ГДЗ по Алгебре 10 Класс Номер 36.8 Профильный Уровень Мордкович — Подробные Ответы

Вычислите:

а) $z = (1 + i)^4$;

б) $z = (1 + i)^6$;

в) $z = (1 — i)^{10}$;

г) $z = (1 — i)^{20}$

а) $z = (1 + i)^4$;

$$|z| = \sqrt{1^2 + 1^2} = \sqrt{1 + 1} = \sqrt{2}, \text{ тогда } a = \arccos \frac{1}{\sqrt{2}} = \frac{\pi}{4};$$ $$z = \left( \sqrt{2} \left( \cos \frac{\pi}{4} + i \sin \frac{\pi}{4} \right) \right)^4 = (\sqrt{2})^4 \left( \cos \frac{4\pi}{4} + i \sin \frac{4\pi}{4} \right);$$ $$z = 2^2 (\cos \pi + i \sin \pi) = 4(-1 + 0i) = -4;$$

Ответ: $-4$.

б) $z = (1 + i)^6$;

$$|z| = \sqrt{1^2 + 1^2} = \sqrt{1 + 1} = \sqrt{2}, \text{ тогда } a = \arccos \frac{1}{\sqrt{2}} = \frac{\pi}{4};$$ $$z = \left( \sqrt{2} \left( \cos \frac{\pi}{4} + i \sin \frac{\pi}{4} \right) \right)^6 = (\sqrt{2})^6 \left( \cos \frac{6\pi}{4} + i \sin \frac{6\pi}{4} \right);$$ $$z = 2^3 \left( \cos \frac{3\pi}{2} + i \sin \frac{3\pi}{2} \right) = 8(0 — 1i) = -8i;$$

Ответ: $-8i$.

в) $z = (1 — i)^{10}$;

$$|z| = \sqrt{1^2 + (-1)^2} = \sqrt{1 + 1} = \sqrt{2}, \text{ тогда } a = \arccos \frac{1}{\sqrt{2}} = \frac{\pi}{4};$$ $$z = \left( \sqrt{2} \left( \cos \frac{\pi}{4} — i \sin \frac{\pi}{4} \right) \right)^{10} = (\sqrt{2})^{10} \left( \cos \frac{10\pi}{4} — i \sin \frac{10\pi}{4} \right);$$ $$z = 2^5 \left( \cos \frac{5\pi}{2} — i \sin \frac{5\pi}{2} \right) = 32 \left( \cos \frac{\pi}{2} — i \sin \frac{\pi}{2} \right) = 32(0 — 1i) = 32i;$$

Ответ: $32i$.

г) $z = (1 — i)^{20}$;

$$|z| = \sqrt{1^2 + (-1)^2} = \sqrt{1 + 1} = \sqrt{2}, \text{ тогда } a = \arccos \frac{1}{\sqrt{2}} = \frac{\pi}{4};$$ $$z = \left( \sqrt{2} \left( \cos \frac{\pi}{4} — i \sin \frac{\pi}{4} \right) \right)^{20} = (\sqrt{2})^{20} \left( \cos \frac{20\pi}{4} — i \sin \frac{20\pi}{4} \right);$$ $$z = 2^{10} (\cos 5\pi — i \sin 5\pi) = 1024 (\cos \pi — i \sin \pi);$$ $$z = 1024(-1 + 0i) = -1024;$$

Ответ: $-1024$.

а) $z = (1 + i)^4$

Шаг 1: Определяем модуль комплексного числа.

Для начала, вычислим модуль комплексного числа $1 + i$. Модуль комплексного числа $z = x + iy$ определяется по формуле:

$$|z| = \sqrt{x^2 + y^2}$$

В нашем случае $x = 1$ и $y = 1$, так что:

$$|1 + i| = \sqrt{1^2 + 1^2} = \sqrt{1 + 1} = \sqrt{2}$$

Шаг 2: Определяем аргумент комплексного числа.

Для нахождения аргумента $a$ числа $1 + i$, используем формулу для аргумента комплексного числа:

$$a = \arctan\left(\frac{y}{x}\right)$$

Однако, так как и $x$, и $y$ равны 1, то можно сразу сказать, что:

$$a = \arctan\left(\frac{1}{1}\right) = \arctan(1) = \frac{\pi}{4}$$

Шаг 3: Представление в полярной форме.

Комплексное число $1 + i$ можно записать в полярной форме как:

$$1 + i = |1 + i|\left( \cos a + i \sin a \right) = \sqrt{2} \left( \cos \frac{\pi}{4} + i \sin \frac{\pi}{4} \right)$$

Шаг 4: Возведение в степень 4.

Теперь возведем это комплексное число в степень 4. Для этого используем формулу для возведения комплексного числа в степень в полярной форме:

$$z^n = r^n \left( \cos(n \cdot a) + i \sin(n \cdot a) \right)$$

Где $r = \sqrt{2}$, $a = \frac{\pi}{4}$, а $n = 4$. Подставляем значения:

$$z = \left( \sqrt{2} \left( \cos \frac{\pi}{4} + i \sin \frac{\pi}{4} \right) \right)^4 = (\sqrt{2})^4 \left( \cos \frac{4\pi}{4} + i \sin \frac{4\pi}{4} \right)$$ $$z = 2^2 \left( \cos \pi + i \sin \pi \right)$$

Шаг 5: Вычисляем результат.

Известно, что:

$$\cos \pi = -1, \quad \sin \pi = 0$$

Подставляем эти значения:

$$z = 4 \left( -1 + 0i \right) = -4$$

Ответ: $-4$.

б) $z = (1 + i)^6$

Шаг 1: Определяем модуль и аргумент.

Модуль и аргумент числа $1 + i$ мы уже нашли ранее, они равны:

$$|1 + i| = \sqrt{2}, \quad a = \frac{\pi}{4}$$

Шаг 2: Представление в полярной форме.

Число $1 + i$ в полярной форме:

$$1 + i = \sqrt{2} \left( \cos \frac{\pi}{4} + i \sin \frac{\pi}{4} \right)$$

Шаг 3: Возведение в степень 6.

Теперь возводим это комплексное число в степень 6:

$$z = \left( \sqrt{2} \left( \cos \frac{\pi}{4} + i \sin \frac{\pi}{4} \right) \right)^6 = (\sqrt{2})^6 \left( \cos \frac{6\pi}{4} + i \sin \frac{6\pi}{4} \right)$$ $$z = 2^3 \left( \cos \frac{6\pi}{4} + i \sin \frac{6\pi}{4} \right)$$

Шаг 4: Упростим аргумент.

Упростим аргумент:

$$\frac{6\pi}{4} = \frac{3\pi}{2}$$

Теперь используем значения для $\cos \frac{3\pi}{2}$ и $\sin \frac{3\pi}{2}$:

$$\cos \frac{3\pi}{2} = 0, \quad \sin \frac{3\pi}{2} = -1$$

Подставляем:

$$z = 8 \left( \cos \frac{3\pi}{2} + i \sin \frac{3\pi}{2} \right) = 8(0 — 1i) = -8i$$

Ответ: $-8i$.

в) $z = (1 — i)^{10}$

Шаг 1: Определяем модуль и аргумент.

Для $1 — i$ модуль будет:

$$|1 — i| = \sqrt{1^2 + (-1)^2} = \sqrt{1 + 1} = \sqrt{2}$$

Теперь определим аргумент:

$$a = \arctan\left(\frac{-1}{1}\right) = \arctan(-1) = -\frac{\pi}{4}$$

Шаг 2: Представление в полярной форме.

Комплексное число $1 — i$ в полярной форме:

$$1 — i = \sqrt{2} \left( \cos \left(-\frac{\pi}{4}\right) + i \sin \left(-\frac{\pi}{4}\right) \right)$$

Шаг 3: Возведение в степень 10.

Теперь возведем это число в степень 10:

$$z = \left( \sqrt{2} \left( \cos \left(-\frac{\pi}{4}\right) + i \sin \left(-\frac{\pi}{4}\right) \right) \right)^{10}$$ $$z = (\sqrt{2})^{10} \left( \cos \frac{10 \cdot (-\frac{\pi}{4})}{1} — i \sin \frac{10 \cdot (-\frac{\pi}{4})}{1} \right)$$ $$z = 2^5 \left( \cos \frac{-10\pi}{4} — i \sin \frac{-10\pi}{4} \right)$$

Упростим аргумент:

$$\frac{-10\pi}{4} = -\frac{5\pi}{2} = -2\pi — \frac{\pi}{2}$$

Используем периодичность тригонометрических функций:

$$\cos \left(-2\pi — \frac{\pi}{2}\right) = \cos \left(-\frac{\pi}{2}\right) = 0$$ $$\sin \left(-2\pi — \frac{\pi}{2}\right) = \sin \left(-\frac{\pi}{2}\right) = -1$$

Подставляем эти значения:

$$z = 32 \left( 0 — (-1)i \right) = 32i$$

Ответ: $32i$.

г) $z = (1 — i)^{20}$

Шаг 1: Модуль и аргумент.

Модуль и аргумент $1 — i$ были найдены ранее:

$$|1 — i| = \sqrt{2}, \quad a = -\frac{\pi}{4}$$

Шаг 2: Представление в полярной форме.

Число $1 — i$ в полярной форме:

$$1 — i = \sqrt{2} \left( \cos \left(-\frac{\pi}{4}\right) + i \sin \left(-\frac{\pi}{4}\right) \right)$$

Шаг 3: Возведение в степень 20.

Возводим число в степень 20:

$$z = \left( \sqrt{2} \left( \cos \left(-\frac{\pi}{4}\right) + i \sin \left(-\frac{\pi}{4}\right) \right) \right)^{20}$$ $$z = (\sqrt{2})^{20} \left( \cos \frac{20 \cdot (-\frac{\pi}{4})}{1} — i \sin \frac{20 \cdot (-\frac{\pi}{4})}{1} \right)$$ $$z = 2^{10} \left( \cos \frac{-20\pi}{4} — i \sin \frac{-20\pi}{4} \right)$$

Упростим аргумент:

$$\frac{-20\pi}{4} = -5\pi$$

Известно, что:

$$\cos (-5\pi) = -1, \quad \sin (-5\pi) = 0$$

Подставляем:

$$z = 1024 (-1 + 0i) = -1024$$

Ответ: $-1024$.