ГДЗ по Алгебре 10 Класс Номер 36.3 Профильный Уровень Мордкович — Подробные Ответы

Пусть $z = \cos 0,19\pi + i \sin 0,19\pi$. Какие числа из множества $\{z, z^2, z^3, \ldots, z^9, z^{10}\}$:

а) расположены выше оси абсцисс;

б) расположены правее оси ординат;

в) расположены в первой координатной четверти;

г) расположены во второй или в четвёртой координатной четверти?

$$z=\cos 0,19\pi +i\sin 0,19\pi ;$$

$$z = \cos 0,19\pi + i \sin 0,19\pi;$$ $$z^2=\cos 0,38\pi +i\sin 0,38\pi ;$$

$$z^2 = \cos 0,38\pi + i \sin 0,38\pi;$$ $$z^3=\cos 0,57\pi +i\sin 0,57\pi ;$$

$$z^3 = \cos 0,57\pi + i \sin 0,57\pi;$$ $$z^4=\cos 0,76\pi +i\sin 0,76\pi ;$$

$$z^4 = \cos 0,76\pi + i \sin 0,76\pi;$$ $$z^5=\cos 0,95\pi +i\sin 0,95\pi ;$$

$$z^5 = \cos 0,95\pi + i \sin 0,95\pi;$$ $$z^6=\cos 1,14\pi +i\sin 1,14\pi ;$$

$$z^6 = \cos 1,14\pi + i \sin 1,14\pi;$$ $$z^7=\cos 1,33\pi +i\sin 1,33\pi ;$$

$$z^7 = \cos 1,33\pi + i \sin 1,33\pi;$$ $$z^8=\cos 1,52\pi +i\sin 1,52\pi ;$$

$$z^8 = \cos 1,52\pi + i \sin 1,52\pi;$$ $$z^9=\cos 1,71\pi +i\sin 1,71\pi ;$$

$$z^9 = \cos 1,71\pi + i \sin 1,71\pi;$$ $$z^{10} = \cos 1,9\pi + i \sin 1,9\pi;$$

а) Числа, расположенные выше оси абсцисс $(0 < a < \pi)$:

$$z; z^2; z^3; z^4; z^5;$$

б) Числа, расположенные правее оси ординат $\left(0 < a < \frac{\pi}{2} \text{ и } \frac{3\pi}{2} < a < 2\pi\right)$:

$$z; z^2; z^8; z^9; z^{10};$$

в) Числа, лежащие в первой координатной четверти $\left(0 < a < \frac{\pi}{2}\right)$:

$$z; z^2;$$

г) Числа, лежащие во II или IV четвертях $\left(\frac{\pi}{2} < a < \pi \text{ и } \frac{3\pi}{2} < a < 2\pi\right)$:

$$z^3; z^4; z^5; z^8; z^9; z^{10};$$

1. Полярная форма комплексного числа

Комплексное число в полярной форме можно выразить как:

$$z = r(\cos \theta + i \sin \theta)$$

где:

• $r$ — модуль комплексного числа,
• $\theta$ — аргумент (угол) комплексного числа, то есть угол, который вектор комплексного числа составляет с положительным направлением оси абсцисс (ось $x$).

В данной задаче нам даны комплексные числа $z, z^2, z^3, \dots, z^{10}$ в виде:

$$z = \cos 0,19\pi + i \sin 0,19\pi;$$ $$z^2 = \cos 0,38\pi + i \sin 0,38\pi;$$ $$z^3 = \cos 0,57\pi + i \sin 0,57\pi;$$ $$z^4 = \cos 0,76\pi + i \sin 0,76\pi;$$ $$z^5 = \cos 0,95\pi + i \sin 0,95\pi;$$ $$z^6 = \cos 1,14\pi + i \sin 1,14\pi;$$ $$z^7 = \cos 1,33\pi + i \sin 1,33\pi;$$ $$z^8 = \cos 1,52\pi + i \sin 1,52\pi;$$ $$z^9 = \cos 1,71\pi + i \sin 1,71\pi;$$ $$z^{10} = \cos 1,9\pi + i \sin 1,9\pi;$$

Здесь каждый из углов является аргументом соответствующего комплексного числа.

2. Описание всех типов чисел

Мы будем использовать данный набор комплексных чисел для классификации, исходя из их расположения в комплексной плоскости (система координат, где ось $x$ — это ось абсцисс, а ось $y$ — ось ординат).

а) Числа, расположенные выше оси абсцисс $(0 < a < \pi)$

Для этого мы ищем такие комплексные числа, у которых аргумент $a$ лежит в интервале от $0$ до $\pi$. Это означает, что их угол находится в верхней полуплоскости комплексной плоскости, то есть выше оси абсцисс (между положительным направлением оси $x$ и осью $y$).

Рассмотрим аргументы чисел:

• $z = \cos 0,19\pi + i \sin 0,19\pi$ — аргумент $0,19\pi$ лежит в интервале $0 < a < \pi$,
• $z^2 = \cos 0,38\pi + i \sin 0,38\pi$ — аргумент $0,38\pi$ также лежит в интервале $0 < a < \pi$,
• $z^3 = \cos 0,57\pi + i \sin 0,57\pi$ — аргумент $0,57\pi$ также в интервале $0 < a < \pi$,
• $z^4 = \cos 0,76\pi + i \sin 0,76\pi$ — аргумент $0,76\pi$ в интервале $0 < a < \pi$,
• $z^5 = \cos 0,95\pi + i \sin 0,95\pi$ — аргумент $0,95\pi$ в интервале $0 < a < \pi$.

Ответ для пункта а:

$$z; z^2; z^3; z^4; z^5$$

б) Числа, расположенные правее оси ординат $\left(0 < a < \frac{\pi}{2} \text{ и } \frac{3\pi}{2} < a < 2\pi\right)$

Для чисел, которые находятся правее оси ординат, аргумент $a$ должен лежать в двух интервалах:

• $0 < a < \frac{\pi}{2}$ — первая четверть (положительные $x$ и $y$),
• $\frac{3\pi}{2} < a < 2\pi$ — четвертая четверть (положительные $x$ и отрицательные $y$).

Рассмотрим аргументы чисел:

• $z = \cos 0,19\pi + i \sin 0,19\pi$ — аргумент $0,19\pi$ лежит в первой четверти,
• $z^2 = \cos 0,38\pi + i \sin 0,38\pi$ — аргумент $0,38\pi$ также в первой четверти,
• $z^8 = \cos 1,52\pi + i \sin 1,52\pi$ — аргумент $1,52\pi$ лежит в четвертой четверти,
• $z^9 = \cos 1,71\pi + i \sin 1,71\pi$ — аргумент $1,71\pi$ также в четвертой четверти,
• $z^{10} = \cos 1,9\pi + i \sin 1,9\pi$ — аргумент $1,9\pi$ также в четвертой четверти.

Ответ для пункта б:

$$z; z^2; z^8; z^9; z^{10}$$

в) Числа, лежащие в первой координатной четверти $\left(0 < a < \frac{\pi}{2}\right)$

Числа в первой координатной четверти имеют аргумент $a$ в интервале $0 < a < \frac{\pi}{2}$, где $x > 0$ и $y > 0$. Рассмотрим:

• $z = \cos 0,19\pi + i \sin 0,19\pi$ — аргумент $0,19\pi$ лежит в первой четверти,
• $z^2 = \cos 0,38\pi + i \sin 0,38\pi$ — аргумент $0,38\pi$ также лежит в первой четверти.

Ответ для пункта в:

$$z; z^2$$

г) Числа, лежащие во II или IV четвертях $\left(\frac{\pi}{2} < a < \pi \text{ и } \frac{3\pi}{2} < a < 2\pi\right)$

Числа во второй или четвертой четверти имеют аргумент $a$ в интервалах $\frac{\pi}{2} < a < \pi$ или $\frac{3\pi}{2} < a < 2\pi$.

Рассмотрим аргументы чисел:

• $z^3 = \cos 0,57\pi + i \sin 0,57\pi$ — аргумент $0,57\pi$ в пределах второй четверти,
• $z^4 = \cos 0,76\pi + i \sin 0,76\pi$ — аргумент $0,76\pi$ в пределах второй четверти,
• $z^5 = \cos 0,95\pi + i \sin 0,95\pi$ — аргумент $0,95\pi$ в пределах второй четверти,
• $z^8 = \cos 1,52\pi + i \sin 1,52\pi$ — аргумент $1,52\pi$ в пределах четвертой четверти,
• $z^9 = \cos 1,71\pi + i \sin 1,71\pi$ — аргумент $1,71\pi$ в пределах четвертой четверти,
• $z^{10} = \cos 1,9\pi + i \sin 1,9\pi$ — аргумент $1,9\pi$ в пределах четвертой четверти.

Ответ для пункта г:

$$z^3; z^4; z^5; z^8; z^9; z^{10}$$