ГДЗ по Алгебре 10 Класс Номер 37.16 Профильный Уровень Мордкович — Подробные Ответы

Постройте график последовательности:

а) $y_n=10-n^3$

б) $y_n=(-1{)}^n\sqrt{9n}$

в) $y_n=n^3-8$

г) $y_n=4-\sqrt{4n}$

а) $y_n=10-n^3$

Члены последовательности:

$$y_1=10-1^3=10-1=9;$$$$y_2=10-2^3=10-8=2;$$$$y_3=10-3^3=10-27=-17;$$

График последовательности:

б) $y_n=(-1{)}^n\sqrt{9n}$

Члены последовательности:

$$y_1=(-1{)}^1\cdot \sqrt{9\cdot 1}=-1\cdot 3=-3;$$$$y_2=(-1{)}^2\cdot \sqrt{9\cdot 2}=\sqrt{18}\approx 4,2;$$$$y_3=(-1{)}^3\cdot \sqrt{9\cdot 3}=-\sqrt{27}\approx -5,2;$$$$y_4=(-1{)}^4\cdot \sqrt{9\cdot 4}=3\cdot 2=6;$$$$y_5=(-1{)}^5\cdot \sqrt{9\cdot 5}=-\sqrt{45}\approx -6,7;$$

График последовательности:

в) $y_n=n^3-8$

Члены последовательности:

$$y_1=1^3-8=1-8=-7;$$$$y_2=2^3-8=8-8=0;$$$$y_3=3^3-8=27-8=19;$$

График последовательности:

г) $y_n=4-\sqrt{4n}$

Члены последовательности:

$$y_1=4-\sqrt{4\cdot 1}=4-2=2;$$$$y_2=4-\sqrt{4\cdot 2}=4-\sqrt{8}\approx 4-2,82\approx 1,18;$$$$y_3=4-\sqrt{4\cdot 3}=4-\sqrt{12}\approx 4-3,46\approx 0,54;$$$$y_4=4-\sqrt{4\cdot 4}=4-4=0;$$$$y_5=4-\sqrt{4\cdot 5}=4-\sqrt{20}\approx 4-4,47\approx -0,47;$$$$y_6=4-\sqrt{4\cdot 6}=4-\sqrt{24}\approx 4-4,89\approx -0,89;$$

График последовательности:

а) $y_n=10-n^3$

Члены последовательности:

Для начала найдем несколько первых членов последовательности $y_n=10-n^3$, подставляя значения $n$:

• Для $n=1$:$$y_1=10-1^3=10-1=9$$

  Таким образом, первый член последовательности $y_1=9$.

• Для $n=2$:$$y_2=10-2^3=10-8=2$$

  Второй член последовательности $y_2=2$.

• Для $n=3$:$$y_3=10-3^3=10-27=-17$$

  Третий член последовательности $y_3=-17$.

Если подставить более высокие значения $n$, то результат будет продолжать уменьшаться, так как куб числа растет очень быстро. Это подтверждает, что последовательность убывает.

График последовательности:

б) $y_n=(-1{)}^n\sqrt{9n}$

Члены последовательности:

Теперь найдем несколько первых членов последовательности $y_n=(-1{)}^n\sqrt{9n}$. Важно заметить, что на четных значениях $n$ результат будет положительным, а на нечетных — отрицательным, из-за множителя $(-1{)}^n$.

• Для $n=1$:$$y_1=(-1{)}^1\cdot \sqrt{9\cdot 1}=-1\cdot 3=-3$$

  Первый член последовательности $y_1=-3$.

• Для $n=2$:$$y_2=(-1{)}^2\cdot \sqrt{9\cdot 2}=1\cdot \sqrt{18}\approx 1\cdot 4.24\approx 4.24$$

  Второй член последовательности $y_2\approx 4.24$.

• Для $n=3$:$$y_3=(-1{)}^3\cdot \sqrt{9\cdot 3}=-1\cdot \sqrt{27}\approx -1\cdot 5.20\approx -5.20$$

  Третий член последовательности $y_3\approx -5.20$.

• Для $n=4$:$$y_4=(-1{)}^4\cdot \sqrt{9\cdot 4}=1\cdot \sqrt{36}=1\cdot 6=6$$

  Четвертый член последовательности $y_4=6$.

• Для $n=5$:$$y_5=(-1{)}^5\cdot \sqrt{9\cdot 5}=-1\cdot \sqrt{45}\approx -1\cdot 6.71\approx -6.71$$

  Пятый член последовательности $y_5\approx -6.71$.

График последовательности:

в) $y_n=n^3-8$

Члены последовательности:

Для последовательности $y_n=n^3-8$ вычислим несколько первых членов:

• Для $n=1$:$$y_1=1^3-8=1-8=-7$$

  Первый член последовательности $y_1=-7$.

• Для $n=2$:$$y_2=2^3-8=8-8=0$$

  Второй член последовательности $y_2=0$.

• Для $n=3$:$$y_3=3^3-8=27-8=19$$

  Третий член последовательности $y_3=19$.

Если вычислять для большего числа значений $n$, последовательность будет возрастать экспоненциально, так как куб числа растет очень быстро. Мы видим, что последовательность принимает положительные значения начиная с $n=3$.

График последовательности:

г) $y_n=4-\sqrt{4n}$

Члены последовательности:

Теперь вычислим несколько членов последовательности $y_n=4-\sqrt{4n}$, где значение $\sqrt{4n}$ будет увеличиваться с ростом $n$, но так как мы вычитаем это значение из 4, последовательность будет убывать.

• Для $n=1$:$$y_1=4-\sqrt{4\cdot 1}=4-2=2$$

  Первый член последовательности $y_1=2$.

• Для $n=2$:$$y_2=4-\sqrt{4\cdot 2}=4-\sqrt{8}\approx 4-2.83\approx 1.17$$

  Второй член последовательности $y_2\approx 1.17$.

• Для $n=3$:$$y_3=4-\sqrt{4\cdot 3}=4-\sqrt{12}\approx 4-3.46\approx 0.54$$

  Третий член последовательности $y_3\approx 0.54$.

• Для $n=4$:$$y_4=4-\sqrt{4\cdot 4}=4-4=0$$

  Четвертый член последовательности $y_4=0$.

• Для $n=5$:$$y_5=4-\sqrt{4\cdot 5}=4-\sqrt{20}\approx 4-4.47\approx -0.47$$

  Пятый член последовательности $y_5\approx -0.47$.

• Для $n=6$:$$y_6=4-\sqrt{4\cdot 6}=4-\sqrt{24}\approx 4-4.89\approx -0.89$$

  Шестой член последовательности $y_6\approx -0.89$.

График последовательности:

Вывод:

Каждая из последовательностей имеет свой характер изменения:

• Первая последовательность $y_n=10-n^3$ убывает очень быстро.
• Вторая последовательность $y_n=(-1{)}^n\sqrt{9n}$ чередует положительные и отрицательные значения, с увеличением по величине.
• Третья последовательность $y_n=n^3-8$ растет экспоненциально.
• Четвертая последовательность $y_n=4-\sqrt{4n}$ постепенно уменьшается.

Графики этих последовательностей отражают их особенности: резкое падение, чередование знаков, экспоненциальный рост и плавное снижение.