ГДЗ по Алгебре 10 Класс Номер 36.9 Профильный Уровень Мордкович — Подробные Ответы

Вычислите:

а) $z = (1 + \sqrt{3}i)^3$;

б) $z = (1 + \sqrt{3}i)^5$;

в) $z = (\sqrt{3} + i)^7$;

г) $z = (\sqrt{3} — i)^9$

а) $z = (1 + \sqrt{3}i)^3$;

$$|z| = \sqrt{1^2 + (\sqrt{3})^2} = \sqrt{1 + 3} = \sqrt{4} = 2, \text{ тогда } \alpha = \arccos \frac{1}{2} = \frac{\pi}{3};$$ $$z = \left( 2 \left( \cos \frac{\pi}{3} + i \sin \frac{\pi}{3} \right) \right)^3 = 2^3 \left( \cos \frac{3\pi}{3} + i \sin \frac{3\pi}{3} \right);$$ $$z = 8 \left( \cos \pi + i \sin \pi \right) = 8(-1 + 0i) = -8;$$

Ответ: $-8$.

б) $z = (1 + \sqrt{3}i)^5$;

$$|z| = \sqrt{1^2 + (\sqrt{3})^2} = \sqrt{1 + 3} = \sqrt{4} = 2, \text{ тогда } \alpha = \arccos \frac{1}{2} = \frac{\pi}{3};$$ $$z = \left( 2 \left( \cos \frac{\pi}{3} + i \sin \frac{\pi}{3} \right) \right)^5 = 2^5 \left( \cos \frac{5\pi}{3} + i \sin \frac{5\pi}{3} \right);$$ $$z = 32 \left( \frac{1}{2} — \frac{\sqrt{3}}{2}i \right) = 16(1 — \sqrt{3}i);$$

Ответ: $16(1 — i\sqrt{3})$.

в) $z = (\sqrt{3} + i)^7$;

$$|z| = \sqrt{(\sqrt{3})^2 + 1^2} = \sqrt{3 + 1} = \sqrt{4} = 2, \text{ тогда } \alpha = \arccos \frac{\sqrt{3}}{2} = \frac{\pi}{6};$$ $$z = \left( 2 \left( \cos \frac{\pi}{6} + i \sin \frac{\pi}{6} \right) \right)^7 = 2^7 \left( \cos \frac{7\pi}{6} + i \sin \frac{7\pi}{6} \right);$$ $$z = 128 \left( -\frac{\sqrt{3}}{2} — \frac{1}{2}i \right) = -64(\sqrt{3} + i);$$

Ответ: $-64(\sqrt{3} + i)$.

г) $z = (\sqrt{3} — i)^9$;

$$|z| = \sqrt{(\sqrt{3})^2 + (-1)^2} = \sqrt{3 + 1} = \sqrt{4} = 2, \text{ тогда } \alpha = \arccos \frac{1}{\sqrt{3}} = \frac{\pi}{6};$$ $$z = \left( 2 \left( \cos \frac{\pi}{6} — i \sin \frac{\pi}{6} \right) \right)^9 = 2^9 \left( \cos \frac{9\pi}{6} — i \sin \frac{9\pi}{6} \right);$$ $$z = 512 \left( \cos \frac{3\pi}{2} — i \sin \frac{3\pi}{2} \right) = 512(0 + 1i) = 512i;$$

Ответ: $512i$.

а) $z = (1 + \sqrt{3}i)^3$

1. Нахождение модуля числа $z$

Чтобы найти модуль комплексного числа $z = a + bi$, используем формулу:

$$|z| = \sqrt{a^2 + b^2}$$

Для $z = 1 + \sqrt{3}i$, $a = 1$, а $b = \sqrt{3}$. Подставляем в формулу:

$$|z| = \sqrt{1^2 + (\sqrt{3})^2} = \sqrt{1 + 3} = \sqrt{4} = 2$$

2. Нахождение аргумента $\alpha$ числа $z$

Аргумент комплексного числа $z = a + bi$ можно найти с помощью формулы:

$$\alpha = \arctan \left( \frac{b}{a} \right)$$

Однако здесь удобно использовать формулу для комплексных чисел в полярной форме $r \left( \cos \theta + i \sin \theta \right)$, где $r$ — модуль, а $\theta$ — аргумент.

В данном случае:

$$a = 1, \quad b = \sqrt{3}$$

Аргумент $\alpha$ будет равен:

$$\alpha = \arccos \left( \frac{a}{|z|} \right) = \arccos \left( \frac{1}{2} \right) = \frac{\pi}{3}$$

Таким образом, мы можем записать $z$ в полярной форме:

$$z = 2 \left( \cos \frac{\pi}{3} + i \sin \frac{\pi}{3} \right)$$

3. Возведение в степень

Теперь возведем $z$ в степень 3, используя формулу для возведения числа в степень в полярной форме:

$$z^n = r^n \left( \cos (n\alpha) + i \sin (n\alpha) \right)$$

Подставляем $r = 2$, $\alpha = \frac{\pi}{3}$, и $n = 3$:

$$z^3 = 2^3 \left( \cos \frac{3\pi}{3} + i \sin \frac{3\pi}{3} \right)$$ $$z^3 = 8 \left( \cos \pi + i \sin \pi \right)$$

Значения косинуса и синуса при $\pi$ следующие:

$$\cos \pi = -1, \quad \sin \pi = 0$$

Следовательно:

$$z^3 = 8(-1 + 0i) = -8$$

Ответ: $z^3 = -8$.

б) $z = (1 + \sqrt{3}i)^5$

1. Нахождение модуля и аргумента

Модуль $|z|$ уже был вычислен в предыдущем пункте:

$$|z| = 2$$

Аргумент $\alpha$ также тот же, что и в предыдущем случае:

$$\alpha = \frac{\pi}{3}$$

2. Возведение в степень

Теперь возведем число в степень 5. Используем аналогичную формулу:

$$z^5 = r^5 \left( \cos (5\alpha) + i \sin (5\alpha) \right)$$

Подставляем значения:

$$z^5 = 2^5 \left( \cos \frac{5\pi}{3} + i \sin \frac{5\pi}{3} \right)$$

Вычислим $\cos \frac{5\pi}{3}$ и $\sin \frac{5\pi}{3}$. Заметим, что $\frac{5\pi}{3}$ — это угол, который находится в четвертой четверти, и его можно выразить как $2\pi — \frac{\pi}{3}$. Таким образом:

$$\cos \frac{5\pi}{3} = \frac{1}{2}, \quad \sin \frac{5\pi}{3} = -\frac{\sqrt{3}}{2}$$

Теперь подставим:

$$z^5 = 32 \left( \frac{1}{2} — \frac{\sqrt{3}}{2}i \right)$$

Умножаем на 32:

$$z^5 = 32 \times \frac{1}{2} — 32 \times \frac{\sqrt{3}}{2}i = 16 — 16\sqrt{3}i$$

Ответ: $z^5 = 16(1 — \sqrt{3}i)$.

в) $z = (\sqrt{3} + i)^7$

1. Нахождение модуля и аргумента

Модуль $|z|$ для $z = \sqrt{3} + i$:

$$|z| = \sqrt{(\sqrt{3})^2 + 1^2} = \sqrt{3 + 1} = \sqrt{4} = 2$$

Аргумент $\alpha$ будет:

$$\alpha = \arccos \left( \frac{\sqrt{3}}{2} \right) = \frac{\pi}{6}$$

2. Возведение в степень

Теперь возведем число в степень 7:

$$z^7 = r^7 \left( \cos (7\alpha) + i \sin (7\alpha) \right)$$

Подставляем значения:

$$z^7 = 2^7 \left( \cos \frac{7\pi}{6} + i \sin \frac{7\pi}{6} \right)$$

Для угла $\frac{7\pi}{6}$, который находится в третьей четверти, имеем:

$$\cos \frac{7\pi}{6} = -\frac{\sqrt{3}}{2}, \quad \sin \frac{7\pi}{6} = -\frac{1}{2}$$

Подставляем:

$$z^7 = 128 \left( -\frac{\sqrt{3}}{2} — \frac{1}{2}i \right)$$

Умножаем на 128:

$$z^7 = -64\sqrt{3} — 64i$$

Ответ: $z^7 = -64(\sqrt{3} + i)$.

г) $z = (\sqrt{3} — i)^9$

1. Нахождение модуля и аргумента

Модуль $|z|$ для $z = \sqrt{3} — i$:

$$|z| = \sqrt{(\sqrt{3})^2 + (-1)^2} = \sqrt{3 + 1} = \sqrt{4} = 2$$

Аргумент $\alpha$ будет:

$$\alpha = \arccos \left( \frac{1}{\sqrt{3}} \right) = \frac{\pi}{6}$$

2. Возведение в степень

Теперь возведем число в степень 9:

$$z^9 = r^9 \left( \cos (9\alpha) — i \sin (9\alpha) \right)$$

Подставляем значения:

$$z^9 = 2^9 \left( \cos \frac{9\pi}{6} — i \sin \frac{9\pi}{6} \right)$$

Заметив, что $\frac{9\pi}{6} = \frac{3\pi}{2}$, получаем:

$$\cos \frac{3\pi}{2} = 0, \quad \sin \frac{3\pi}{2} = -1$$

Подставляем:

$$z^9 = 512 \left( 0 — (-1)i \right) = 512i$$

Ответ: $z^9 = 512i$.

Итоговые ответы:

а) $-8$

б) $16(1 — i\sqrt{3})$

в) $-64(\sqrt{3} + i)$

г) $512i$