ГДЗ по Алгебре 10 Класс Номер 36.24 Профильный Уровень Мордкович — Подробные Ответы

а) При каком действительном значении $a$ выражение

$$\frac{a(\sin 75^\circ + i \cos 75^\circ)^{12}}{i(a + 2i)^2 — (14 — 3ai) — 2}$$

является действительным числом?

б) При каком действительном значении $b$ выражение

$$\frac{b : (\cos 22^\circ 30′ — i \sin 22^\circ 30′)^{16}}{i(3i — b)^2 — (3 — 8bi) — 3}$$

является действительным числом?

а) $\frac{a(\sin 75^\circ + i \cos 75^\circ)^{12}}{i(a + 2i)^2 — (14 — 3ai) — 2}$;

Числитель дроби:
$a(\sin 75^\circ + i \cos 75^\circ)^{12} = a(\cos 15^\circ + i \sin 15^\circ)^{12} =$
$= a(\cos 180^\circ + i \sin 180^\circ) = a(-1 + 0i) = -a \in \mathbb{R};$

Знаменатель дроби:
$i(a + 2i)^2 — (14 — 3ai) — 2 = i(a^2 + 4ai — 4) — 14 + 3ai — 2 =$
$= ia^2 — 4a — 4i — 16 + 3ai = (a^2 + 3a — 4)i — 16 — 4a;$

Знаменатель — действительное число, если:
$a^2 + 3a — 4 = 0;$
$D = 3^2 + 4 \cdot 4 = 9 + 16 = 25, \text{тогда:}$
$a_1 = \frac{-3 — 5}{2} = -4 \quad \text{и} \quad a_2 = \frac{-3 + 5}{2} = 1;$

Выражение имеет смысл при:
$0 \cdot i — 16 — 4 \cdot (-4) = -16 + 16 = 0, \text{отсюда } a \neq -4;$
$0 \cdot i — 16 — 4 \cdot 1 = -20 \neq 0, \text{отсюда } a = 1;$

Ответ: $a = 1$.

б) $\frac{b : (\cos 22^\circ 30′ — i \sin 22^\circ 30′)^{16}}{i(3i — b)^2 — (3 — 8bi) — 3}$;

Числитель дроби:
$b : (\cos 22^\circ 30′ — i \sin 22^\circ 30′)^{16} = b \left( \cos \left( -\frac{\pi}{8} \right) + i \sin \left( -\frac{\pi}{8} \right) \right)^{-16} =$
$= b (\cos 2\pi + i \sin 2\pi) = b(1 + 0i) = b \in \mathbb{R};$

Знаменатель дроби:
$i(3i — b)^2 — (3 — 8bi) — 3 = i(-9 — 6bi + b^2) — 3 + 8bi — 3 =$
$= -9i + 6b + b^2 i — 6 — 8bi = (b^2 + 8b — 9)i + 6b — 6;$

Знаменатель — действительное число, если:
$b^2 + 8b — 9 = 0;$
$D = 8^2 + 4 \cdot 9 = 64 + 36 = 100, \text{тогда:}$
$b_1 = \frac{-8 — 10}{2} = -9 \quad \text{и} \quad b_2 = \frac{-8 + 10}{2} = 1;$

Выражение имеет смысл при:
$0 \cdot i + 6 \cdot (-9) — 6 = -54 — 6 = -60 \neq 0, \text{отсюда } b = -9;$
$0 \cdot i — 6 \cdot 1 — 6 = -6 — 6 = -12 \neq 0, \text{отсюда } b = 1;$

Ответ: $b = -9$.

а) $\frac{a(\sin 75^\circ + i \cos 75^\circ)^{12}}{i(a + 2i)^2 — (14 — 3ai) — 2}$

1) Числитель дроби

Числитель выражения:

$$a(\sin 75^\circ + i \cos 75^\circ)^{12}$$

Преобразуем $\sin 75^\circ + i \cos 75^\circ$ с использованием тригонометрических функций. Заметим, что выражение имеет форму, аналогичную записи комплексного числа через его полярное представление:

$$\sin 75^\circ + i \cos 75^\circ = \cos \left( 15^\circ \right) + i \sin \left( 15^\circ \right)$$

Используем формулу Эйлера $e^{i\theta} = \cos \theta + i \sin \theta$:

$$\sin 75^\circ + i \cos 75^\circ = e^{i(15^\circ)}$$

Теперь, возведем это в 12-ю степень:

$$\left( e^{i \cdot 15^\circ} \right)^{12} = e^{i \cdot 180^\circ} = \cos 180^\circ + i \sin 180^\circ = -1$$

Таким образом, числитель можно записать как:

$$a (\sin 75^\circ + i \cos 75^\circ)^{12} = a \cdot (-1) = -a$$

Следовательно, числитель равен $-a \in \mathbb{R}$.

2) Знаменатель дроби

Знаменатель:

$$i(a + 2i)^2 — (14 — 3ai) — 2$$

Рассмотрим выражение по частям:

• Возведение в квадрат:

$$(a + 2i)^2 = a^2 + 4ai + 4i^2 = a^2 + 4ai — 4$$

• Умножение на $i$:

$$i(a + 2i)^2 = i(a^2 + 4ai — 4) = i a^2 + 4a i^2 — 4i = i a^2 — 4a — 4i$$

• Прочие части знаменателя:

$$-(14 — 3ai) — 2 = -14 + 3ai — 2 = -16 + 3ai$$

Теперь соберем всё вместе:

$$i(a + 2i)^2 — (14 — 3ai) — 2 = i a^2 — 4a — 4i — 16 + 3ai = (a^2 + 3a — 4)i — 16 — 4a$$

Итак, знаменатель имеет вид:

$$(a^2 + 3a — 4)i — 16 — 4a$$

3) Условие, при котором знаменатель — действительное число

Чтобы знаменатель был действительным числом, мнимая часть должна быть равна нулю. Мнимая часть знаменателя — это выражение $(a^2 + 3a — 4)$, и поэтому нужно решить уравнение:

$$a^2 + 3a — 4 = 0$$

Решим это квадратное уравнение с использованием формулы для корней:

$$D = 3^2 — 4 \cdot 1 \cdot (-4) = 9 + 16 = 25$$

Корни уравнения:

$$a_1 = \frac{-3 — 5}{2} = -4 \quad \text{и} \quad a_2 = \frac{-3 + 5}{2} = 1$$

Таким образом, возможные значения $a$ — это $a = -4$ и $a = 1$.

4) Проверка выражения на наличие смысла

Для того, чтобы выражение имело смысл, знаменатель не должен быть равен нулю. Подставим значения $a = -4$ и $a = 1$ в действительную часть знаменателя и проверим:

• Для $a = -4$:

$$0 \cdot i — 16 — 4 \cdot (-4) = -16 + 16 = 0$$

Это даёт 0, следовательно, $a \neq -4$.

• Для $a = 1$:

$$0 \cdot i — 16 — 4 \cdot 1 = -16 — 4 = -20 \neq 0$$

Это не даёт 0, следовательно, $a = 1$ подходит.

Ответ: $a = 1$.

б) $\frac{b : (\cos 22^\circ 30′ — i \sin 22^\circ 30′)^{16}}{i(3i — b)^2 — (3 — 8bi) — 3}$

1) Числитель дроби

Числитель:

$$b : (\cos 22^\circ 30′ — i \sin 22^\circ 30′)^{16}$$

Преобразуем $\cos 22^\circ 30′ — i \sin 22^\circ 30′$ с использованием тригонометрических функций:

$$\cos 22^\circ 30′ — i \sin 22^\circ 30′ = e^{-i \cdot 22^\circ 30′}$$

Возведем это в 16-ю степень:

$$\left( e^{-i \cdot 22^\circ 30′} \right)^{16} = e^{-i \cdot 360^\circ} = \cos 360^\circ + i \sin 360^\circ = 1$$

Таким образом, числитель равен:

$$b \cdot 1 = b$$

2) Знаменатель дроби

Знаменатель:

$$i(3i — b)^2 — (3 — 8bi) — 3$$

Рассмотрим выражение по частям:

• Возведение в квадрат:

$$(3i — b)^2 = 9i^2 — 6bi + b^2 = -9 — 6bi + b^2$$

• Умножение на $i$:

$$i(3i — b)^2 = i(-9 — 6bi + b^2) = -9i — 6b — b^2 i$$

• Прочие части знаменателя:

$$-(3 — 8bi) — 3 = -3 + 8bi — 3 = -6 + 8bi$$

Теперь соберем всё вместе:

$$i(3i — b)^2 — (3 — 8bi) — 3 = -9i — 6b — b^2 i — 6 + 8bi = (b^2 + 8b — 9)i + 6b — 6$$

Итак, знаменатель имеет вид:

$$(b^2 + 8b — 9)i + 6b — 6$$

3) Условие, при котором знаменатель — действительное число

Чтобы знаменатель был действительным числом, мнимая часть должна быть равна нулю. Мнимая часть знаменателя — это выражение $(b^2 + 8b — 9)$, и поэтому нужно решить уравнение:

$$b^2 + 8b — 9 = 0$$

Решим это квадратное уравнение:

$$D = 8^2 — 4 \cdot 1 \cdot (-9) = 64 + 36 = 100$$

Корни уравнения:

$$b_1 = \frac{-8 — 10}{2} = -9 \quad \text{и} \quad b_2 = \frac{-8 + 10}{2} = 1$$

Таким образом, возможные значения $b$ — это $b = -9$ и $b = 1$.

4) Проверка выражения на наличие смысла

Для того, чтобы выражение имело смысл, знаменатель не должен быть равен нулю. Подставим значения $b = -9$ и $b = 1$ в действительную часть знаменателя и проверим:

• Для $b = -9$:

$$0 \cdot i + 6 \cdot (-9) — 6 = -54 — 6 = -60 \neq 0$$

Это не даёт 0, следовательно, $b = -9$ подходит.

• Для $b = 1$:

$$0 \cdot i + 6 \cdot 1 — 6 = 6 — 6 = 0$$

Это даёт 0, следовательно, $b \neq 1$.

Ответ: $b = -9$.