ГДЗ по Алгебре 10 Класс Номер 36.4 Профильный Уровень Мордкович — Подробные Ответы

Пусть $z = 2(\cos 0,21\pi + i \sin 0,21\pi)$. Какие числа из множества $\{z, z^2, z^3, \ldots, z^9, z^{10}\}$:

а) расположены во второй координатной четверти;

б) расположены внутри круга радиуса 500 с центром в начале координат;

в) расположены в первой координатной четверти;

г) расположены правее оси ординат и вне круга радиуса 500 с центром в начале координат?

$$z=2(\cos 0,21\pi +i\sin 0,21\pi );$$

$$z = 2(\cos 0,21\pi + i \sin 0,21\pi);$$ $$z^2=4(\cos 0,42\pi +i\sin 0,42\pi );$$

$$z^2 = 4(\cos 0,42\pi + i \sin 0,42\pi);$$ $$z^3=8(\cos 0,63\pi +i\sin 0,63\pi );$$

$$z^3 = 8(\cos 0,63\pi + i \sin 0,63\pi);$$ $$z^4=16(\cos 0,84\pi +i\sin 0,84\pi );$$

$$z^4 = 16(\cos 0,84\pi + i \sin 0,84\pi);$$ $$z^5=32(\cos 1,05\pi +i\sin 1,05\pi );$$

$$z^5 = 32(\cos 1,05\pi + i \sin 1,05\pi);$$ $$z^6=64(\cos 1,26\pi +i\sin 1,26\pi );$$

$$z^6 = 64(\cos 1,26\pi + i \sin 1,26\pi);$$ $$z^7=128(\cos 1,47\pi +i\sin 1,47\pi );$$

$$z^7 = 128(\cos 1,47\pi + i \sin 1,47\pi);$$ $$z^8=256(\cos 1,68\pi +i\sin 1,68\pi );$$

$$z^8 = 256(\cos 1,68\pi + i \sin 1,68\pi);$$ $$z^9=512(\cos 1,89\pi +i\sin 1,89\pi );$$

$$z^9 = 512(\cos 1,89\pi + i \sin 1,89\pi);$$ $$z^{10} = 1024(\cos 2,1\pi + i \sin 2,1\pi) = 1024(\cos 0,1\pi + i \sin 0,1\pi);$$

а) Числа, лежащие во второй координатной четверти $\left(\frac{\pi}{2} < a < \pi\right)$:

$$z^3; \, z^4;$$

б) Числа, расположенные внутри круга радиуса 500 с центром в точке начала координат $(\rho < 500)$:

$$z; \, z^2; \, z^3; \, z^4; \, z^5; \, z^6; \, z^7; \, z^8;$$

в) Числа, лежащие в первой координатной четверти $\left(0 < a < \frac{\pi}{2}\right)$:

$$z; \, z^2; \, z^{10};$$

г) Числа, расположенные правее оси ординат и вне круга радиуса 500 с центром в точке начала координат $\left(\rho > 500; \, 0 < a < \frac{\pi}{2} \text{ и } \frac{3\pi}{2} < a < 2\pi\right)$:

$$z^9; \, z^{10};$$

Комплексное число $z$ представлено в полярной форме:

$$z = 2(\cos 0,21\pi + i \sin 0,21\pi)$$

где $r = 2$ — это модуль числа, а угол $\theta = 0,21\pi$ — аргумент.

Последовательность степеней $z$ вычисляется по формуле для степени комплексного числа в полярной форме:

$$z^n = r^n (\cos n\theta + i \sin n\theta)$$

где $n$ — степень числа.

Рассмотрим все степени $z$ вплоть до 10-й:

Первоначальное число $z$:

$$z = 2 (\cos 0,21\pi + i \sin 0,21\pi)$$

Вторая степень $z^2$:

$$z^2 = 2^2 (\cos 2 \cdot 0,21\pi + i \sin 2 \cdot 0,21\pi) = 4 (\cos 0,42\pi + i \sin 0,42\pi)$$

Третья степень $z^3$:

$$z^3 = 2^3 (\cos 3 \cdot 0,21\pi + i \sin 3 \cdot 0,21\pi) = 8 (\cos 0,63\pi + i \sin 0,63\pi)$$

Четвертая степень $z^4$:

$$z^4 = 2^4 (\cos 4 \cdot 0,21\pi + i \sin 4 \cdot 0,21\pi) = 16 (\cos 0,84\pi + i \sin 0,84\pi)$$

Пятая степень $z^5$:

$$z^5 = 2^5 (\cos 5 \cdot 0,21\pi + i \sin 5 \cdot 0,21\pi) = 32 (\cos 1,05\pi + i \sin 1,05\pi)$$

Шестая степень $z^6$:

$$z^6 = 2^6 (\cos 6 \cdot 0,21\pi + i \sin 6 \cdot 0,21\pi) = 64 (\cos 1,26\pi + i \sin 1,26\pi)$$

Седьмая степень $z^7$:

$$z^7 = 2^7 (\cos 7 \cdot 0,21\pi + i \sin 7 \cdot 0,21\pi) = 128 (\cos 1,47\pi + i \sin 1,47\pi)$$

Восьмая степень $z^8$:

$$z^8 = 2^8 (\cos 8 \cdot 0,21\pi + i \sin 8 \cdot 0,21\pi) = 256 (\cos 1,68\pi + i \sin 1,68\pi)$$

Девятая степень $z^9$:

$$z^9 = 2^9 (\cos 9 \cdot 0,21\pi + i \sin 9 \cdot 0,21\pi) = 512 (\cos 1,89\pi + i \sin 1,89\pi)$$

Десятая степень $z^{10}$:

$$z^{10} = 2^{10} (\cos 10 \cdot 0,21\pi + i \sin 10 \cdot 0,21\pi) = 1024 (\cos 2,1\pi + i \sin 2,1\pi)$$

Но заметим, что $\cos 2,1\pi = \cos 0,1\pi$ и $\sin 2,1\pi = \sin 0,1\pi$, поэтому:

$$z^{10} = 1024 (\cos 0,1\pi + i \sin 0,1\pi)$$

Рассмотрим пункты задания:

а) Числа, лежащие во второй координатной четверти ($\frac{\pi}{2} < a < \pi$):

Для чисел, находящихся во второй координатной четверти, углы должны удовлетворять условию $\frac{\pi}{2} < \theta < \pi$.

Проверим углы для степеней $z$:

• $z^3$: угол $0,63\pi$ (не подходит, так как угол меньше $\frac{\pi}{2}$)
• $z^4$: угол $0,84\pi$ (подходит, так как $0,84\pi \in (\frac{\pi}{2}, \pi)$)

Ответ: $z^3$ и $z^4$ — числа, лежащие во второй четверти.

б) Числа, расположенные внутри круга радиуса 500 с центром в точке начала координат ($\rho < 500$):

Комплексное число находится внутри круга радиуса 500, если его модуль $|z^n| = r^n$ меньше 500.

Проверим значения для степеней $z$:

$|z| = 2$, $|z^2| = 4$, $|z^3| = 8$, $|z^4| = 16$, $|z^5| = 32$, $|z^6| = 64$, $\mathrm{\mid }{z}^7\mathrm{\mid }=$

$|z^7| = 128$, $|z^8| = 256$, $|z^9| = 512$, $|z^{10}| = 1024$.

Модуль числа $z^9 = 512$ и $z^{10} = 1024$ превышают 500, следовательно, они не удовлетворяют условию.

Ответ: $z, z^2, z^3, z^4, z^5, z^6, z^7, z^8$ — числа, расположенные внутри круга радиуса 500.

в) Числа, лежащие в первой координатной четверти ($0 < a < \frac{\pi}{2}$):

Для первой четверти угол должен быть между $0$ и $\frac{\pi}{2}$.

Проверим углы:

• $z$: угол $0,21\pi$ (подходит, так как $0 < 0,21\pi < \frac{\pi}{2}$)
• $z^2$: угол $0,42\pi$ (подходит, так как $0 < 0,42\pi < \frac{\pi}{2}$)
• $z^{10}$: угол $0,1\pi$ (подходит, так как $0 < 0,1\pi < \frac{\pi}{2}$)

Ответ: $z, z^2, z^{10}$ — числа, лежащие в первой координатной четверти.

г) Числа, расположенные правее оси ординат и вне круга радиуса 500 с центром в точке начала координат ($\rho > 500; \, 0 < a < \frac{\pi}{2} \text{ и } \frac{3\pi}{2} < a < 2\pi$):

Для чисел, расположенных правее оси ординат, углы должны быть в интервалах $0 < a < \frac{\pi}{2}$ или $\frac{3\pi}{2} < a < 2\pi$, а также $\rho > 500$.

Проверим модуль и углы:

• $z^9$: модуль $512$, угол $1,89\pi$ (угол в диапазоне $\frac{3\pi}{2} < 1,89\pi < 2\pi$, модуль $\rho > 500$).
• $z^{10}$: модуль $1024$, угол $0,1\pi$ (угол в первой четверти, модуль $\rho > 500$).

Ответ: $z^9, z^{10}$ — числа, расположенные правее оси ординат и вне круга радиуса 500.

Итоговые ответы:

а) $z^3; \, z^4$
б) $z; \, z^2; \, z^3; \, z^4; \, z^5; \, z^6; \, z^7; \, z^8$
в) $z; \, z^2; \, z^{10}$
г) $z^9; \, z^{10}$