ГДЗ по Алгебре 10 Класс Номер 37.12 Профильный Уровень Мордкович — Подробные Ответы

Определите значения первых пяти членов последовательности и составьте формулу ее n-го члена, если график последовательности представлен:

a) на рис. 64;

б) на рис. 65;

в) на рис. 66;

г) на рис. 67.

а) На рисунке 64:
$a_1 = 1,5;$
$a_2 = 3;$
$a_3 = 4,5;$
$a_4 = 6;$
$a_5 = 7,5;$
$a_n = 1,5n;$

б) На рисунке 65:
$b_1 = -1;$
$b_2 = 1;$
$b_3 = -1;$
$b_4 = 1;$
$b_5 = -1;$
$b_n = (-1)^n;$

в) На рисунке 66:
$c_1 = 8;$
$c_2 = 4;$
$c_3 = 2\frac{2}{3} = \frac{8}{3};$
$c_4 = 2;$
$c_5 = 1\frac{3}{5} = \frac{8}{5};$
$c_n = \frac{8}{n};$

г) На рисунке 67:
$d_1 = 1;$
$d_2 = -2;$
$d_3 = 3;$
$d_4 = -4;$
$d_5 = 5;$
$d_n = (-1)^{n+1} \cdot n;$

а) На рисунке 64:

Даны первые пять членов последовательности, а также формула для общего члена последовательности:

$$a_1 = 1,5, \quad a_2 = 3, \quad a_3 = 4,5, \quad a_4 = 6, \quad a_5 = 7,5, \quad a_n = 1,5n.$$

1. Определим формулу для общего члена:

Мы видим, что каждый следующий элемент последовательности увеличивается на 1,5 относительно предыдущего. Поскольку $a_1 = 1,5$, $a_2 = 3$, $a_3 = 4,5$, $a_4 = 6$, $a_5 = 7,5$, можно заметить, что разница между каждым соседним элементом постоянна и равна $1,5$.

Это указывает на то, что последовательность является арифметической с первым членом $a_1 = 1,5$ и разностью $d = 1,5$.

Формула для общего члена арифметической прогрессии:

$$a_n = a_1 + (n — 1) \cdot d.$$

Подставим значения:

$$a_n = 1,5 + (n — 1) \cdot 1,5 = 1,5n.$$

Это и есть формула для $a_n$.

2. Проверим:

Для $n = 1$:

$$a_1 = 1,5 \cdot 1 = 1,5.$$

Для $n = 2$:

$$a_2 = 1,5 \cdot 2 = 3.$$

Для $n = 3$:

$$a_3 = 1,5 \cdot 3 = 4,5.$$

Для $n = 4$:

$$a_4 = 1,5 \cdot 4 = 6.$$

Для $n = 5$:

$$a_5 = 1,5 \cdot 5 = 7,5.$$

Таким образом, формула $a_n = 1,5n$ правильно соответствует данным.

б) На рисунке 65:

Даны первые пять членов последовательности, а также формула для общего члена последовательности:

$$b_1 = -1, \quad b_2 = 1, \quad b_3 = -1, \quad b_4 = 1, \quad b_5 = -1, \quad b_n = (-1)^n.$$

1. Проверим закономерность:

Последовательность $b_1, b_2, b_3, b_4, b_5$ выглядит так:

$$-1, 1, -1, 1, -1.$$

Каждый элемент чередуется между $-1$ и $1$. Это указывает на то, что последовательность меняет знак с каждым шагом. Мы видим, что для четных $n$ значения $b_n = 1$, а для нечетных $n$ — значения $b_n = -1$.

2. Формула для общего члена:

Математически это можно выразить как $b_n = (-1)^n$, так как при четном $n$ степень $(-1)$ будет четной (то есть результат $1$), а при нечетном $n$ степень будет нечетной (результат $-1$).

3. Проверим:

Для $n = 1$:

$$b_1 = (-1)^1 = -1.$$

Для $n = 2$:

$$b_2 = (-1)^2 = 1.$$

Для $n = 3$:

$$b_3 = (-1)^3 = -1.$$

Для $n = 4$:

$$b_4 = (-1)^4 = 1.$$

Для $n = 5$:

$$b_5 = (-1)^5 = -1.$$

Формула $b_n = (-1)^n$ правильно описывает последовательность.

в) На рисунке 66:

Даны первые пять членов последовательности, а также формула для общего члена последовательности:

$$c_1 = 8, \quad c_2 = 4, \quad c_3 = \frac{8}{3}, \quad c_4 = 2, \quad c_5 = \frac{8}{5}, \quad c_n = \frac{8}{n}.$$

1. Проверим закономерность:

Последовательность выглядит так:

$$8, 4, \frac{8}{3}, 2, \frac{8}{5}.$$

Каждое следующее число получается делением 8 на число, равное порядковому номеру члена. Таким образом, для любого $n$-го члена последовательности $c_n = \frac{8}{n}$.

2. Формула для общего члена:

Очевидно, что последовательность убывает, причем каждый следующий элемент меньше предыдущего. Это можно выразить как $c_n = \frac{8}{n}$.

3. Проверим:

Для $n = 1$:

$$c_1 = \frac{8}{1} = 8.$$

Для $n = 2$:

$$c_2 = \frac{8}{2} = 4.$$

Для $n = 3$:

$$c_3 = \frac{8}{3}.$$

Для $n = 4$:

$$c_4 = \frac{8}{4} = 2.$$

Для $n = 5$:

$$c_5 = \frac{8}{5}.$$

Формула $c_n = \frac{8}{n}$ верно описывает последовательность.

г) На рисунке 67:

Даны первые пять членов последовательности, а также формула для общего члена последовательности:

$$d_1 = 1, \quad d_2 = -2, \quad d_3 = 3, \quad d_4 = -4, \quad d_5 = 5, \quad d_n = (-1)^{n+1} \cdot n.$$

1. Проверим закономерность:

Последовательность выглядит так:

$$1, -2, 3, -4, 5.$$

Каждое число меняет знак на противоположный с каждым шагом, начиная с 1, и по величине является просто числом, соответствующим порядковому номеру.

2. Формула для общего члена:

Мы видим, что знак каждого элемента чередуется. Чтобы учесть этот знак, можно умножить на $(-1)^{n+1}$. Это даст положительный знак для нечетных $n$ (так как $(-1)^{n+1}$ будет равно 1 при нечётных $n$ и -1 при чётных).

Таким образом, формула для общего члена будет:

$$d_n = (-1)^{n+1} \cdot n.$$

3. Проверим:

Для $n = 1$:

$$d_1 = (-1)^{1+1} \cdot 1 = (-1)^2 \cdot 1 = 1.$$

Для $n = 2$:

$$d_2 = (-1)^{2+1} \cdot 2 = (-1)^3 \cdot 2 = -2.$$

Для $n = 3$:

$$d_3 = (-1)^{3+1} \cdot 3 = (-1)^4 \cdot 3 = 3.$$

Для $n = 4$:

$$d_4 = (-1)^{4+1} \cdot 4 = (-1)^5 \cdot 4 = -4.$$

Для $n = 5$:

$$d_5 = (-1)^{5+1} \cdot 5 = (-1)^6 \cdot 5 = 5.$$

Формула $d_n = (-1)^{n+1} \cdot n$ верно описывает последовательность.