ГДЗ по Алгебре 10 Класс Номер 36.7 Профильный Уровень Мордкович — Подробные Ответы

Вычислите:

а) $(\cos 15^\circ + i \sin 15^\circ)^8$;

б) $(\cos 15^\circ + i \sin 15^\circ)^{18}$;

в) $(\cos 75^\circ + i \sin 75^\circ)^{10}$;

г) $(\cos 75^\circ + i \sin 75^\circ)^{100}$

а) $(\cos 15^\circ + i \sin 15^\circ)^8$;

$$\cos(8 \cdot 15^\circ) + i \sin(8 \cdot 15^\circ) = \cos 120^\circ + i \sin 120^\circ = -\frac{1}{2} + \frac{\sqrt{3}}{2}i;$$

б) $(\cos 15^\circ + i \sin 15^\circ)^{18}$;

$$\cos(18 \cdot 15^\circ) + i \sin(18 \cdot 15^\circ) = \cos 270^\circ + i \sin 270^\circ = 0 — 1i = -i;$$

в) $(\cos 75^\circ + i \sin 75^\circ)^{10}$;

$$\cos 750^\circ + i \sin 750^\circ = \cos 30^\circ + i \sin 30^\circ = \frac{\sqrt{3}}{2} + \frac{1}{2}i;$$

г) $(\cos 75^\circ + i \sin 75^\circ)^{100}$;

$$\cos 7500^\circ + i \sin 7500^\circ = \cos 300^\circ + i \sin 300^\circ = \frac{1}{2} — \frac{\sqrt{3}}{2}i;$$

Формула Эйлера:

$$\cos \theta + i \sin \theta = e^{i \theta}$$

Таким образом, выражения типа $\cos \theta + i \sin \theta$ могут быть записаны как $e^{i \theta}$.

Теорема де Мойбра:
Для целого числа $n$ выполняется:

$$\left( \cos \theta + i \sin \theta \right)^n = \cos (n \theta) + i \sin (n \theta)$$

Теперь давайте рассмотрим каждое выражение по порядку.

а) $(\cos 15^\circ + i \sin 15^\circ)^8$

Для начала применим теорему де Мойбра. Мы имеем:

$$\left( \cos 15^\circ + i \sin 15^\circ \right)^8 = \cos (8 \cdot 15^\circ) + i \sin (8 \cdot 15^\circ)$$

Вычислим углы:

$$8 \cdot 15^\circ = 120^\circ$$

Теперь подставляем:

$$\cos 120^\circ + i \sin 120^\circ$$

Из тригонометрических значений для угла $120^\circ$:

$$\cos 120^\circ = -\frac{1}{2}, \quad \sin 120^\circ = \frac{\sqrt{3}}{2}$$

Таким образом, выражение становится:

$$-\frac{1}{2} + \frac{\sqrt{3}}{2} i$$

Это и есть результат для пункта а).

б) $(\cos 15^\circ + i \sin 15^\circ)^{18}$

Применим теорему де Мойбра:

$$\left( \cos 15^\circ + i \sin 15^\circ \right)^{18} = \cos (18 \cdot 15^\circ) + i \sin (18 \cdot 15^\circ)$$

Вычисляем угол:

$$18 \cdot 15^\circ = 270^\circ$$

Теперь подставляем:

$$\cos 270^\circ + i \sin 270^\circ$$

Из тригонометрических значений для угла $270^\circ$:

$$\cos 270^\circ = 0, \quad \sin 270^\circ = -1$$

Таким образом, выражение становится:

$$0 — i = -i$$

Это и есть результат для пункта б).

в) $(\cos 75^\circ + i \sin 75^\circ)^{10}$

Применяем теорему де Мойбра:

$$\left( \cos 75^\circ + i \sin 75^\circ \right)^{10} = \cos (10 \cdot 75^\circ) + i \sin (10 \cdot 75^\circ)$$

Вычисляем угол:

$$10 \cdot 75^\circ = 750^\circ$$

Чтобы получить угол в пределах от 0° до 360°, вычитаем полные обороты:

$$750^\circ — 2 \cdot 360^\circ = 750^\circ — 720^\circ = 30^\circ$$

Теперь подставляем:

$$\cos 30^\circ + i \sin 30^\circ$$

Из тригонометрических значений для угла $30^\circ$:

$$\cos 30^\circ = \frac{\sqrt{3}}{2}, \quad \sin 30^\circ = \frac{1}{2}$$

Таким образом, выражение становится:

$$\frac{\sqrt{3}}{2} + \frac{1}{2} i$$

Это и есть результат для пункта в).

г) $(\cos 75^\circ + i \sin 75^\circ)^{100}$

Применяем теорему де Мойбра:

$$\left( \cos 75^\circ + i \sin 75^\circ \right)^{100} = \cos (100 \cdot 75^\circ) + i \sin (100 \cdot 75^\circ)$$

Вычисляем угол:

$$100 \cdot 75^\circ = 7500^\circ$$

Чтобы получить угол в пределах от 0° до 360°, вычитаем полные обороты:

$$7500^\circ — 20 \cdot 360^\circ = 7500^\circ — 7200^\circ = 300^\circ$$

Теперь подставляем:

$$\cos 300^\circ + i \sin 300^\circ$$

Из тригонометрических значений для угла $300^\circ$:

$$\cos 300^\circ = \frac{1}{2}, \quad \sin 300^\circ = -\frac{\sqrt{3}}{2}$$

Таким образом, выражение становится:

$$\frac{1}{2} — \frac{\sqrt{3}}{2} i$$

Это и есть результат для пункта г).

Итоговые результаты:

а) $-\frac{1}{2} + \frac{\sqrt{3}}{2} i$

б) $-i$

в) $\frac{\sqrt{3}}{2} + \frac{1}{2} i$

г) $\frac{1}{2} — \frac{\sqrt{3}}{2} i$