $x = z^3$, тогда уравнение примет вид:

$$x^2 + (8 — i)x — 8i = 0.$$

Теперь решим это квадратное уравнение относительно $x$.

6. Найдём дискриминант:

Дискриминант для уравнения $x^2 + (8 — i)x — 8i = 0$:

$$D = (8 — i)^2 — 4(-8i).$$

Вычислим $(8 — i)^2$:

$$(8 — i)^2 = 64 — 16i + (-1) = 63 — 16i.$$

Теперь вычислим $4(-8i)$:

$$4(-8i) = -32i.$$

Теперь подставим в дискриминант:

$$D = 63 — 16i + 32i = 63 + 16i.$$

7. Найдём $\sqrt{D}$:

Теперь вычислим квадратный корень из дискриминанта $D = 63 + 16i$. Для этого представим $D$ как комплексное число в алгебраической форме:

$$\sqrt{D} = \sqrt{63 + 16i}.$$

Для нахождения квадратного корня можно воспользоваться методом, при котором $\sqrt{a + bi} = \pm (\sqrt{\frac{|a + bi| + a}{2}} + i \, \text{sign}(b)\sqrt{\frac{|a + bi| — a}{2}})$, где $|a + bi| = \sqrt{a^2 + b^2}$.

Найдем модуль:

$$|63 + 16i| = \sqrt{63^2 + 16^2} = \sqrt{3969 + 256} = \sqrt{4225} = 65.$$

Теперь вычислим корень:

$$\sqrt{D} = \sqrt{65 + 63} / 2 + i \sqrt{65 — 63} / 2 = 8 + i.$$

8. Находим корни уравнения для $x$:

Используем формулу для корней квадратного уравнения:

$$x_1 = \frac{- (8 — i) — (8 + i)}{2} = \frac{-8 + i — 8 — i}{2} = -8,$$ $$x_2 = \frac{- (8 — i) + (8 + i)}{2} = \frac{-8 + i + 8 + i}{2} = i.$$

9. Рассмотрим корни уравнения $z^3 = -8$ и $z^3 = i$:

Теперь рассмотрим два случая для $x$: $x = -8$ и $x = i$.

Для $x = -8$:

$$|x_1| = 8, \quad \arg(x_1) = \pi.$$

Теперь находим кубические корни:

$$\sqrt[3]{x_1} = 2 \left( \cos \frac{\pi + 2\pi k}{3} + i \sin \frac{\pi + 2\pi k}{3} \right), \quad k = 0, 1, 2.$$

Для $k = 0, 1, 2$ находим:

$$z_1 = 2 \left( \cos \frac{\pi}{3} + i \sin \frac{\pi}{3} \right) = 1 + \sqrt{3}i,$$ $$z_2 = 2 \left( \cos \pi + i \sin \pi \right) = -2,$$ $$z_3 = 2 \left( \cos \frac{5\pi}{3} + i \sin \frac{5\pi}{3} \right) = 1 — \sqrt{3}i.$$

Для $x = i$:

$$|x_2| = 1, \quad \arg(x_2) = \frac{\pi}{2}.$$

Находим кубические корни:

$$\sqrt[3]{x_2} = \cos \frac{\pi + 4\pi k}{6} + i \sin \frac{\pi + 4\pi k}{6}, \quad k = 0, 1, 2.$$

Для $k = 0, 1, 2$ находим:

$$z_4 = \cos \frac{\pi}{6} + i \sin \frac{\pi}{6} = 0,5(\sqrt{3} + i),$$ $$z_5 = \cos \frac{5\pi}{6} + i \sin \frac{5\pi}{6} = 0,5(-\sqrt{3} + i),$$ $$z_6 = \cos \frac{9\pi}{6} + i \sin \frac{9\pi}{6} = -i.$$

10. Ответ:

$$z = -2, \, 1 + \sqrt{3}i, \, 1 — \sqrt{3}i, \, 0,5(\pm \sqrt{3} + i), \, -i.$$

б) $z^4 + (2 — 4i)z^2 — (1 — i)^6 = 0$

1. Обозначим $u = 1 — i$ и найдём его модуль и аргумент:

Модуль числа $u = 1 — i$:

$$|u| = \sqrt{1^2 + (-1)^2} = \sqrt{2}.$$

Аргумент $u$:

$$a = \frac{\pi}{4}.$$

2. Запишем $u$ в тригонометрической форме:

$$u = \sqrt{2} \left( \cos \frac{\pi}{4} — i \sin \frac{\pi}{4} \right).$$

3. Вычислим $u^6$:

$$u^6 = (\sqrt{2})^6 \left( \cos \frac{3\pi}{2} — i \sin \frac{3\pi}{2} \right) = 8i.$$

4. Подставим в исходное уравнение:

$$z^4 + (2 — 4i)z^2 — 8i = 0.$$

5. Подставим $x = z^2$:

$$x^2 + (2 — 4i)x — 8i = 0.$$

6. Найдём дискриминант:

$$D = (2 — 4i)^2 + 4(-8i) = 16i — 12.$$

7. Находим корни:

Для решения аналогично предыдущему случаю.

Ответ:

$$$\pm \sqrt{2}i; \, \pm \sqrt{2}(1 + i)$.