ГДЗ по Алгебре 10 Класс Номер 36.5 Профильный Уровень Мордкович — Подробные Ответы

Пусть $z = \cos 0,17\pi + i \sin 0,17\pi$. Какие числа из множества $\{z, z^2, z^3, \ldots, z^9, z^{10}\}$:

а) расположены выше оси абсцисс;

б) расположены правее оси ординат;

в) расположены выше биссектрисы первой и третьей координатной четвертей;

г) расположены ниже биссектрисы второй и четвёртой координатной четвертей?

$$z=\cos 0,17\pi +i\sin 0,17\pi ;$$

$$z = \cos 0,17\pi + i \sin 0,17\pi;$$ $$z^2=\cos 0,34\pi +i\sin 0,34\pi ;$$

$$z^2 = \cos 0,34\pi + i \sin 0,34\pi;$$ $$z^3=\cos 0,51\pi +i\sin 0,51\pi ;$$

$$z^3 = \cos 0,51\pi + i \sin 0,51\pi;$$ $$z^4=\cos 0,68\pi +i\sin 0,68\pi ;$$

$$z^4 = \cos 0,68\pi + i \sin 0,68\pi;$$ $$z^5=\cos 0,85\pi +i\sin 0,85\pi ;$$

$$z^5 = \cos 0,85\pi + i \sin 0,85\pi;$$ $$z^6=\cos 1,02\pi +i\sin 1,02\pi ;$$

$$z^6 = \cos 1,02\pi + i \sin 1,02\pi;$$ $$z^7=\cos 1,19\pi +i\sin 1,19\pi ;$$

$$z^7 = \cos 1,19\pi + i \sin 1,19\pi;$$ $$z^8=\cos 1,36\pi +i\sin 1,36\pi ;$$

$$z^8 = \cos 1,36\pi + i \sin 1,36\pi;$$ $$z^9=\cos 1,53\pi +i\sin 1,53\pi ;$$

$$z^9 = \cos 1,53\pi + i \sin 1,53\pi;$$ $$z^{10} = \cos 1,7\pi + i \sin 1,7\pi;$$

а) Числа, расположенные выше оси абсцисс $(0 < a < \pi)$:

$$z; z^2; z^3; z^4; z^5;$$

б) Числа, расположенные правее оси ординат $\left(0 < a < \frac{\pi}{2} \text{ и } \frac{3\pi}{2} < a < 2\pi\right)$:

$$z; z^2; z^9; z^{10};$$

в) Числа, лежащие выше биссектрисы I и III четвертей $\left(\frac{\pi}{4} < a < \frac{5\pi}{4}\right)$:

$$z^2; z^3; z^4; z^5; z^6; z^7;$$

г) Числа, лежащие ниже биссектрисы II и IV четвертей $\left(\frac{3\pi}{4} < a < \frac{7\pi}{4}\right)$:

$$z^5; z^6; z^7; z^8; z^9; z^{10}$$

Комплексное число $z$ задано в полярной форме:

$$z = \cos 0,17\pi + i \sin 0,17\pi$$

где $r = 1$ (модуль числа), а $\theta = 0,17\pi$ — это угол.

Степени $z^n$ вычисляются по формуле:

$$z^n = \cos (n\theta) + i \sin (n\theta)$$

где $n$ — степень числа, а $\theta = 0,17\pi$.

Вычислим степени числа $z$ от 1 до 10:

$$z^1 = \cos 0,17\pi + i \sin 0,17\pi$$ $$z^2 = \cos 0,34\pi + i \sin 0,34\pi$$ $$z^3 = \cos 0,51\pi + i \sin 0,51\pi$$ $$z^4 = \cos 0,68\pi + i \sin 0,68\pi$$ $$z^5 = \cos 0,85\pi + i \sin 0,85\pi$$ $$z^6 = \cos 1,02\pi + i \sin 1,02\pi$$ $$z^7 = \cos 1,19\pi + i \sin 1,19\pi$$ $$z^8 = \cos 1,36\pi + i \sin 1,36\pi$$ $$z^9 = \cos 1,53\pi + i \sin 1,53\pi$$ $$z^{10} = \cos 1,7\pi + i \sin 1,7\pi$$

Теперь, разобьем задачу на 4 части, каждая из которых требует анализа положения этих чисел на комплексной плоскости.

а) Числа, расположенные выше оси абсцисс $(0 < a < \pi)$

Комплексное число расположено выше оси абсцисс, если его угол $a$ находится в интервале $0 < a < \pi$. То есть нам нужно рассматривать углы от 0 до $\pi$, что соответствует верхней полуплоскости.

Проверим углы для каждой степени $z$:

• $z^1$: угол $0,17\pi$, находится в пределах $0 < 0,17\pi < \pi$ — выше оси абсцисс.
• $z^2$: угол $0,34\pi$, находится в пределах $0 < 0,34\pi < \pi$ — выше оси абсцисс.
• $z^3$: угол $0,51\pi$, находится в пределах $0 < 0,51\pi < \pi$ — выше оси абсцисс.
• $z^4$: угол $0,68\pi$, находится в пределах $0 < 0,68\pi < \pi$ — выше оси абсцисс.
• $z^5$: угол $0,85\pi$, находится в пределах $0 < 0,85\pi < \pi$ — выше оси абсцисс.
• $z^6$: угол $1,02\pi$, находится в пределах $\pi < 1,02\pi < 2\pi$ — ниже оси абсцисс.
• $z^7$: угол $1,19\pi$, находится в пределах $\pi < 1,19\pi < 2\pi$ — ниже оси абсцисс.
• $z^8$: угол $1,36\pi$, находится в пределах $\pi < 1,36\pi < 2\pi$ — ниже оси абсцисс.
• $z^9$: угол $1,53\pi$, находится в пределах $\pi < 1,53\pi < 2\pi$ — ниже оси абсцисс.
• $z^{10}$: угол $1,7\pi$, находится в пределах $\pi < 1,7\pi < 2\pi$ — ниже оси абсцисс.

Ответ для пункта а):

$$z; z^2; z^3; z^4; z^5$$

б) Числа, расположенные правее оси ординат $\left(0 < a < \frac{\pi}{2} \text{ и } \frac{3\pi}{2} < a < 2\pi\right)$

Для чисел, расположенных правее оси ординат, углы должны быть в интервалах $0 < a < \frac{\pi}{2}$ или $\frac{3\pi}{2} < a < 2\pi$, т.е. на правой части комплексной плоскости (в первом и четвертом квадрантах).

Проверим углы для каждой степени $z$:

• $z^1$: угол $0,17\pi$, находится в интервале $0 < 0,17\pi < \frac{\pi}{2}$ — правее оси ординат.
• $z^2$: угол $0,34\pi$, находится в интервале $0 < 0,34\pi < \frac{\pi}{2}$ — правее оси ординат.
• $z^3$: угол $0,51\pi$, находится в интервале $\frac{\pi}{2} < 0,51\pi < \pi$ — не правее оси ординат.
• $z^4$: угол $0,68\pi$, находится в интервале $\frac{\pi}{2} < 0,68\pi < \pi$ — не правее оси ординат.
• $z^5$: угол $0,85\pi$, находится в интервале $\frac{\pi}{2} < 0,85\pi < \pi$ — не правее оси ординат.
• $z^6$: угол $1,02\pi$, находится в интервале $\pi < 1,02\pi < \frac{3\pi}{2}$ — не правее оси ординат.
• $z^7$: угол $1,19\pi$, находится в интервале $\pi < 1,19\pi < \frac{3\pi}{2}$ — не правее оси ординат.
• $z^8$: угол $1,36\pi$, находится в интервале $\pi < 1,36\pi < \frac{3\pi}{2}$ — не правее оси ординат.
• $z^9$: угол $1,53\pi$, находится в интервале $\pi < 1,53\pi < \frac{3\pi}{2}$ — не правее оси ординат.
• $z^{10}$: угол $1,7\pi$, находится в интервале $\pi < 1,7\pi < \frac{3\pi}{2}$ — не правее оси ординат.

Ответ для пункта б):

$$z; z^2; z^9; z^{10}$$

в) Числа, лежащие выше биссектрисы I и III четвертей $\left(\frac{\pi}{4} < a < \frac{5\pi}{4}\right)$

Числа выше биссектрисы между первой и третьей четвертями, если их угол $a$ находится в интервале $\frac{\pi}{4} < a < \frac{5\pi}{4}$.

Проверим углы для каждой степени $z$:

• $z^1$: угол $0,17\pi$, не попадает в интервал $\frac{\pi}{4} < 0,17\pi < \frac{5\pi}{4}$ — не выше биссектрисы.
• $z^2$: угол $0,34\pi$, попадает в интервал $\frac{\pi}{4} < 0,34\pi < \frac{5\pi}{4}$ — выше биссектрисы.
• $z^3$: угол $0,51\pi$, попадает в интервал $\frac{\pi}{4} < 0,51\pi < \frac{5\pi}{4}$ — выше биссектрисы.
• $z^4$: угол $0,68\pi$, попадает в интервал $\frac{\pi}{4} < 0,68\pi < \frac{5\pi}{4}$ — выше биссектрисы.
• $z^5$: угол $0,85\pi$, попадает в интервал $\frac{\pi}{4} < 0,85\pi < \frac{5\pi}{4}$ — выше биссектрисы.
• $z^6$: угол $1,02\pi$, попадает в интервал $\frac{\pi}{4} < 1,02\pi < \frac{5\pi}{4}$ — выше биссектрисы.
• $z^7$: угол $1,19\pi$, попадает в интервал $\frac{\pi}{4} < 1,19\pi < \frac{5\pi}{4}$ — выше биссектрисы.
• $z^8$: угол $1,36\pi$, не попадает в интервал $\frac{\pi}{4} < 1,36\pi < \frac{5\pi}{4}$ — не выше биссектрисы.
• $z^9$: угол $1,53\pi$, не попадает в интервал $\frac{\pi}{4} < 1,53\pi < \frac{5\pi}{4}$ — не выше биссектрисы.
• $z^{10}$: угол $1,7\pi$, не попадает в интервал $\frac{\pi}{4} < 1,7\pi < \frac{5\pi}{4}$ — не выше биссектрисы.

Ответ для пункта в):

$$z^2; z^3; z^4; z^5; z^6; z^7$$

г) Числа, лежащие ниже биссектрисы II и IV четвертей $\left(\frac{3\pi}{4} < a < \frac{7\pi}{4}\right)$

Числа ниже биссектрисы между второй и четвертой четвертями, если их угол $a$ находится в интервале $\frac{3\pi}{4} < a < \frac{7\pi}{4}$.

Проверим углы для каждой степени $z$:

• $z^5$: угол $0,85\pi$, не попадает в интервал $\frac{3\pi}{4} < 0,85\pi < \frac{7\pi}{4}$ — не ниже биссектрисы.
• $z^6$: угол $1,02\pi$, попадает в интервал $\frac{3\pi}{4} < 1,02\pi < \frac{7\pi}{4}$ — ниже биссектрисы.
• $z^7$: угол $1,19\pi$, попадает в интервал $\frac{3\pi}{4} < 1,19\pi < \frac{7\pi}{4}$ — ниже биссектрисы.
• $z^8$: угол $1,36\pi$, попадает в интервал $\frac{3\pi}{4} < 1,36\pi < \frac{7\pi}{4}$ — ниже биссектрисы.
• $z^9$: угол $1,53\pi$, попадает в интервал $\frac{3\pi}{4} < 1,53\pi < \frac{7\pi}{4}$ — ниже биссектрисы.
• $z^{10}$: угол $1,7\pi$, попадает в интервал $\frac{3\pi}{4} < 1,7\pi < \frac{7\pi}{4}$ — ниже биссектрисы.

Ответ для пункта г):

$$z^5; z^6; z^7; z^8; z^9; z^{10}$$

Итоговые ответы:

а) $z; z^2; z^3; z^4; z^5$

б) $z; z^2; z^9; z^{10}$

в) $z^2; z^3; z^4; z^5; z^6; z^7$

г) $z^5; z^6; z^7; z^8; z^9; z^{10}$