ГДЗ по Алгебре 10 Класс Номер 36.6 Профильный Уровень Мордкович — Подробные Ответы

Пусть $z = 0,5 (\cos 0,23\pi + i \sin 0,23\pi)$. Какие числа из множества $\{z, z^2, z^3, \ldots, z^9, z^{10}\}$:

а) расположены во второй координатной четверти;

б) расположены вне круга радиуса $0,2$ с центром в начале координат;

в) расположены в первой координатной четверти;

г) расположены правее оси ординат и внутри круга радиуса $0,001$ с центром в начале координат?

$$z=0,5(\cos 0,23\pi +i\sin 0,23\pi );$$

$$z = 0,5(\cos 0,23\pi + i \sin 0,23\pi);$$ $$z^2=0,25(\cos 0,46\pi +i\sin 0,46\pi );$$

$$z^2 = 0,25(\cos 0,46\pi + i \sin 0,46\pi);$$ $$z^3=0,125(\cos 0,69\pi +i\sin 0,69\pi );$$

$$z^3 = 0,125(\cos 0,69\pi + i \sin 0,69\pi);$$ $$z^4=0,0625(\cos 0,92\pi +i\sin 0,92\pi );$$

$$z^4 = 0,0625(\cos 0,92\pi + i \sin 0,92\pi);$$ $$z^5=0,03125(\cos 1,15\pi +i\sin 1,15\pi );$$

$$z^5 = 0,03125(\cos 1,15\pi + i \sin 1,15\pi);$$ $$z^6=0,015625(\cos 1,38\pi +i\sin 1,38\pi );$$

$$z^6 = 0,015625(\cos 1,38\pi + i \sin 1,38\pi);$$ $$z^7=0,0078125(\cos 1,61\pi +i\sin 1,61\pi );$$

$$z^7 = 0,0078125(\cos 1,61\pi + i \sin 1,61\pi);$$ $$z^8=0,00390625(\cos 1,84\pi +i\sin 1,84\pi );$$

$$z^8 = 0,00390625(\cos 1,84\pi + i \sin 1,84\pi);$$ $$z^9=0,5^9(\cos 2,07\pi +i\sin 2,07\pi )=0,001953125(\cos 0,07\pi +i\sin 0,07\pi );$$

$$z^9 = 0,5^9(\cos 2,07\pi + i \sin 2,07\pi) = 0,001953125(\cos 0,07\pi + i \sin 0,07\pi);$$ $$z^{10} = 0,5^{10}(\cos 2,3\pi + i \sin 2,3\pi) = 0,0009765625(\cos 0,3\pi + i \sin 0,3\pi);$$

а) Числа, лежащие во второй координатной четверти $\left(\frac{\pi}{2} < a < \pi\right)$:

$$z^3; \, z^4;$$

б) Числа, расположенные вне круга радиуса $0,2$ с центром в точке начала координат $(\rho > 0,2)$:

$$z; \, z^2;$$

в) Числа, лежащие в первой координатной четверти $\left(0 < a < \frac{\pi}{2}\right)$:

$$z; \, z^2; \, z^9; \, z^{10};$$

г) Числа, лежащие правее оси ординат и внутри круга радиуса $0,001$ с центром в точке начала координат $\left(\rho < 0,001; \, 0 < a < \frac{\pi}{2} \text{ и } \frac{3\pi}{2} < a < 2\pi\right)$:

$$z^{10};$$

Комплексное число $z$, представленное в форме:

$$z = 0,5(\cos 0,23\pi + i \sin 0,23\pi)$$

Это представление числа в полярной форме. В таком виде:

$$z = r(\cos \theta + i \sin \theta)$$

где $r = 0,5$ — модуль числа $z$, а $\theta = 0,23\pi$ — его аргумент.

Теперь рассмотрим степени этого числа, начиная с $z^2$.

1. Степени комплексного числа

Используя формулу для возведения комплексного числа в степень в полярной форме:

$$z^n = r^n \left( \cos(n \theta) + i \sin(n \theta) \right)$$

где $r^n$ — это модуль числа, возведённый в степень $n$, а $n \theta$ — аргумент, умноженный на степень.

1.1 $z^2$

Для $z^2$ имеем:

$$z^2 = 0,5^2 \left( \cos(2 \times 0,23\pi) + i \sin(2 \times 0,23\pi) \right) = 0,25 \left( \cos 0,46\pi + i \sin 0,46\pi \right)$$

1.2 $z^3$

Для $z^3$:

$$z^3 = 0,5^3 \left( \cos(3 \times 0,23\pi) + i \sin(3 \times 0,23\pi) \right) = 0,125 \left( \cos 0,69\pi + i \sin 0,69\pi \right)$$

1.3 $z^4$

Для $z^4$:

$$z^4 = 0,5^4 \left( \cos(4 \times 0,23\pi) + i \sin(4 \times 0,23\pi) \right) = 0,0625 \left( \cos 0,92\pi + i \sin 0,92\pi \right)$$

1.4 $z^5$

Для $z^5$:

$$z^5 = 0,5^5 \left( \cos(5 \times 0,23\pi) + i \sin(5 \times 0,23\pi) \right) = 0,03125 \left( \cos 1,15\pi + i \sin 1,15\pi \right)$$

1.5 $z^6$

Для $z^6$:

$$z^6 = 0,5^6 \left( \cos(6 \times 0,23\pi) + i \sin(6 \times 0,23\pi) \right) = 0,015625 \left( \cos 1,38\pi + i \sin 1,38\pi \right)$$

1.6 $z^7$

Для $z^7$:

$$z^7 = 0,5^7 \left( \cos(7 \times 0,23\pi) + i \sin(7 \times 0,23\pi) \right) = 0,0078125 \left( \cos 1,61\pi + i \sin 1,61\pi \right)$$

1.7 $z^8$

Для $z^8$:

$$z^8 = 0,5^8 \left( \cos(8 \times 0,23\pi) + i \sin(8 \times 0,23\pi) \right) = 0,00390625 \left( \cos 1,84\pi + i \sin 1,84\pi \right)$$

1.8 $z^9$

Для $z^9$:

$$z^9 = 0,5^9 \left( \cos(9 \times 0,23\pi) + i \sin(9 \times 0,23\pi) \right)$$ $$z^9 = 0,001953125 \left( \cos 2,07\pi + i \sin 2,07\pi \right) = 0,001953125 \left( \cos 0,07\pi + i \sin 0,07\pi \right)$$

(так как угол $2,07\pi$ можно представить как $2,07\pi — 2\pi = 0,07\pi$).

1.9 $z^{10}$

Для $z^{10}$:

$$z^{10} = 0,5^{10} \left( \cos(10 \times 0,23\pi) + i \sin(10 \times 0,23\pi) \right)$$ $$z^{10} = 0,0009765625 \left( \cos 2,3\pi + i \sin 2,3\pi \right) = 0,0009765625 \left( \cos 0,3\pi + i \sin 0,3\pi \right)$$

(так как угол $2,3\pi$ можно представить как $2,3\pi — 2\pi = 0,3\pi$).

2. Решение по пунктам

Теперь давайте перейдем к решению конкретных пунктов задачи:

а) Числа, лежащие во второй координатной четверти $\left(\frac{\pi}{2} < a < \pi\right)$:

Для чисел во второй четверти аргумент должен быть между $\frac{\pi}{2}$ и $\pi$.

• $z^3$ имеет аргумент $0,69\pi$, что попадает в интервал $\left(\frac{\pi}{2}, \pi\right)$.
• $z^4$ имеет аргумент $0,92\pi$, что также попадает в этот интервал.

Ответ:

$$z^3; \, z^4;$$

б) Числа, расположенные вне круга радиуса $0,2$ с центром в точке начала координат $(\rho > 0,2)$:

Число выходит за пределы круга радиуса $0,2$, если его модуль больше $0,2$. Модули чисел $z^n$ вычисляются как $0,5^n$.

• Для $z$ и $z^2$ модуль больше $0,2$:
  • Модуль $|z| = 0,5$ (больше $0,2$).
  • Модуль $|z^2| = 0,25$ (больше $0,2$).
• Для всех остальных $z^n$ при $n > 2$ модуль уже меньше $0,2$.

Ответ:

$$z; \, z^2;$$

в) Числа, лежащие в первой координатной четверти $\left(0 < a < \frac{\pi}{2}\right)$:

Для первой четверти аргумент должен быть между $0$ и $\frac{\pi}{2}$.

• $z$ имеет аргумент $0,23\pi$, что попадает в первую четверть.
• $z^2$ имеет аргумент $0,46\pi$, что также попадает в первую четверть.
• $z^9$ имеет аргумент $0,07\pi$, что попадает в первую четверть.
• $z^{10}$ имеет аргумент $0,3\pi$, что также попадает в первую четверть.

Ответ:

$$z; \, z^2; \, z^9; \, z^{10};$$

г) Числа, лежащие правее оси ординат и внутри круга радиуса $0,001$ с центром в точке начала координат $\left(\rho < 0,001; \, 0 < a < \frac{\pi}{2} \text{ и } \frac{3\pi}{2} < a < 2\pi\right)$:

Для числа, которое находится внутри круга радиуса $0,001$, его модуль должен быть меньше $0,001$, а также аргумент должен лежать в первой или четвёртой четверти.

• $z^{10}$ имеет модуль $0,0009765625$, что меньше $0,001$, и аргумент $0,3\pi$ попадает в первую четверть.

Ответ:

$$z^{10};$$

Итоговый ответ:

а) $z^3; \, z^4;$

б) $z; \, z^2;$

в) $z; \, z^2; \, z^9; \, z^{10};$

г) $z^{10};$