ГДЗ по Алгебре 10 Класс Номер 37.1 Профильный Уровень Мордкович — Подробные Ответы

Являются ли числовыми последовательностями следующие функции:

а) $y=3x^2+5$, $x\in \mathbb{Z}$

б) $y=\sin x$, $x\in [0;2\pi ]$

в) $y=7-x^2$, $x\in \mathbb{Q}$

г) $y=\cos \frac{x}{2}$, $x\in \mathbb{N}$

Функцию называют числовой последовательностью в том, и только в том случае, если ее аргумент принадлежит множеству натуральных чисел;

а) $y=3x^2+5$, где $x\in \mathbb{Z}$ — не является;

б) $y=\sin x$, где $x\in [0;2\pi ]$ — не является;

в) $y=7-x^2$, где $x\in \mathbb{Q}$ — не является;

г) $y=\cos \frac{x}{2}$, где $x\in \mathbb{N}$ — является;

Ответ: а) нет; б) нет; в) нет; г) да.

Числовая последовательность — это функция, которая отображает элементы множества натуральных чисел $\mathbb{N}$ в некоторое множество чисел, обычно в множество вещественных чисел $\mathbb{R}$, или в более специфические множества, такие как рациональные $\mathbb{Q}$, целые $\mathbb{Z}$ или комплексные $\mathbb{C}$.

Таким образом, числовая последовательность имеет вид:

$$y=f(x),\text{где}x\in \mathbb{N}\mathrm{.}$$

Это означает, что функция определяется только для натуральных чисел $x$, а не для других значений.

Разбор каждого случая

а) $y=3x^2+5$, где $x\in \mathbb{Z}$

Здесь аргумент $x$ принадлежит множеству целых чисел $\mathbb{Z}$, а не натуральных чисел $\mathbb{N}$. Это не соответствует определению числовой последовательности, поскольку числовая последовательность может быть определена только для $x\in \mathbb{N}$, а не для всех целых чисел.

Ответ: не является числовой последовательностью.

б) $y=\sin x$, где $x\in [0;2\pi ]$

В данном случае $x$ принимает значения из отрезка $[0;2\pi ]$, то есть из множества вещественных чисел $\mathbb{R}$, а не из множества натуральных чисел $\mathbb{N}$. Числовая последовательность требует, чтобы аргумент функции был из множества натуральных чисел, а не из непрерывного интервала.

Ответ: не является числовой последовательностью.

в) $y=7-x^2$, где $x\in \mathbb{Q}$

Здесь аргумент $x$ принадлежит множеству рациональных чисел $\mathbb{Q}$, а не натуральных чисел $\mathbb{N}$. Согласно определению числовой последовательности, она должна быть определена только для натуральных чисел $x$, а не для рациональных чисел.

Ответ: не является числовой последовательностью.

г) $y=\cos \frac{x}{2}$, где $x\in \mathbb{N}$

Здесь аргумент $x$ принадлежит множеству натуральных чисел $\mathbb{N}$, что полностью соответствует требованию для числовой последовательности. Функция $y=\cos \frac{x}{2}$ может быть определена для каждого $x\in \mathbb{N}$, и таким образом, она является числовой последовательностью.

Ответ: является числовой последовательностью.

Итоговое решение:

а) не является числовой последовательностью.

б) не является числовой последовательностью.

в) не является числовой последовательностью.

г) является числовой последовательностью.